酈勝翔

摘 要： 本文主要研究學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習過程中常見的一些錯誤，針對不同錯誤的研究，提升學(xué)生不同的能力，幫助學(xué)生順利優(yōu)化高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對高中知識的掌握更加熟練.

關(guān)鍵詞： 高中；數(shù)學(xué)；錯題資源；能力提升

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)各種錯誤，事實上學(xué)生在知識的建構(gòu)過程中會有一些認識上的偏差甚至是負遷移，筆者談?wù)勅绾斡行У乩眠@些錯誤資源進行教學(xué)的做法與體會，不到之處請批評指正.

1 ?有效利用概念錯誤資源 加深學(xué)生對概念的理解

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分.因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ).我們正確的做法是利用一些概念易錯題讓學(xué)生在做中錯、錯中思、思中醒，體會概念的內(nèi)涵與外延，從而加深對概念的正確理解.

例1 ??求過點（0，1）的直線方程，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點.

錯解： ?設(shè)所求的過點（0，1）的直線方程為y=kx+1，

由 y=kx+1，

y2=2x， 消去y，得（kx+1）2-2x=0，

整理，得k2x2+（2k-2）x+1=0.

∵直線與拋物線僅有一個交點，

∴Δ=（2k-2）2-4k2=0，解得k= 1 2 .

故所求直線的方程為y= 1 2 x+1.

分析： ?此處解法共有三處概念存在理解上的錯誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相交的情況，只考慮相切的情況.原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透徹.

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零.

正解： ?① ?當所求直線的斜率不存在，即直線垂直x軸時，因為過點（0，1），所以直線的方程為x=0；

② 當所求直線的斜率為零時，直線的方程為y=1，此時直線與拋物線y2=2x只有一個交點；

③ 設(shè)所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），同錯解可得直線的方程為y= 1 2 x+1.

綜上，滿足條件的直線方程為y=1或x=0或y= 1 2 x+1.

通過這道題的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生強化直線與拋物線僅有一個交點等概念的深刻理解.

學(xué)概念是為了用概念，在用的過程中才能理解概念，有效利用概念錯誤資源，客觀上可以給學(xué)生提供對概念由表及里，由淺入深的認識機會.

2 ?有效利用思維上的錯誤資源 提升學(xué)生的思維能力

思維能力是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要標志，思維能力的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的主旋律.利用學(xué)生思維上所犯的錯誤，可以透視學(xué)生的思維取向，從而發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問題，讓學(xué)生在思維的犯錯中訓(xùn)練思維能力，提高思維品質(zhì).

2.1 ?有效利用思維缺乏深度的錯誤 培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

例2 ??已知函數(shù)f（x）= （3-a）x+2 （x≤2），

a2x2-9x+11 （x＞2）， 數(shù)列{a n}滿足a n=f（n）（n∈ N *），若數(shù)列{a n}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍為 ??????????.

錯解： ?由題意，得 3-a＞0，

a＞1，

8-2a≤a， 解得 8 3 ≤a＜3.故填答案： ?8 3 ，3 .

分析： ?這道題主要考查函數(shù)與數(shù)列的本質(zhì)區(qū)別，即：函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，而數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域為n∈ N* 或其子集，由于學(xué)生對定義的本質(zhì)缺乏思維上的深度理解造成錯誤.

正解： ?由題意，得 3-a＞0，

a＞1，

f（2）＜f（3）， 即 3-a＞0，

a＞1，

8-2a＜a2， 解得2＜a＜3.故填寫答案：（2，3）.

思維缺乏深度，一方面是概念的缺失，另一方面與思維習慣、方式、能力因素有關(guān)，有效利用思維缺乏深度的錯誤可以幫助學(xué)生訓(xùn)練思維的深刻性，讓學(xué)生認識到思維質(zhì)量的高低對決策的影響至關(guān)重要.

2.2 ?有效利用思維缺乏嚴謹?shù)腻e誤 培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性

例3 ??若中心在原點、焦點在坐標軸上的雙曲線的一條漸近線方程為x+3y=0，則此雙曲線的離心率為 ?????.

錯解： ?設(shè)雙曲線的標準方程為 x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0），由題意，得 b a = 1 3 ，∴e= c a = 1+ ?b a ?2 = 1+ 1 9 ?= ?10 ?3 .

分析： ?錯解的原因是學(xué)生沒有把焦點在坐標軸上作為一個重要條件，僅考慮焦點在x軸上，從而漏解.

正解： ?漸近線方程可寫為y=- 1 3 x，當焦點在x軸上時，同錯解，得e= ?10 ?3 ；當焦點在y軸上時，可設(shè)雙曲線的標準方程為 y2 a2 - x2 b2 =1（a＞0，b＞0），由題意，得 a b = 1 3 ，即 b a =3，∴e= 1+ ?b a ?2 = 1+9 = 10 .故填寫答案： ?10 ?3 或 10 .

“丟三落四”看似粗心，實質(zhì)上是思維不嚴謹所致，不嚴謹?shù)乃季S往往會造成解題結(jié)果的遺漏或重復(fù).有效利用思維缺乏嚴謹性的錯誤，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴密性、精確性和敏感性，糾正學(xué)生的思維偏差，培養(yǎng)縝密思考的好習慣.

2.3 ?有效利用思維慣性的錯誤 培養(yǎng)學(xué)生思維的理性、質(zhì)疑精神

例4 ??設(shè)等比數(shù)列{a n}的前n項和為S n.若S 3+S 6=2S 9，求數(shù)列{a n}的公比q.

錯解： ?∵S 3+S 6=2S 9，

∴ a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，

整理，得q3（2q6-q3-1）＝0，

解得q=- ?3 4 ?2 或q=1.

分析： ?在錯解中，學(xué)生習慣運用公式由 a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，忽略了等比數(shù)列的公比q也可能為1的情況.因此，在解題時應(yīng)先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進行整理變形.

正解 ：若q=1，則有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1，

所以S 3+S 6＝9a 1，2S 9=18a，所以S 3+S 6≠2S 9，與題設(shè)矛盾，故q≠1.

由S 3+S 6=2S 9，

可得 a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，

整理，得q3（2q6-q3-1）＝0，

即（2q3+1）（q3-1）=0.

因為q≠1，所以q3-1≠0，所以2q3+1=0，解得q=- ?3 4 ?2 .

慣性思維緣于經(jīng)驗依賴，或是應(yīng)試模式的產(chǎn)物，告知式、滿堂灌的教學(xué)方式會使學(xué)生在思維上逆來順受，學(xué)生一路被教師牽著鼻子走，學(xué)生缺乏自己的學(xué)習空間，沒有創(chuàng)造性，面對新問題很可能出問題.慣性思維即為惰性思維，也可以說沒有思維，隨意性很大，思維過程不嚴謹，態(tài)度不嚴肅.有效利用思維慣性錯誤可以培養(yǎng)學(xué)生理性意識和質(zhì)疑精神，明晰思維方向，提高思維準度.

3 ?有效利用新舊交替形成的錯誤 幫助學(xué)生形成新規(guī)則

在新舊知識交替時最容易發(fā)生的錯誤是將舊知識不經(jīng)甄別地移植到新知識體系過程中的負遷移，如：對數(shù)運算性質(zhì)會出現(xiàn) log ?a （x+y）= log ?a x+ log ?a y等情況，這些錯誤發(fā)生了，學(xué)生也未必能察覺，所以要利用新舊知識交替形成的錯誤，讓學(xué)生有所警醒，使學(xué)生形成正遷移.

例5 ??已知方程x2+（m+4 i ）x+1+2m i =0至少有一個實數(shù)根，求m的取值范圍.

錯解： ?∵方程至少有一個實數(shù)根，

∴Δ=（m+4 i ）2-4（1+2m i ）=m2-20≥0，

解得m≥2 5 或m≤-2 5 .

分析： ?實數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴格推廣后方可使用.一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，學(xué)生盲目地搬用結(jié)論把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，容易造成解法錯誤.

正解： ?設(shè)a是方程的一個實數(shù)根，

則a2+（m+4 i ）a+1+2m i =0，

∴a2+ma+1+（4a+2m） i =0.

由于a，m都是實數(shù)，

∴ a2+ma+1=0，

4a+2m=0， 解得m=±2.

初高中知識的呈現(xiàn)有許多是交叉遞進的，比如數(shù)系的擴充（引入復(fù)數(shù)），指數(shù)的運算（引入分數(shù)指數(shù)），實數(shù)的運算（引入向量的運算），平面幾何（引入立體幾何），新知識的引入，往往伴隨著新規(guī)則的出臺，學(xué)生往往認識不足，在接受新知識的同時依然沿襲舊的思維方式，對新規(guī)則難以接受，因此有效利用新舊知識交替的錯誤可以幫助學(xué)生樹立新規(guī)則意識的同時，實現(xiàn)新舊知識的順利交接.

4 ?有效利用觀念未形成所犯的錯誤 培養(yǎng)學(xué)生形成正確的解題觀

高中數(shù)學(xué)教育的宗旨就是培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀念，所有數(shù)學(xué)行為都圍繞這一中心話題，同時，從課程設(shè)置以及學(xué)生的認知規(guī)律來看，形成正確的觀念最重要的時期就在高一，有效利用觀念未形成所犯的錯誤，幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀念，是一個值得嘗試的教學(xué)手段.

例6 ??求y= 2 ?sin 2x + 8 ?cos 2x 的最小值.

錯解： ?y= ?2 ?sin 2x + sin 2x + ?8 ?cos 2x + cos 2x -1≥2 2 +2 8 -1=-1+6 2 ，故y的最小值為-1+6 2 .

分析： ?該題說明學(xué)生對基本不等式的一正二定三相等的解題觀念還沒有形成.在錯解中，y=-1+6 2 的充要條件是

2 ?sin 2x = sin 2x，且 8 ?cos 2x = cos 2x，即 sin 2x= 2 ， cos 2x=2 2 ，顯然這是不可能的.

正解 ：y= 2 ?sin 2x + 8 ?cos 2x = 2（ sin 2x+ cos 2x） ?sin 2x + 8（ sin 2x+ cos 2x） ?cos 2x =10+ 2 ?tan 2x +8 tan 2x≥10+2 16 =18，當且僅當 2 ?tan 2x =8 tan 2x，即 tan x=± ?2 ?2 時，等號成立.故y的最小值為18.

我們要在學(xué)生未形成正確的解題觀時多次強化學(xué)生，從而使其掌握正確的解題思路.

觀念支配行動，也決定成敗，沒有正確的數(shù)學(xué)觀念，學(xué)習就會迷失方向，有效利用在數(shù)學(xué)觀念尚未形成時所犯的錯誤，可以極大地打開學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的視野，幫助學(xué)生指點迷津，明辨是非，明確什么是正確的數(shù)學(xué)原理、思想和方法，學(xué)會如何思考問題，促進學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習做認識上的儲備.

5 結(jié)束語

有效利用錯誤資源進行教學(xué)有助于學(xué)生正確理解概念，能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和批判性思維，磨煉學(xué)習意志，激發(fā)學(xué)生興趣，增強信心，提高認識的準度和思維的深度.有效利用錯誤資源進行教學(xué)，可以使學(xué)生對概念的認識更深刻，思維更嚴謹，觀念更正確，最終獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 鄭銳.如何促進數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展［J］.知識文庫，2020（23）：35 36.

［2］ 胡桂仙.論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中錯題資源的有效利用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習與研究，2016（2）：22.