【摘 要】2023年高考數(shù)學(xué)北京卷簡(jiǎn)潔基礎(chǔ)、回歸本質(zhì)、銳意創(chuàng)新,“考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是其鮮明特色.文章給出了多道試題的多種解法及部分創(chuàng)新試題的解法,還對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)備考提出了合理化建議.
【關(guān)鍵詞】高考;數(shù)學(xué);北京卷;回歸本質(zhì);數(shù)學(xué)運(yùn)算;復(fù)習(xí)備考
1 “考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是2023年高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色
我們先以表格的形式展示2023年高考數(shù)學(xué)北京卷試題中各題的考查情況:
由表1可以看出2023年高考數(shù)學(xué)北京卷(下簡(jiǎn)稱(chēng)北京卷)有以下特點(diǎn):
(1)北京卷全面考查了高中數(shù)學(xué)六大主干知識(shí)(函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式,三角函數(shù)與解三角形,平面解析幾何,立體幾何,統(tǒng)計(jì)概率,數(shù)列)中的基本概念與基礎(chǔ)知識(shí),充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性和全面性.
(2)北京卷通過(guò)多題、多角度出發(fā),從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意,堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的考查.
(3)北京卷延續(xù)已有的命題理念,守正創(chuàng)新,堅(jiān)持以素養(yǎng)立意.通過(guò)設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合考查.針對(duì)邏輯推理,北京卷通過(guò)寬入口,多思路設(shè)計(jì)了多道試題進(jìn)行考查,特別是對(duì)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算考查深入,比如第9,10,19,20題.
(4)北京卷堅(jiān)持“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則,堅(jiān)持“有利于高校選拔人才、有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)、有利于考生展示才華”的命題方向[5].一是試題的設(shè)計(jì)緊扣課標(biāo)[1]和教材,回歸課堂、回歸學(xué)科本質(zhì),突出“簡(jiǎn)潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”的北京卷特色[6],為中學(xué)生“減負(fù)”創(chuàng)建良好的教育生態(tài),促進(jìn)新高考與新課程、新課標(biāo)和新教材的協(xié)調(diào)聯(lián)動(dòng);二是試題的設(shè)計(jì)深入淺出,設(shè)問(wèn)層層遞進(jìn),形式靈活多元,比如第20題(用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì))通過(guò)三層設(shè)問(wèn)環(huán)環(huán)相扣,又依次遞進(jìn),對(duì)能力素養(yǎng)要求連續(xù)升級(jí),通過(guò)“多問(wèn)把關(guān)”“多題把關(guān)”,將難度設(shè)置在對(duì)學(xué)生思維層級(jí)的考查上,對(duì)引導(dǎo)教學(xué)起到了積極作用.北京卷試題共21道,其中基礎(chǔ)題13道共74分,題量約占62%,分值約占49%;中檔題4道共48分,題量約占19%,分值約占32%;較難題4道共28分,題量約占19%,分值約占19%.基礎(chǔ)題較多且絕大部分是“不動(dòng)筆墨、一望而解”的;第20題是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)且該問(wèn)題本質(zhì)上是不含參數(shù)的.筆者認(rèn)為,這些都是正確的導(dǎo)向:高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)回歸基礎(chǔ)、回歸本原.前些年高考?jí)狠S題多是求不出來(lái)通項(xiàng)公式的遞推數(shù)列問(wèn)題,線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題多是含參數(shù)的“非線(xiàn)性”規(guī)劃問(wèn)題.而后,這兩者均得到了糾正:通常不再把求不出來(lái)通項(xiàng)公式的遞推數(shù)列問(wèn)題作為壓軸題,線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題也只考查不含參數(shù)的簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.這些都是回歸基礎(chǔ)、回歸本原的體現(xiàn),并且與“高考選拔”不矛盾.
(5)北京卷試題的一大特色是高質(zhì)量“數(shù)學(xué)文化”試題的出現(xiàn).北京卷突出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用和復(fù)雜情境中問(wèn)題的考查,試題關(guān)注生活,關(guān)注現(xiàn)實(shí)的情景,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活和社會(huì)中的問(wèn)題.比如第9題以坡屋頂為背景,考查五面體中的棱長(zhǎng)之和問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注勞動(dòng),積極參與社會(huì)實(shí)踐,滲透美育與勞育;第14題以戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的“環(huán)權(quán)”為背景,考查數(shù)列基本知識(shí),滲透德育教育,厚植愛(ài)國(guó)情懷,增強(qiáng)民族自信;第18題以農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格作為背景,考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中預(yù)測(cè)方法應(yīng)用的全過(guò)程,使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的結(jié)合,能夠“真懂會(huì)用”,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)民生問(wèn)題,成為有責(zé)任感的公民.
總之,“考查素養(yǎng)、引導(dǎo)教學(xué)”是2023年高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色.
2 對(duì)部分試題的分析
2.1 一題多解第3,7[7],16,19題屬于一題多解的題目,下面以19題為例作闡述.
3 六條建議
(1)第7題的題干“在△ABC中,若(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則∠C=”應(yīng)改為“在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則C=”.
實(shí)際上,普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)·A版》(人民教育出版社,2019)(下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》)第43-61頁(yè)中有關(guān)解三角形的例題、練習(xí)題、習(xí)題及復(fù)習(xí)參考題也多有這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?,比如?3頁(yè)第15題開(kāi)頭的敘述“△ABC的三邊分別為a,b,c”應(yīng)改為第54頁(yè)第20題開(kāi)頭的敘述“已知△ABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c”,否則,前者的結(jié)論是錯(cuò)誤的.(2)建議把第8題的選項(xiàng)“C.充分必要條件”改為“C.充要條件”.理由是[5]:①普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)·必修·第一冊(cè)·A版》(人民教育出版社,2019)第20頁(yè)寫(xiě)的是“1.4.2 充要條件”,第21頁(yè)寫(xiě)的是“……我們說(shuō)p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)為充要條件”;②數(shù)學(xué)的表述應(yīng)當(dāng)遵循簡(jiǎn)潔原則,比如數(shù)“+3”應(yīng)當(dāng)寫(xiě)成數(shù)“3”,代數(shù)式“-1a”“0a”“1a”應(yīng)當(dāng)分別寫(xiě)成“-a”“0”“a”.
(3)第16題中的“四面體P-ABC”應(yīng)改為“四面體PABC”或改為“三棱錐P-ABC”.
實(shí)際上,《數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》第170頁(yè)第11題中的“四面體A-BCD”也應(yīng)這樣改動(dòng).
(4)第9題與第16題都是對(duì)二面角的考查,屬于重復(fù)考查,建議將其中之一改為對(duì)“異面直線(xiàn)所成的角”或“斜線(xiàn)與平面所成的角”的考查.(5)文[10]末對(duì)第21題提出了商榷.
(6)較2022年高考數(shù)學(xué)北京卷[5],2023年高考數(shù)學(xué)北京卷中的基礎(chǔ)題(比如,第1-8,11,12,16,17題)要簡(jiǎn)單太多,而部分創(chuàng)新題(比如,第9,10,15,21題)的難度又增加了不少;作為倒數(shù)第二題(即第20題)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題,較去年的同類(lèi)問(wèn)題也容易了很多.而這作為高考試題的“保持穩(wěn)定”及“有效選拔”,還是有些不妥的.
4 對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)備考的建議
關(guān)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考復(fù)習(xí)備考,筆者在發(fā)表的文獻(xiàn)[5,13-16]中已闡述了一些有益的建議,下面再?gòu)?qiáng)調(diào)六點(diǎn):
(1)第一輪復(fù)習(xí)要夯實(shí)基礎(chǔ),堅(jiān)決丟掉“偏、難、怪”.老師的教學(xué)(包括解題教學(xué)),不可“深一腳淺一腳”,這樣會(huì)導(dǎo)致“學(xué)生很怕數(shù)學(xué)”.
(2)老師復(fù)習(xí)備考要讓學(xué)生感到心里有底,這是高效復(fù)習(xí)和減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的重要途徑之一及必由之路.
比如,對(duì)于試卷第19題,老師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生揭示其背景,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
(3)注重主干知識(shí)、聚焦核心考點(diǎn)、重視高頻考點(diǎn);適當(dāng)加大運(yùn)算能力的培養(yǎng),要知道梨子的味道一定要親口嘗一嘗;這道題難不難、會(huì)不會(huì)做,一定要親自動(dòng)筆認(rèn)真做.
(4)關(guān)注北京特色的試題,比如對(duì)三道壓軸題,平時(shí)要有針對(duì)性地訓(xùn)練,即使第21題也不可全然放棄,要做到分分必爭(zhēng);多關(guān)注新高考劣構(gòu)題、數(shù)學(xué)文化試題、全國(guó)卷中的多選題等,并盡可能地做到學(xué)以致用、欣賞數(shù)學(xué),還要盡可能地做到見(jiàn)多識(shí)廣,并關(guān)注三道壓軸題的變化,不可“刻舟求劍”.
(5)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要永遠(yuǎn)做好四個(gè)關(guān)鍵詞:夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高.考生要盡可能地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本之外的方法、知識(shí),比如數(shù)學(xué)歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等等.
(5)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要永遠(yuǎn)做好四個(gè)關(guān)鍵詞:夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高[16].考生要盡可能地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課本之外的方法、知識(shí),比如數(shù)學(xué)歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等等.
(6)高中基礎(chǔ)年級(jí)(高一、高二)的數(shù)學(xué)教學(xué)務(wù)必重視基本概念的教學(xué),并且要重視概念的情境引入.老師先匆忙介紹概念再用盲目刷題的“簡(jiǎn)單粗暴概念教學(xué)”可以休矣,因?yàn)檫@樣的教學(xué),學(xué)生不可能掌握概念的來(lái)龍去脈,除了會(huì)“套題型”的機(jī)械解題之外根本不會(huì)“用理解概念來(lái)解創(chuàng)新題目”.
通過(guò)老師的概念教學(xué),爭(zhēng)取使學(xué)生達(dá)到“真懂、徹悟”的狀態(tài);對(duì)數(shù)學(xué)的理論、方法或定理能洞查其直觀背景,并看清楚它是如何從具體特例過(guò)渡到一般(抽象)形式的,要弄明白整個(gè)思路的來(lái)龍去脈.
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作者簡(jiǎn)介 甘志國(guó)(1971—),男,筆名甘喆,湖北竹溪人,研究生學(xué)歷;民進(jìn)會(huì)員,中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員,中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事,正高級(jí)教師、特級(jí)教師、湖北名師、政府專(zhuān)項(xiàng)津貼專(zhuān)家;對(duì)高考數(shù)學(xué)試題及重點(diǎn)高校強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題研究較深,鉆研教法與學(xué)法,提倡并關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng),總結(jié)提出并踐行“懂、會(huì)、熟、巧、通”五步解題學(xué)習(xí)法,“思、探、練、變、提”五步解題教學(xué)法,“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)關(guān)鍵詞“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”,倡導(dǎo)教師要做明師——明白的教師;出版著作多部,發(fā)表文章多篇.
基金項(xiàng)目 北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”(FT2017GD003).