基于知識關系建構有意義學習

摘" 要：以“探索黃金分割比”為例，從學習機制、學習過程、學習目標三個方面探索如何在具體課程中加強知識關系建構教學.

關鍵詞：知識關系；黃金分割；關聯(lián)；學習

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0036-06

引用格式：葉春泉，祝敏芝. 基于知識關系建構有意義學習：以“探索黃金分割比”為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（4）：36-40，51.

知識關系建構一直是有意義學習、建構主義等眾多學習理論和教育心理學關注的關鍵問題. 奧蘇貝爾認為，在有意義學習過程中，學習材料本身應具有邏輯意義，學習者的已有認知結構應該存在可用以同化新知識的適當概念、命題或符號，學習者應該具有聯(lián)系新知識和舊知識的主動心向. 因此，通過探究并掌握數學知識、問題、方法和思想間的關系結構，可以增強學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力. 本文以“探索黃金分割比”為例，從沉浸式學習機制、理解性學習過程、層進式學習目標等三個方面，探索如何在具體課程中加強知識關系建構教學.

一、以數學文化背景引發(fā)沉浸式學習機制

課前準備：關于斐波那契數列，我知道些什么？我如何定義？有哪些疑問？學習這節(jié)內容后，會有什么不同？我能改變什么？通過思考這些問題，學生從出處、相關現(xiàn)象和關聯(lián)知識等方面自行探索、整理斐波那契數列的相關資料.

出處：1202年，意大利數學家斐波那契所著的《算盤書》中有一個有趣的兔子繁殖問題. 如果每對兔子（一雄一雌）每月能生殖一對小兔子（假設也是一雄一雌，下同），每對兔子第一個月沒有生殖能力，但從第二個月以后便能每月生殖一對小兔子. 假定這些兔子都沒有死亡現(xiàn)象，那么第一個月到第十二個月兔子的對數分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…. 后人為了紀念提出兔子繁殖問題的斐波那契，將這個數列稱為斐波那契數列. 第0項為0，第1項為1，數列從第2項開始每個數字都是前兩項之和.

相關現(xiàn)象：在自然界中，似乎完全沒有秩序的植物彼此相隔的距離或葉子的生長，都被斐波那契數列支持著. 例如，一株樹在第一年長出一條新枝，新枝成長一年后變?yōu)槔现?，老枝每年都長出一條新枝，每條樹枝都按照這個規(guī)律成長，則每年的樹枝總數正好構成斐波那契數列. 又如，一朵花的花瓣數量通常也是斐波那契數.

關聯(lián)知識：隨著數列數值的增加，前一項與后一項之比越來越接近黃金分割的數值0.618…. 因此，斐波那契數列也被稱為黃金分割數列.

沉浸式學習機制包括兩個方面：一是通過滲透數學文化知識激發(fā)富有情感意蘊的學習興趣；二是深化數學學習意義認知，將目標定位在最能體現(xiàn)人類力量的思想與精神層面.

二、以知識關系建構理解性學習過程

1. 概念辨析

現(xiàn)行初中數學九年級教科書中，人教版、北師大版、華師大版、浙教版、蘇教版等都是通過比例中項來定義黃金分割數的. 其中，北師大版教科書從五角星中的線段比例出發(fā)定義線段的黃金分割與黃金分割點，并說明黃金比例在藝術、建筑和自然界中無處不在；人教版、北師大版教科書都指出華羅庚倡導的 0.618優(yōu)選法與黃金分割數緊密相關.

2. 知識的縱橫聯(lián)系

（1）五角星形與黃金分割比.

五角星是一種充滿和諧之感的圖形，這種和諧美的核心在于其五條邊相互分割成黃金比例.

問題1：通過觀察如圖1所示的五角星的構成，你能畫出五角星嗎？（引導學生認識五角星中含36°角的等腰三角形.）

問題2：根據圖1，能否求[FJAF， AJAB]的值？

解析：如圖2，容易證明[△DJF∽△AJD].

由[AF=FD=DJ]，得[FJAF=AFAJ=k].

從而[k2+k-1=0]. 解得[k=5-12 kgt;0].

按照這樣的思路，也可以求[AJAB]的值.

此外，要想求出[AJAB]的值，還可以通過[AJAB=][AF+FJAF+FJ+BJ=1+5-122+5-12=5+13+5=5-12]來實現(xiàn).

發(fā)現(xiàn)：圖3是一個含有36°角的等腰三角形，它的底與腰之比（或腰與底之比）為[5-12]，把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形.

（2）黃金分割比的作法.

問題3：如何作出黃金分割比？有哪些方法？

① 利用含有36°角的等腰三角形構造黃金分割比.（實質上是因為[sin18°=5-14].）

如圖4，在等腰三角形[ABC]中，[∠A=36°]，點[D，E]分別是線段[AC，AB]的黃金分割點. 如圖5，在等腰三角形[ABC]中，[∠B=∠C=36°]，點[D]是線段[BC]的黃金分割點.

② 利用勾股定理，通過代數計算作出[5-12].

如圖6，作[Rt△ABD]，使[∠B=90°]，[BD=12AB]. 由勾股定理，得[AD=52AB]. 截取[DE=DB]，計算得[AE=5-12AB]. 截取[AC=AE]，則[AC=5-12AB]，即[ACAB=5-12]. 所以點[C]是線段[AB]的黃金分割點.

如圖7，點[E]是正方形[ABCD]的邊[AD]的中點. 由勾股定理，得[EB=52AB]. 在[DA]的延長線上截取[EF=EB]，計算得[AF=5-12AB]. 以[AF]為邊作正方形[AFGH]，可知[AH=5-12AB]，即[AHAB=5-12]. 所以點[H]是線段[AB]的黃金分割點.

（3）黃金角.

問題4：將線段類比到圓周，圓周有黃金分割和黃金分割點嗎？你認為應該如何定義？

黃金角的構造如下：把長度為[c]的圓周分為兩部分，各部分的長度分別為[a]和[b]，也就是說[c=a+b]，而它們的比例符合[ca=ab]，也就是將圓周長按黃金比例分割成兩段，小弧長所對應的圓心角約為137.51°，稱為黃金角.

3. 形成結構性理解

（1）自然現(xiàn)象與黃金分割緊密關聯(lián)的數學內核.

植物的生長模式中隱藏著斐波那契數列. 例如，觀察向日葵花冠的螺旋線（圖8），由內向外看，逆時針方向的螺旋線有13條，順時針方向的螺旋線有21條，恰為裴波那契數列的相鄰兩項. 又如，菠蘿和松球的鱗片的排列也呈現(xiàn)出類似的規(guī)律.

問題1：植物生長規(guī)律與黃金分割有怎樣的關聯(lián)？

植物在上述旋轉生長中體現(xiàn)出一些共性：每個花蕾都從一個中心點開始生長，新長的種子會從相對有空隙的地方鉆出，而將原先的種子由內向外推擠. 法國晶體學家奧古斯特和勃拉維測量出每個新種子和前一個種子之間的角度為137.51°，這個角度約為黃金角.

我們用計算機模擬了種子的生長過程，讓每個新種子與前一個種子之間的角度在[38×2π]至[513×2π]（其中，3，5，8為斐波那契數）之間變化.

下面的圖9是角度為[135°]的情況，圖10是角度為[135.5°]的情況，圖11是角度為[137.5°]的情況，圖12是角度為[138.5°]的情況.

因為[135°360°=38]，所以角度為[135°]時種子的位置每次轉過[38]個周角，循環(huán)出現(xiàn)在以中心為端點的8條射線上. 角度為135.5°時，135.5°比135°增加0.5°，因偏移產生螺旋，呈現(xiàn)有間隙螺旋. 角度為137.5°時，大致呈現(xiàn)均勻螺旋，因為137.5°約等于黃金角，而黃金分割比是很難用固定的分數來近似的無理數，所以種子不會在同一個方向循環(huán)出現(xiàn)，從而呈現(xiàn)均勻分布. 因為[138.5°360°≈513]，所以角度為138.5°時，種子的位置每次大約轉過[513]個周角，近似循環(huán)出現(xiàn)在以中心為端點的13條射線上.

如果植物花蕾按照黃金角模式排列，那么所有種子都被壓縮得非常緊密，每個部分都有相同的結構，可以使種子得到最佳的堆集效果，彼此的生長空間相似，可以充分利用陽光和空氣，有利于生長.

問題2：植物生長規(guī)律與斐波那契數列有怎樣的關聯(lián)？

莫納什大學的Burkard Polster教授指出，仔細觀察會看到順時針螺旋線與逆時針螺旋線形成菱形的網格，第三種螺旋線穿過菱形網格的對角線，其條數恰為順時針螺旋線和逆時針螺旋線條數的和.

我們用計算機模擬了圖8的向日葵螺旋線，內層有13條逆時針螺旋線，21條順時針螺旋線. 沿著順時針螺旋線與逆時針螺旋線的交點作一個閉環(huán)，分別用實圓點與實三角形表示逆時針螺旋線與順時針螺旋線，如圖13所示.

閉環(huán)中，在同一條逆時針螺旋線上的每個實三角形表示一條順時針螺旋線，在同一條順時針螺旋線上的每個實圓點表示一條逆時針螺旋線，所以實圓點和實三角形的個數正好與逆時針螺旋線和順時針螺旋線的條數一樣多. 同時，一個閉環(huán)上的總點數恰好是對角線螺旋線總數，所以穿過順時針螺旋線與逆時針螺旋線形成的菱形網格的對角線的條數正好是13與21的和34. 對角線螺旋線會成為外層的逆時針螺旋線，再到外層，21條順時針螺旋線與34條逆時針螺旋線又會形成55條菱形網格對角線. 因此，植物生長的方式和斐波那契數列吻合.

大自然以其原始而樸素的表現(xiàn)形式完美地詮釋了黃金分割與斐波那契數列之間的聯(lián)系.

（2）黃金分割與斐波那契數列的內在邏輯關聯(lián).

斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…的后一項與前一項的比逐漸趨向于黃金分割比[5-12]. 用弧度表示黃金角137.51°的精確值為[2πα2]，這里[α=5+12]. 斐波那契數列的通項公式[Fn=151+52n-1-52n].

（3）感知黃金分割比的實踐應用.

我國著名數學家華羅庚倡導0.618優(yōu)選法，在生產企業(yè)中推廣應用，取得了成效. 華羅庚在其著作《優(yōu)選法平臺及其補充》的第一章中詳細介紹了用黃金比例分割取值區(qū)間來選擇數據點的方法找單峰函數的極值，如圖14所示.

對于相對平滑的單峰函數[f]，設[x1]和[x2]對應的函數值分別為[f1]和[f2]. 取中間兩個點[x3，x4 x3lt;x4]，算出[f3，f4]. 對于單峰函數[f]，若[f4gt;f3]，則極小值點在區(qū)間[x1，x4]上；若[f4lt;f3]，則極小值點[x3，x2]上.

一般地，通過遞縮區(qū)間找極值點通常遵循以下規(guī)則：無論上一步的結果如何，下一步要測試的取值區(qū)間長度都應該相等；每一步兩次取值區(qū)間的長度比例應該相等. 據此可以得到[x4-x1=a+c=b=x2-x3]，且有[x2-x3x2-x1=ba+b=b-cb=x2-x4x2-x3]，所以[ba+b=ab]. 而[ab]正是黃金比，約等于0.618.

辨析1：三等分法與優(yōu)選法哪個更優(yōu)？

三等分法每次都需要新取兩個點. 使用黃金分割法的時候，[x4]恰是區(qū)間[x3，x2]的黃金分割點，[x3]恰是區(qū)間[x1，x4]的黃金分割點，那么在區(qū)間[x1，x4]或[x3，x2]上再取兩個點，原先的[x3]或[x4]在下一次實驗中可以重復使用，如圖15所示. 所以三等分法比黃金分割法的實驗次數多1倍.

辨析2：能否用二分法？

對于單峰函數，無論二分點的取值如何，都無法確定極值點在左側還是右側，必須在中間取兩個點才能確定極值點所在的區(qū)間. 二分法適用于單調函數找零點，其收斂速度每次縮小0.5倍.

當然，在現(xiàn)實中，大部分函數都不會只有一個極值，而且也不會像我們這里假設的函數那樣平滑. 要想在這些復雜的情況中找到最優(yōu)解的近似值，需要更復雜的計算和更多的步驟，但優(yōu)選法的思路還是不變的：通過在現(xiàn)有區(qū)間中找數據點來不斷縮小可能的取值區(qū)間，一直到足夠精確（看不出上次和本次區(qū)別）或者次數已滿，這時采集的所有數據點中的最小值就是我們近似求出的最優(yōu)解.

三、以學科素養(yǎng)形成落實層進式學習目標

學習目標旨向是指學習的方向和意義，也是學習的評價和反思. 通過學習能夠讓學生掌握數學的核心內容，發(fā)展數學的關鍵能力，培養(yǎng)數學的積極情感. 以黃金分割比的學習為例，為了促進學生數學核心素養(yǎng)的形成，通過知識關系建構，要讓學生學習和掌握黃金分割比的知識，體會和感受黃金分割比的美，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造黃金分割比的應用，提高數學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力. 同時，要讓學生建立并加強黃金分割比與其他數學知識及跨學科知識之間的聯(lián)系，拓寬學生的知識視野和學習興趣.

1. 重視數學的核心概念和方法

通過學習黃金分割比的知識，讓學生掌握數學的核心概念（如無理數、比例、分數、根號、數列、極限等），發(fā)展數學的關鍵能力（如觀察、分析、歸納、推理、計算、作圖等），提高數學的基本素養(yǎng)（如準確、規(guī)范、邏輯、嚴謹等）.

例如，學習黃金分割比[5-12=0.618 033 988 74…，]

既要關注它的由來，還要嘗試求解，推導運算，感受它的獨特.

設[φ=5-12]，可以得到[φ2+φ-1=0]，進一步推導，還可以得到如下結論.

① 因為[φ2+φ-1=0]，所以[1φ=φ+1]，即黃金分割比[5-12]的倒數等于它與1的和.

② 因為[φ2+φ-1=0]，所以[φ=1-φ]. 由此可得[φ=1-1-1-1-…].

③ 因為[φ2+φ-1=0]，所以[φ=11+φ]. 由此可得[φ=11+11+11+11+…].

2. 理解數學的核心價值和意義

黃金分割比在藝術、建筑、自然等領域有著廣泛的應用和美學價值. 通過學習黃金分割比的應用，讓學生理解數學的核心價值和意義（如美、和諧、秩序、規(guī)律等），培養(yǎng)數學的積極情感（如興趣、好奇、欣賞、創(chuàng)造等），提高數學的高級素養(yǎng)（如跨學科、跨文化、跨時代等）. 例如，達·芬奇的作品《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》中都集黃金分割、透視于一身；莫扎特的《D大調奏鳴曲》有意識地運用了黃金分割，數學上的比例之美通過樂聲得到了傳達；等等.

3. 建立與其他數學知識的聯(lián)系

通過學習黃金分割比，讓學生建立和加強黃金分割比與其他數學知識的聯(lián)系（如比例、分數、根號、數列、極限等），建立和加強黃金分割比與跨學科知識的聯(lián)系（如美學、生物學、物理學等），建立和加強黃金分割比與教師、同伴、社會等主體的聯(lián)系，形成一個多元、跨界、互動的知識關系網絡，促進知識的社會化和個性化.

例如，從斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F1 = 1，F(xiàn)2 = 1，F(xiàn)k + 1 = Fk + Fk - 1（k = 2，3，4，…）到與黃金分割比的關系[limk→∞FkFk+1=φ]，再到黃金分割比的自相似性與黃金矩形（圖16）及黃金螺線（圖17）.

知識的傳遞不再是教育的唯一目的. 通過深入研究知識間的關系，并以此為橋梁建構知識網絡，能使學生更好地理解知識背后的邏輯，從而達到靈活應用知識的能力. 這一過程不僅注重知識的累積，更注重學生學習能力的培養(yǎng)和綜合素質的提升，使學生在主動探索和問題解決的過程中構建知識體系，實現(xiàn)真正意義上的有意義學習.

參考文獻：

［1］奧蘇貝爾. 意義學習新論：獲得與保持知識的認知觀［M］. 毛偉，譯. 杭州：浙江教育出版社，2018.

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