數(shù)學(xué)文化與“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)融入思考及有效途徑

于 卓

（長春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130012）

引言

“數(shù)學(xué)文化”，從狹義的角度來看，它是數(shù)學(xué)本身蘊(yùn)含的思想方法、圖形定理、數(shù)學(xué)語言的表述，數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)等；從廣義的角度來看，它包含數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和建立，數(shù)學(xué)知識的起源和沿襲，數(shù)學(xué)家的科學(xué)鉆研精神，數(shù)學(xué)與人文發(fā)展的交融等。

在當(dāng)代“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)課堂上，理論知識和求解方法仍是教學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)文化的思想元素滲透較少，數(shù)學(xué)思想的教育功能尚未體現(xiàn)出來。隨著課程思政教育思想的提出，數(shù)學(xué)文化作為提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀的重要因素，其教育意義深遠(yuǎn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的熏陶及教育下受益匪淺。

一、“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的有機(jī)融入

（一）適時(shí)引入數(shù)學(xué)定理的來源思想

“高等數(shù)學(xué)”中的部分?jǐn)?shù)學(xué)概念（如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等）學(xué)生在高中就接觸過，通過對這些概念起源的探尋來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。微積分理論的共同創(chuàng)立者德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨創(chuàng)造的經(jīng)典積分符號“∫”，實(shí)際上是萊布尼茨通過把拉丁文“summa”（中文意思是“和”）的首字母s拉長得到的。這種符號的選擇正好體現(xiàn)了定積分“大化小、常代變、近似和、求極限”的基本思想，并沿用至今。通過對數(shù)學(xué)符號起源的講解，讓學(xué)生對積分符號的表示印象深刻，進(jìn)而對積分思想的理解更加深入，促使學(xué)生更好地掌握積分的運(yùn)算方法，對“高等數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)起到促進(jìn)作用。

極限的精確定義是微積分產(chǎn)生以后，首先是牛頓和萊布尼茨分別給出無窮小的概念。他們在無窮和無窮小量這個(gè)問題上說法不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。直到19世紀(jì)初，柯西對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步將其嚴(yán)格化，給出了完美的極限定義。這使極限理論成為微積分的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，才使微積分進(jìn)一步發(fā)展開來。通過對極限發(fā)展歷史的介紹，讓學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的基本方法——極限有了更清晰的認(rèn)識，為“高等數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)起到推進(jìn)作用。

（二）講解數(shù)學(xué)公式及數(shù)學(xué)圖像中的美學(xué)

提到“美”，大家自然而然地想到優(yōu)美的音樂和賞心悅目的景色。而“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”的極限之美，“大漠孤煙直，長河落日圓”中的直與曲，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)圖像及數(shù)學(xué)思想等處處有數(shù)學(xué)美學(xué)的體現(xiàn)。有概念、定義的簡潔之美，有幾何圖形的對稱之美，有公式、符號的形式之美，還有不同分支、不同概念及不同運(yùn)算的統(tǒng)一之美［1］。

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中非常優(yōu)美的公式之一。從公式的內(nèi)容上看，它將復(fù)雜多樣的函數(shù)表示成簡潔的多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和，建立了看似不同的事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。從公式的發(fā)展過程上看，它是在已知結(jié)論和知識的基礎(chǔ)上，經(jīng)過細(xì)心地觀察和推導(dǎo)，逐步趨于完善的。具體地說，在微分的基礎(chǔ)上，為了提高近似的精度，人們提出了用更高次的多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的想法，進(jìn)而產(chǎn)生了帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式。進(jìn)一步地，為了能夠具體估算出誤差的大小，人們多次利用柯西中值定理得到帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。至此，用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的方法發(fā)展到了更高的水平。

可降階的高階微分方程有三種不同的類型，求解它們的思想是一致的，即利用變量代換的方法將它們轉(zhuǎn)化成較低階的方程，這是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分和第一類曲面積分都可以統(tǒng)一寫成黎曼和的極限。再比如，將微分學(xué)和積分學(xué)聯(lián)系起來的牛頓-萊布尼茲公式，到聯(lián)系二重積分和曲線積分的格林公式，聯(lián)系三重積分和曲面積分的高斯公式，聯(lián)系曲線積分和曲面積分的斯托克斯公式，它們都體現(xiàn)了各種積分運(yùn)算之間的統(tǒng)一美。

在講解定積分、重積分、曲線積分和曲面積分時(shí)，引入利用對稱性求解曲線積分的方法，展現(xiàn)數(shù)學(xué)自身的美。大自然中具備對稱美的事物有許許多多，如楓葉、雪花等。對稱本身就是一種和諧、一種美，是我們視覺感官下非常舒服的一種狀態(tài)。

（三）介紹數(shù)學(xué)家的科研歷程和聰明才智

在“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)文化教育，就必須對學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)史教育。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)適時(shí)將相關(guān)數(shù)學(xué)的歷史引入其中，并側(cè)重講解數(shù)學(xué)學(xué)科的形成以及有關(guān)的重要定義，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷程［2］。

當(dāng)今數(shù)學(xué)和力學(xué)取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，拉格朗日的許多結(jié)論（如拉格朗日中值定理）至今仍然幾乎一字不差地被引用著。他科學(xué)工作的準(zhǔn)確性和深刻性，不僅受到同時(shí)代科學(xué)家的一致贊譽(yù)，也為后人所廣泛傳誦。盡管這樣，拉格朗日不止一次地對自己的工作表示不滿。在給另一位老朋友拉普拉斯的信中，他這樣寫道：“我把數(shù)學(xué)看作是一件有意思的工作，而不是想為自己建立什么紀(jì)念碑?？梢钥隙ǖ卣f，我對別人的工作比自己的更喜歡。我對自己的工作總是不滿意?！弊鳛橐晃讳J意進(jìn)取、自強(qiáng)不息的科學(xué)家，他的目光始終注視著未來。引導(dǎo)學(xué)生保持謙虛的心態(tài)，切莫高估自己的能力。

我國數(shù)學(xué)家華羅庚在初中畢業(yè)后，僅僅念了一年半的職業(yè)高中。他所能看到的數(shù)學(xué)書籍只有一本《大代數(shù)》、一本《解析幾何》及一本約50頁的《微積分》。此外，還有兩本與數(shù)學(xué)有點(diǎn)關(guān)系的雜志——《科學(xué)》與《學(xué)藝》。他邊利用少有的數(shù)學(xué)資料自學(xué)，邊寫些數(shù)學(xué)文章。他所寫的文章得到清華大學(xué)算學(xué)系熊慶來教授的賞識，他也得到教授的幫助。從此，華羅庚開始了真正研究數(shù)學(xué)的生涯，并取得了國際公認(rèn)的數(shù)學(xué)成就。

在講授格林公式時(shí)，引出喬治·格林本人的故事。格林出生貧苦，小時(shí)候只讀了1年的書，幾乎全靠自學(xué)成才。1828年，格林發(fā)表了《數(shù)學(xué)分析在電磁理論上的應(yīng)用》。他沒有受過大學(xué)教育，也不認(rèn)識任何數(shù)學(xué)家，這篇“論文”自然沒有辦法發(fā)表在學(xué)術(shù)期刊上。到了1845年，當(dāng)時(shí)大學(xué)畢業(yè)的物理學(xué)家開爾文勛爵重新發(fā)現(xiàn)了格林早年被埋沒的名作《數(shù)學(xué)分析在電磁理論上的應(yīng)用》，將其推薦給約瑟夫·劉維爾等大數(shù)學(xué)家。他們?yōu)楦窳炙鞴ぷ鞯闹匾远@訝之余，又將其推薦給更多的數(shù)學(xué)家同行。格林去世10年后，他的《數(shù)學(xué)分析在電磁理論上的應(yīng)用》終于得以在雜志《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上分期發(fā)表。以他命名的公式和定理有格林恒等式、格林函數(shù)和格林定理。而格林定理和斯托克斯公式一樣，啟發(fā)了后來誕生的微分形式理論和流形上的微積分。

講述知識點(diǎn)的同時(shí)，在課堂上引入數(shù)學(xué)家持之以恒、克服困難、全神貫注、堅(jiān)韌不拔的科學(xué)態(tài)度，促使學(xué)生主動(dòng)征服、積極探究數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生刻苦鉆研、鍥而不舍的優(yōu)秀品質(zhì)，以及遇到人生低谷時(shí)繼續(xù)前行的信心，增強(qiáng)其抗挫折能力。

二、“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中數(shù)學(xué)文化融入的有效途徑

（一）優(yōu)化“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)內(nèi)容，引入數(shù)學(xué)建模實(shí)際案例

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，數(shù)學(xué)的運(yùn)用從物理領(lǐng)域逐漸擴(kuò)散式地走向醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)、人工智能、航空等其他非物理領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)理論運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，對于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力和實(shí)踐能力，挖掘?qū)W生的創(chuàng)新思維和鍛煉學(xué)生的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性都具有實(shí)際意義［3］。

教師在教學(xué)活動(dòng)中以學(xué)生感興趣的課題角度為切入點(diǎn)，比如某大學(xué)教授在講解游戲角色設(shè)定過程中引入數(shù)值分析的知識，引起學(xué)生的共鳴，吸引學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，受到學(xué)生的廣泛好評［4］。在這樣的教學(xué)開展下，學(xué)生不僅對自己要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識印象深刻，也充分了解到數(shù)學(xué)知識與我們的生活息息相關(guān)、緊密聯(lián)系，促使學(xué)生更為主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，將其內(nèi)化為學(xué)生學(xué)習(xí)的本能，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的融入和輸出。

數(shù)學(xué)建模從本質(zhì)上來說是需要我們對海量數(shù)據(jù)檢驗(yàn)整理，形成模型構(gòu)建的過程?，F(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)如此發(fā)達(dá)，各種應(yīng)用越來越人性化，這都離不開大數(shù)據(jù)。正確全面清晰地認(rèn)識數(shù)據(jù)處理能力是發(fā)展建立數(shù)據(jù)分析觀念的保障，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力的基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)處理能力是指會整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷。

（二）教師提高自身的教育水平，構(gòu)建和諧的教書育人環(huán)境

大學(xué)里培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神是必不可少的。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)教育要在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力上下功夫，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的教育。數(shù)學(xué)能力包括思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)造能力，它的素材是數(shù)學(xué)知識，通過立體想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運(yùn)算求解、演繹證明和橫式構(gòu)建等方法培養(yǎng)這些能力［5］。

我國是一個(gè)多民族的國家，各民族、各地區(qū)的文化差異使得教育不能以一概全，應(yīng)注重不同地區(qū)人文文化的差異性，考慮不同民族的文化背景，采取分層教學(xué)、特色教學(xué)，針對不同層次的學(xué)生，開展相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，注重?cái)?shù)學(xué)理念與數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生身心的健康發(fā)展。

教師要充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中的重要意義，創(chuàng)新“高等數(shù)學(xué)”教育理念和教育思想，培養(yǎng)應(yīng)用型數(shù)學(xué)人才，為中國特色社會主義事業(yè)輸送合格的建設(shè)者和可靠的接班人。教師要具有高尚的道德情操，引領(lǐng)學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀；教師要具備先進(jìn)的教育思想，緊跟時(shí)代熱點(diǎn)，接受最新的教育思潮，與時(shí)俱進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生健康發(fā)展。教師要有創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)思維，扎實(shí)的科研水平，為學(xué)生善于鉆研、深入思考、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供保障。教師要善于開發(fā)多樣的教學(xué)方法與教學(xué)手段，多角度、多方位地吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生“高等數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)積極性，轉(zhuǎn)變“高等數(shù)學(xué)”枯燥乏味的教學(xué)方式，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的趣味性、實(shí)用性、重要性。

（三）教育職能部門溝通協(xié)作，促進(jìn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合

數(shù)學(xué)文化與“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)的有機(jī)融合離不開教育職能部門的共同協(xié)作。學(xué)校要定期開展教育思想培訓(xùn)會議，讓教師認(rèn)識到數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教育思想，勇于迎接先進(jìn)的教育思潮，改變固有的教學(xué)手段，隨時(shí)接受新的教育方法和教育技術(shù)，為社會培養(yǎng)與時(shí)俱進(jìn)的人才做出貢獻(xiàn)；各級教育教學(xué)部門不定期組織各類教學(xué)比賽，把新時(shí)代教育思想列入比賽考核分值，督促教師在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透，重構(gòu)教學(xué)環(huán)節(jié)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，讓教學(xué)活動(dòng)新穎，教學(xué)開展引人注目，令人耳目一新；學(xué)校和學(xué)院積極組織教學(xué)講座和教學(xué)研討會，聘請省內(nèi)外教學(xué)名師，互助交流，開闊視野［6］。建立院校間的交流協(xié)作平臺，借助互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)相關(guān)院校的先進(jìn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，走進(jìn)名師課堂，聆聽線上同步分享，提高教師數(shù)學(xué)文化與高數(shù)教學(xué)的融合能力，提升自身的教學(xué)水平；高校的科研管理部門要適當(dāng)關(guān)注教學(xué)改革研究課題的申報(bào)工作，鼓勵(lì)教師重視教育教學(xué)改革研究課題的立項(xiàng)申請，明確新時(shí)代下教育思想的新思潮，緊跟時(shí)代，注重教育思想中的文化交融；搭建馬克思主義學(xué)院、職能部門、學(xué)院三者之間的教師交流平臺，將思政教育理念融入“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中，尋求數(shù)學(xué)文化與其他文化的交融發(fā)展，為學(xué)生健康人生觀的樹立提供保障。學(xué)?？梢赃m時(shí)開設(shè)專門的數(shù)學(xué)文化課幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化，因?yàn)椤案叩葦?shù)學(xué)”的內(nèi)容繁多，課時(shí)相對較少，課堂教學(xué)中很難有大部分的時(shí)間用于數(shù)學(xué)文化的教育；開設(shè)“數(shù)學(xué)史”“數(shù)學(xué)家的人物傳記”“數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷程”等相關(guān)知識專題課程作為選修內(nèi)容，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)文化，多角度了解高數(shù)學(xué)科的實(shí)用性，促進(jìn)數(shù)學(xué)文化的融入；落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，對學(xué)生進(jìn)行價(jià)值引領(lǐng)、品德涵養(yǎng)和理論提升的教育，要在課程評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的融入要求，將價(jià)值引領(lǐng)作為其中重要觀測點(diǎn)，督促任課教師將文化教育落到實(shí)處。

（四）組織豐富多彩的教學(xué)活動(dòng)，開展多元的數(shù)學(xué)文化教育

改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法，創(chuàng)造活躍的課堂教學(xué)環(huán)境。成立研究小組，提出問題，讓學(xué)生帶著問題思考、討論，形成自己獨(dú)到的見解，每名學(xué)生都參與其中，教師適時(shí)引導(dǎo)，通過討論式、啟發(fā)式、問題情境式教學(xué)方法促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力與創(chuàng)造力，加深對“高等數(shù)學(xué)”知識的理解，提升學(xué)生分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)能力。

院系定期邀請省內(nèi)外教學(xué)名師，舉辦數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)報(bào)告會、數(shù)學(xué)文化論壇、數(shù)學(xué)文化活動(dòng)周、數(shù)學(xué)交流沙龍等，積極鼓勵(lì)學(xué)生人人參與，制定相應(yīng)的激勵(lì)政策，吸引學(xué)生的關(guān)注，既拓寬學(xué)生的知識視野，又豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識，拓展學(xué)生高數(shù)知識儲備的深度和廣度，通過學(xué)生間的交流互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力及創(chuàng)新意識，為學(xué)生展示完美的數(shù)學(xué)價(jià)值。

結(jié)語

恩格斯說：“數(shù)學(xué)：辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式?！薄案叩葦?shù)學(xué)”作為理工科院校的通識基礎(chǔ)課程，其涵蓋著豐富的思想教育理念。“高等數(shù)學(xué)”課程具有高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化思想。正確認(rèn)識數(shù)學(xué)文化對學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的重要性，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的了解和掌握，推動(dòng)學(xué)生理解和領(lǐng)會專業(yè)價(jià)值，真正落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。數(shù)學(xué)文化與高等數(shù)學(xué)的有機(jī)融合不僅能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，還能促使高校教師注重自身數(shù)學(xué)文化的修養(yǎng)，改革傳統(tǒng)教學(xué)模式，提升自身的育人能力。