楊 慧，董連春，馮 杰

（中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京 100081）

引言

“線性代數(shù)”是國(guó)內(nèi)外高等教育院校理工科經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的必修課程，具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，是培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要課程。同時(shí)，它又是實(shí)用性特別強(qiáng)的課程，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)與工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域。但國(guó)內(nèi)高校使用的教材在內(nèi)容上大多重理論、輕實(shí)踐，同時(shí)不同專業(yè)使用的教材在內(nèi)容上無(wú)太大差別，缺少和專業(yè)相結(jié)合的內(nèi)容知識(shí)。這就導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為這門課晦澀難懂，不知道其在所學(xué)專業(yè)領(lǐng)域的用處，大大削減了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。這種現(xiàn)象在民族院校民族班中尤為突出。民族院校民族班的學(xué)生主要來(lái)自青海、西藏等地區(qū)的藏族聚居區(qū)，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，有些學(xué)生的入學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诩案窬€以下，其數(shù)學(xué)思維能力、理解能力、計(jì)算能力相比東部地區(qū)學(xué)生有一定的差距。如果沒(méi)有合適的教材，加之教師教學(xué)方式死板，教學(xué)內(nèi)容重理論和證明，而輕實(shí)踐應(yīng)用，對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，很難理解掌握這門課，這也就導(dǎo)致學(xué)生既沒(méi)有學(xué)懂理論知識(shí)，又不懂實(shí)踐應(yīng)用。因此，我們急需對(duì)“線性代數(shù)”在教材、教學(xué)方式以及教學(xué)評(píng)價(jià)上進(jìn)行改革，編寫(xiě)適合工科民族班的線性代數(shù)教材，同時(shí)改革教學(xué)方式方法，讓學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)真正能獲取一定的線性代數(shù)知識(shí)和能力。本文通過(guò)比較中外線性代數(shù)教材，明確我國(guó)使用教材的優(yōu)缺點(diǎn)，同時(shí)借鑒國(guó)外教材的優(yōu)點(diǎn)，為編寫(xiě)適合民族院校民族班學(xué)生使用的教材提出建議以及在教學(xué)方式和教學(xué)評(píng)價(jià)上進(jìn)行一些思考。

一、教材比較

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家David C.Lay教授編寫(xiě)的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》［1］在美國(guó)被廣泛使用。我們將其與國(guó)內(nèi)高校使用的吳贛昌編著的《線性代數(shù)》（理工類·第五版）［2］做比較。

（一）主要理論知識(shí)

國(guó)內(nèi)外教材相差無(wú)幾，都包括行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、特征值與特征向量、二次型方面的理論內(nèi)容［3］。

（二）難易程度

國(guó)內(nèi)教材偏重理論證明，按照先給抽象概念，再給定理與性質(zhì)，最后給出證明的過(guò)程編寫(xiě)。重點(diǎn)是數(shù)學(xué)的邏輯推理和嚴(yán)謹(jǐn)性，所以結(jié)構(gòu)上較緊湊，沒(méi)有重復(fù)的內(nèi)容，連貫性好，但這也導(dǎo)致知識(shí)點(diǎn)較分散，前后聯(lián)系少，無(wú)法突出重點(diǎn)，使學(xué)生分不清目標(biāo)和工具，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中感到抽象難懂。此外，例題及課后習(xí)題主要圍繞概念和定理內(nèi)容展開(kāi)，很少有實(shí)際應(yīng)用方面的例子，這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中失去了學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。

（三）內(nèi)容設(shè)計(jì)

相較國(guó)內(nèi)教材David C.Lay編寫(xiě)的教材引入了幾何直觀、計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)建模的方法，顯著的特點(diǎn)是理論聯(lián)系實(shí)際，實(shí)踐內(nèi)容較多［4］。以介紹性實(shí)例引出每章主題，用具體簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明要考慮的問(wèn)題以及得出的結(jié)論，淡化數(shù)學(xué)方面的理論和證明。各章之間有很多知識(shí)的交叉和重合，所有內(nèi)容都是圍繞本章的主題。例如第一章《線性方程組》，以經(jīng)濟(jì)學(xué)與工程中的線性模型引入本章主題，用二元一次方程組的解的情況說(shuō)明事實(shí)結(jié)論，在證明結(jié)論時(shí)也是以具體實(shí)例說(shuō)明問(wèn)題，由此弱化了理論證明，著重強(qiáng)調(diào)線性方程組的求解過(guò)程，同時(shí)加入了與線性方程組相關(guān)的內(nèi)容：矩陣、向量組、線性變換，這樣有助于學(xué)生建立各個(gè)知識(shí)之間的關(guān)系。作者使用大量幾何意義來(lái)直觀地解釋知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生更容易接受所學(xué)知識(shí)。例如，二元一次線性方程組的解可以看作平面坐標(biāo)系中兩條直線的交點(diǎn)。第二章《矩陣代數(shù)》，用飛機(jī)設(shè)計(jì)中的計(jì)算機(jī)模型解釋矩陣的重要性。圖像的旋轉(zhuǎn)是通過(guò)矩陣的乘法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的，矩陣的LU分解被用在流體動(dòng)力學(xué)中。對(duì)于矩陣的運(yùn)算以及各類性質(zhì)通過(guò)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行解釋，有關(guān)逆矩陣和矩陣的秩著重講解了如何計(jì)算。最后介紹了矩陣代數(shù)在列昂惕夫投入產(chǎn)出模型以及計(jì)算機(jī)圖像處理中的應(yīng)用，從實(shí)際中來(lái)，回到實(shí)踐中去，由此培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用的能力。

（四）例題和課后習(xí)題

國(guó)外教材中所用的例題都很簡(jiǎn)單，只為引出要講解的內(nèi)容，不會(huì)出現(xiàn)多道同類型的題目，點(diǎn)到為止，有時(shí)甚至用非常簡(jiǎn)單的例子來(lái)給出某個(gè)定義或性質(zhì)。教材用實(shí)際應(yīng)用案例來(lái)提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模和實(shí)踐的能力。對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，數(shù)學(xué)知識(shí)是用來(lái)理解與解決本專業(yè)的知識(shí)和問(wèn)題。用各種陷阱、各種計(jì)算難度高的題目來(lái)訓(xùn)練學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)本身的掌握程度有些本末倒置。同時(shí)，如果用同類型的例題讓學(xué)生反復(fù)對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行練習(xí)，會(huì)讓學(xué)生感到枯燥乏味。這方面筆者在教學(xué)過(guò)程中深有體會(huì)，用簡(jiǎn)單的例子和習(xí)題講解所學(xué)知識(shí)點(diǎn)反而可以有效提高教學(xué)效果。同時(shí)，國(guó)外教材課后習(xí)題量大，習(xí)題類型多，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)廣，大多是用簡(jiǎn)單的、不需要太復(fù)雜的計(jì)算或證明的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考，而且用大量應(yīng)用題目增加學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生的興趣和應(yīng)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（五）教學(xué)過(guò)程

國(guó)內(nèi)教材大多按照行列式、矩陣、線性方程組、矩陣特征值、二次型、線性空間和線性變換的順序編寫(xiě)。這種編排的優(yōu)點(diǎn)是前后知識(shí)點(diǎn)無(wú)重復(fù)，內(nèi)容緊湊，條理清晰，層層遞進(jìn)。在教學(xué)課時(shí)量少的情況下，授課教師容易進(jìn)行安排和講授，不需要過(guò)多的前后聯(lián)系和交互，只需按部就班地一章一章進(jìn)行即可。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，更容易記憶和從整體上掌握各章內(nèi)容。例如行列式和矩陣是為了求解線性方程組，矩陣的特征值是用來(lái)化簡(jiǎn)二次型。缺點(diǎn)是前后知識(shí)聯(lián)系少，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中感覺(jué)知識(shí)點(diǎn)零散，需要記憶的內(nèi)容太多，不成體系。而且一開(kāi)始就把行列式的概念和矩陣的概念拋給學(xué)生，會(huì)讓學(xué)生感到一頭霧水，不知道學(xué)這些知識(shí)的目的是什么，分不清重點(diǎn)。

國(guó)外教材是按照線性方程組、矩陣、行列式、向量空間、特征值與特征向量、正交性與最小二乘法、對(duì)稱矩陣和二次型、向量空間的幾何性質(zhì)的順序編寫(xiě)。開(kāi)篇就讓學(xué)生了解學(xué)線性代數(shù)的目標(biāo)之一是解線性方程組，將涉及的矩陣、行列式、向量、線性變換的內(nèi)容加入，將本書(shū)所有內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，每一章都是完整的一部分。雖然前后內(nèi)容有重復(fù)，但更容易讓學(xué)生建立各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。

二、思考和建議

通過(guò)比較中外線性代數(shù)教材，國(guó)外的教材有些地方是值得借鑒的。在現(xiàn)代化技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)代，我們需要不斷改革教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式，以提高工科類“線性代數(shù)”課程的教學(xué)效果和水平。通過(guò)幾年的工科民族班“線性代數(shù)”課程教學(xué)，筆者認(rèn)為目前存在兩方面的問(wèn)題：一是沒(méi)有適合工科民族班的教材，二是教師仍然沿用普通班的、不適用于民族班學(xué)生的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容。

（一）教材改革

目前我國(guó)高校所普遍使用的線性代數(shù)教材內(nèi)容上理論性強(qiáng)，過(guò)于追求數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)和證明，而忽略了對(duì)于工科專業(yè)來(lái)說(shuō)，“線性代數(shù)”只是屬于工具性課程。而且，課后習(xí)題也多是對(duì)概念和定理進(jìn)行純數(shù)學(xué)的練習(xí)，較少關(guān)注線性代數(shù)的應(yīng)用性和趣味性，與工科專業(yè)的實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)［5］。加之對(duì)于少數(shù)民族地區(qū)學(xué)生來(lái)說(shuō)，其本身理解能力和基礎(chǔ)弱，抽象的概念和理論證明，讓他們很快對(duì)線性代數(shù)失去了興趣，覺(jué)得它毫無(wú)用處。事實(shí)上，線性代數(shù)是一門實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)科，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)、通信、電子、工程等領(lǐng)域。只是學(xué)生上來(lái)就被復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)嚇到了，而沒(méi)有進(jìn)一步了解線性代數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。為解決這些問(wèn)題，首先在引入理論知識(shí)時(shí)告訴學(xué)生知識(shí)的來(lái)龍去脈，通過(guò)實(shí)例，介紹知識(shí)的應(yīng)用背景，吸引學(xué)生的注意力。減少理論知識(shí)的證明，用淺顯易懂的方式講解知識(shí)，甚至用簡(jiǎn)單的例子給出性質(zhì)結(jié)論。例如在介紹行列式的定義時(shí)，可以拋棄取自不同行、不同列的元素乘積的代數(shù)和的定義方式，而采用先給出二階行列式的對(duì)角線法則，利用行列式按行展開(kāi)來(lái)給出更高階行列式的定義。利用計(jì)算具體的特殊二階和三階行列式來(lái)給出行列式的性質(zhì)。例如，交換兩行，行列式值互為相反數(shù)；某行加到另一行上，行列式值不變等性質(zhì)。其次，在例題和課后習(xí)題方面，降低課后習(xí)題的難度，不要設(shè)置太多計(jì)算量大、難度高的題目，用簡(jiǎn)單的練習(xí)題來(lái)幫助學(xué)生掌握知識(shí)。著重提高學(xué)生知識(shí)應(yīng)用的能力，可以在每章增加應(yīng)用性實(shí)例，在課后習(xí)題中增加應(yīng)用題，減少純理論的證明［6］。同時(shí)，去掉線性空間與線性變換章節(jié)，只講行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等內(nèi)容。最后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，對(duì)于計(jì)算機(jī)專業(yè)，增加數(shù)值計(jì)算方面的內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生使用MATLAB等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行高階行列式的計(jì)算、線性方程組的求解以及矩陣特征值、特征向量的求解，在計(jì)算過(guò)程中探究如何提高精度和計(jì)算速度。對(duì)于工學(xué)院民族班學(xué)生，著重提高其應(yīng)用線性代數(shù)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模以及計(jì)算的能力。

（二）改革教學(xué)方式

“線性代數(shù)”的課時(shí)安排較少，教師為了保證完成教學(xué)內(nèi)容，課上基本都是“滿堂灌”，留給學(xué)生思考和討論的時(shí)間很少。學(xué)生剛開(kāi)始還能聽(tīng)懂一些內(nèi)容，到后面就完全跟不上了。由于民族班學(xué)生基礎(chǔ)和理解能力弱，加之線性代數(shù)非常抽象，一學(xué)期下來(lái)，部分學(xué)生連最基本的內(nèi)容都沒(méi)有掌握。對(duì)于工科民族班學(xué)生，應(yīng)該改變傳統(tǒng)的以教師講授為主的教學(xué)方式。我們可以借鑒譚友軍提出的PIPA方法，首先把相關(guān)問(wèn)題、背景講解清楚，之后鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題根據(jù)直覺(jué)解答，用簡(jiǎn)單實(shí)例給出證明的思路和想法，最后就某些具有實(shí)際背景的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題［7］。同時(shí)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)設(shè)備，比如將上課過(guò)程錄制成視頻，以便學(xué)生課后復(fù)習(xí)。把某些典型習(xí)題的講解做成微課，讓學(xué)生課下學(xué)習(xí)，課上主要是學(xué)生討論和教師點(diǎn)評(píng)，講解具體應(yīng)用實(shí)例。還可進(jìn)行網(wǎng)上答疑，使學(xué)生學(xué)習(xí)更加積極主動(dòng)。此外，教師在講授過(guò)程中務(wù)必要多總結(jié)，多和學(xué)生交流，用更加通俗、更容易讓學(xué)生接受的方式講解理論知識(shí)。例如在講解線性方程組的基礎(chǔ)解系時(shí)，國(guó)內(nèi)的教材大多是將齊次和非齊次情形分別講解：對(duì)于齊次情形，對(duì)系數(shù)矩陣做初等行變換；對(duì)于非齊次矩陣，對(duì)增廣矩陣做初等行變換。事實(shí)上，我們可以將兩種情形統(tǒng)一，都對(duì)增廣矩陣做初等行變換，只是在齊次情形，增廣矩陣的最后一列全是0。在筆者最開(kāi)始的教學(xué)中，采用的是吳贛昌《線性代數(shù)》課本上的講解方式，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難掌握，在做題過(guò)程中經(jīng)常出錯(cuò)。后來(lái)筆者采用國(guó)外教材上的講解方式，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本都能掌握。用最直觀、直接的方式講解，更符合學(xué)生的思維習(xí)慣，更容易讓他們接受和理解。對(duì)于民族班學(xué)生，要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，根據(jù)他們的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行教學(xué)。教師在教學(xué)過(guò)程中要多總結(jié)，多和學(xué)生交流，不斷改進(jìn)自身的教學(xué)手段和方法，以此提高教學(xué)效果。

（三）改革教學(xué)評(píng)價(jià)

教學(xué)評(píng)價(jià)對(duì)師生的教與學(xué)都具有重要的導(dǎo)向作用，考核方式在很大程度上會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。國(guó)內(nèi)對(duì)“線性代數(shù)”的考核方式一般是平時(shí)成績(jī)、期中考試成績(jī)和期末考試成績(jī)。平時(shí)成績(jī)包括作業(yè)、出勤。期中考試和期末考試仍然是考查學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的掌握程度。期末考試成績(jī)比重較大，這就導(dǎo)致有些學(xué)生學(xué)習(xí)不積極，作業(yè)靠抄襲，期末考試時(shí)集中突擊復(fù)習(xí)，目標(biāo)是及格，考完對(duì)所學(xué)知識(shí)記住得很少。結(jié)果是，部分學(xué)生經(jīng)過(guò)一學(xué)期的學(xué)習(xí)，增加的知識(shí)和技能很有限。因此，我們應(yīng)該按下面幾種方式進(jìn)行改革：（1）增加對(duì)學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐方面的考核，比如在課后習(xí)題中增加探索性問(wèn)題、實(shí)踐性問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力以及利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)中問(wèn)題的能力。這樣不僅能夠加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，還能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（2）增加學(xué)生課上表現(xiàn)的考核，比如課上回答問(wèn)題，課前知識(shí)的準(zhǔn)備，課上對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分組討論得出解決方案的能力。（3）增加測(cè)驗(yàn)的次數(shù)，降低期末考試成績(jī)的比重，在每章或某塊知識(shí)點(diǎn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，使成績(jī)構(gòu)成多元化，使學(xué)生通過(guò)這門課的學(xué)習(xí)真正獲得某些知識(shí)和能力。

結(jié)語(yǔ)

少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)教育問(wèn)題一直廣受人們關(guān)注。目前急需開(kāi)發(fā)適合民族班學(xué)生的線性代數(shù)教材，同時(shí)要改革教學(xué)方式，努力提高教學(xué)質(zhì)量，為少數(shù)民族地區(qū)培養(yǎng)高質(zhì)量創(chuàng)新型人才貢獻(xiàn)力量。