張麗珊

摘要：新數(shù)學(xué)課標指出，數(shù)學(xué)教育要以有利于學(xué)生全面發(fā)展為中心，以提供有價值的數(shù)學(xué)和倡導(dǎo)有意義的學(xué)習(xí)方式為基本點.教師在平時的教學(xué)過程中，要著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進而使其能夠進行獨立思考并解決數(shù)學(xué)問題，找到通往深度學(xué)習(xí)的途徑.而復(fù)習(xí)課對學(xué)生而言，重要性不言而喻.如何上好期末復(fù)習(xí)課，選擇怎樣的課堂教學(xué)模式才能實現(xiàn)高效減負呢？以人教版第二十二章“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)第一課時為例 ，按“課前診斷”“課堂探究”“課堂反饋”“課后作業(yè)”“中考鏈接”這幾個環(huán)節(jié)來探究期末復(fù)習(xí)課堂教學(xué)模式.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動；深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)

1 文本分析

二次函數(shù)屬于函數(shù)與方程，是初中代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，本節(jié)課重點復(fù)習(xí)二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，引導(dǎo)學(xué)生將知識點梳理成知識結(jié)構(gòu)圖，難點在于拓展遷移應(yīng)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題.

2 學(xué)情分析

學(xué)生已復(fù)習(xí)了“方程”“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”，在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)梳理二次函數(shù)解析式的三種表達方式，建構(gòu)知識體系，發(fā)現(xiàn)知識的“新內(nèi)涵”，進而獲得研究函數(shù)的通用方法，類比歸納總結(jié)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識，提升深度學(xué)習(xí)能力［1］.

3 目標解析

（1） 知識技能：二次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì).

（2）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般、分類思想、類比歸納思想.

（3）數(shù)學(xué)素養(yǎng)：模型意識，研究函數(shù)的方法；結(jié)合圖象，發(fā)揮好幾何直觀的作用［2］.

4 教學(xué)實施

活動一：課前診斷 （利用基礎(chǔ)題，了解學(xué)生對雙基的掌握情況）.

（Ⅰ）二次函數(shù)的定義

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

需要注意的是：函數(shù)解析式是整式；整理后自變量的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不等于0.

（1）二次函數(shù)y=－x2+2x的二次項系數(shù)是[CD#3]，一次項系數(shù)是[CD#3]，常數(shù)項是[CD#3].

（2）已知函數(shù)y=（k2－9）x2+（k+3）x+17，

當(dāng)k為何值時，該函數(shù)為一次函數(shù)？當(dāng)k為何值時，該函數(shù)為二次函數(shù)？

易錯點：忽略二次項系數(shù)不等于0.

（Ⅱ）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（3）拋物線y=x2－4的頂點坐標是[CD#3].

（4）函數(shù)y=（x－1）2+2的最小值是[CD#3].

（5）二次函數(shù)y=－x2－2x的開口[CD#3]，對稱軸是[CD#3].

師生活動：教師精心選擇內(nèi)容，回顧本章知識；學(xué)生5分鐘限時完成上述診斷題.

意圖說明：通過課前診斷快速了解學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況，精準診斷便于有向有序地進行復(fù)習(xí).

活動二：課堂探究（借助典型例題及問題串，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識）.

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3中的x，y滿足表1：

（1）求該二次函數(shù)的解析式（頂點式與一般式）.

（2）①開口方向：[CD#4].

②對稱軸：[CD#5].

③頂點坐標：[CD#5].

④圖象與x軸的交點A，B的坐標：[CD#5].

⑤圖象與y軸的交點C的坐標：[CD#5].

⑥圖象與y軸的交點關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標：[CD#5].

⑦畫出函數(shù)的圖象.

⑧當(dāng)x=[CD#3]時，函數(shù)的最值為[CD#3].

⑨當(dāng)[CD#3]時，y=0；當(dāng)[CD#3]時，y>0；當(dāng)[CD#3]時，y<0.

B10圖象在x軸上截得的線段的長為[CD#3].

B11三角形ABC的面積為[CD#3].

B12當(dāng)x[CD#3]時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x[CD#3]時，y隨x的增大而減小.

B13要得到拋物線y=x2，則如何平移二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象？

師生活動：給予學(xué)生適當(dāng)時間自主探究，再與小組同伴進行交流.還可以提出其他問題，如“若點P在拋物線上，且點P到x軸的距離為2，求點P的坐標”.最后歸納總結(jié)：

（1）函數(shù)的三種表示形式：列表、圖象、解析式.

（2）二次函數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖如圖1.

（3）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、特殊到一般等.

（4）研究函數(shù)的基本思路.

意圖說明：通過對近年來涉及本章知識點的質(zhì)檢題或中考題的整理，以典型例題引領(lǐng)，利用問題串重新建立知識關(guān)聯(lián)，從不同角度看待原有知識，促進學(xué)生對二次函數(shù)的深度理解，進而形成高階思維能力.引導(dǎo)學(xué)生自主回顧知識，歸納總結(jié)并繪制知識結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生構(gòu)建并內(nèi)化知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從邏輯推理角度將知識系統(tǒng)化，并形成可遷移能應(yīng)用的知識網(wǎng)絡(luò)圖，真正做到融會貫通，“溫故而知新”，進而找到通向深度學(xué)習(xí)的有效途徑.重視滲透思想方法及積累復(fù)習(xí)課活動經(jīng)驗［3］.

活動三：練一練（前后聯(lián)系，加深對知識的理解）.

（1）（2017-2018學(xué)年廈門）某二次函數(shù)的幾組對應(yīng)值如表2所示.若x1＜x2＜x3＜x4＜x5，則該函數(shù)圖象的開口方向是[CD#3].

生1：例1與練習(xí)（1）相似，都是以表格形式呈現(xiàn).

生2：可以令x1，x2，x3，x4，x5分別為1，2，3，4，5，畫出示意圖即可求解，即特殊值法和圖象法.

生3：我發(fā)現(xiàn)“當(dāng)x1＜x2＜x3＜x4時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x4＜x5時，y隨x的增大而減小”，可知函數(shù)圖象開口向下，即函數(shù)性質(zhì)法.

師：幾位同學(xué)都說得很好，還有補充的嗎？

生4：不管是特殊值結(jié)合圖象法還是函數(shù)性質(zhì)法都是解決函數(shù)問題的常用方法.

生5：若是含參問題，可先嘗試用特殊值法來理解題意，結(jié)合圖象直觀感悟，再用函數(shù)性質(zhì)法解題驗證.

師：同學(xué)們能夠反思總結(jié)解題方法，運用函數(shù)的本質(zhì)思考并形成解題策略，具有未來數(shù)學(xué)家的潛質(zhì).

意圖說明：展示學(xué)生求解的思路，并邀請學(xué)有余力的學(xué)生嘗試析題，總結(jié)歸納方法，積累解題經(jīng)驗.此題雖是含參問題，利用特殊值法，數(shù)形結(jié)合將其轉(zhuǎn)化為與例1相似的問題，既鞏固基礎(chǔ)知識又考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想及知識遷移能力，讓學(xué)生在不斷思考的過程中感悟轉(zhuǎn)化、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.通過分享不同的解題方法，開拓思維，培養(yǎng)學(xué)生多角度、全方位思考的深度學(xué)習(xí)能力，提升核心素養(yǎng).

活動四：拓展提升（不斷拓展，形成解題策略）.

例2 （2015年廈門中考第24題改編）已知實數(shù)a，b滿足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，當(dāng)1≤x≤2時， 函數(shù)y＝ax2（a≠0）的最大值與最小值之差是1，求a的值．

生1：好多參數(shù)??！從何入手呢？

生2：先求a的值.可用含a的代數(shù)式表示b，即b＝a－1.

生3：將 b＝a－1代入a2－ab＋2＞0，得a>－2.這樣還是無法判斷a的符號，也就無法確定函數(shù)的增減性.

生4：雖然無法判斷a的符號，但可以分－2＜a＜0與a＞0兩種情況進行討論.

師：同學(xué)們從一開始的“不知所措”到“步步解套”，最后迎刃而解，能否再對其進行反思總結(jié)？

生6：此函數(shù)問題主要考查函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)與方程思想，結(jié)合數(shù)學(xué)分類討論等解決問題.

生7：認真審題，推理能力、運算能力是考查重點.

師：分析得太棒了，可以取代老師了！那能否幫老師改編題目呢？

變式 已知實數(shù)a，b滿足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，當(dāng)－1≤x≤2時， 函數(shù)y＝ax2（a≠0）的最大值與最小值之差是1，求a的值．

教師追問：還可以再改編嗎？例如將“函數(shù)y＝ax2（a≠0）” 變?yōu)椤昂瘮?shù)y＝a（x-1）2（a≠0）”，找出解題策略.

意圖說明：將例2的條件“當(dāng)1≤x≤2時”改編為“當(dāng)－1≤x≤2時”，其他條件不變，此時由于自變量取值范圍的改變導(dǎo)致最大與最小值的變化進而引起a值的改變.加深對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，深化對知識的遷移，進而提升深度學(xué)習(xí)能力，積累經(jīng)驗，增進對數(shù)學(xué)思想方法的理解，提高核心素養(yǎng).

活動五：課堂反饋 （有效反饋，精準輔導(dǎo)）.

（1）將拋物線y=－3x2向上平移一個單位，再向右平移2個單位后，得到的拋物線解析式是[CD#3]．

（3）（B層）已知二次函數(shù)的頂點坐標為（3，－1），且過點（2，0） ，求這個二次函數(shù)的解析式.

（A層）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點（2，0）且對稱軸過點（3，1），求這個二次函數(shù)的解析式.

意圖說明：課堂反饋是教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié).保證每節(jié)課有適當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間，及時運用剛學(xué)到的知識解決問題，靈活地“做”，不死記硬背.讓學(xué)生獨立限時完成，教師巡視.在雙減政策下，減輕學(xué)生過重的課外負擔(dān)，如第（3）題可以選擇做A層或B層，并且可用來檢驗教學(xué)效果，精準反饋學(xué)情，有利于教師課后有針對性地進行輔導(dǎo)，布置拓展性的作業(yè)，使學(xué)生擁有高階思維能力，進一步走向深度學(xué)習(xí).

活動六：課后作業(yè)（鞏固教學(xué)內(nèi)容，中考鏈接，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力）.

（1）對于一元二次方程x2－2x＋1＝0，根的判別式b2－4ac中的b表示的數(shù)是（）.

A.－2

B.2

C.－1

D.1

（2）已知某二次函數(shù)，當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，則該二次函數(shù)的解析式可以是（）.

A.y＝2（x＋1）2

B.y＝2（x－1）2

C.y＝－2（x＋1）2

D.y＝－2（x－1）2

（3）（2023年福建中考第24題）二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象過A（1，0），B（3，0）兩點，頂點為

意圖說明：結(jié)合近幾年質(zhì)檢題或中考題，讓學(xué)生感受中考氣氛.第（1）題與第（2）題考查方程與函數(shù)知識，都屬于“四基”內(nèi)容，以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.第（4）題屬于二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實際生活問題，強化數(shù)學(xué)模型意識，感悟知識的遷移，獲取通向深度學(xué)習(xí)的途徑.

5 反思與感悟

在雙減背景下，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂采用何種教學(xué)模式提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)給新時代數(shù)學(xué)教師帶來了挑戰(zhàn).由于是復(fù)習(xí)課，因此可以引導(dǎo)學(xué)生在課前閱讀教材并繪制知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖，或以手抄報的形式關(guān)聯(lián)各知識點，以個體的視角呈現(xiàn)重難點及典型例題，并在課堂中與同學(xué)分享交流討論，再通過拓展題的解析與變式，發(fā)展學(xué)生思維素養(yǎng)，促進教學(xué)相長，構(gòu)建高效有趣的復(fù)習(xí)課堂.

以活動引導(dǎo)學(xué)生思考、觀察、猜想、驗證，合理運用教材資源，讓復(fù)習(xí)課不再枯燥，這樣的深度學(xué)習(xí)才能拓寬學(xué)生視野，有利于學(xué)生提高認知，積累有意義的活動學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

總之，基于深度學(xué)習(xí)的期末復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)

關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等方面使學(xué)生達成課程目標，獲得適應(yīng)社會生活和發(fā)展所需的數(shù)學(xué)知識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］王妍，龔呂樂.利用函數(shù)求最值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（5）：65-68.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］吳春.圓的基本性質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（5）：36-38.