周小英

【摘? 要】? 為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，做好試題命制和教學(xué)備考工作，本文基于SOLO分類(lèi)理論與高考評(píng)價(jià)體系，提出數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的四級(jí)評(píng)價(jià)框架，分析2019—2022年高考數(shù)學(xué)中“三角函數(shù)與解三角形”試題考查的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查特點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)提供教學(xué)和命題方面的啟示.

【關(guān)鍵詞】? SOLO分類(lèi)理論;核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出了基于“三會(huì)”的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并將“三會(huì)”作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的指導(dǎo)思想.與之相對(duì)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象與直觀想象，邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析.近四年廣西高考試題在“三角函數(shù)與解三角形”知識(shí)內(nèi)容上較好地考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).本文通過(guò)分析高考真題的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平層次，為高三數(shù)學(xué)備考及試題命制提供啟示.

1? 核心概念與理論基礎(chǔ)

1.1? 數(shù)學(xué)運(yùn)算

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”作為六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，根據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．主要內(nèi)容為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果［1］．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力是要求學(xué)生從小學(xué)到高中都應(yīng)該有所發(fā)展的基本能力，是學(xué)生參加高考的必備素養(yǎng)．

1.2? SOLO分類(lèi)理論

“SOLO”指可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)，是一種學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的理論和方法．該理論將學(xué)習(xí)者的認(rèn)知由低到高分為5個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)水平（P）、單一結(jié)構(gòu)水平（U）、多元結(jié)構(gòu)水平（M）、關(guān)聯(lián)水平（R）、拓展抽象水平（E）［2］.其中，拓展結(jié)構(gòu)水平分為E1和E2兩個(gè)層次.SOLO分類(lèi)理論為學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展提供了系統(tǒng)的描述方法．

2? 研究思路

聚焦“三角函數(shù)與解三角形”內(nèi)容，以2019—2022年廣西理科高考數(shù)學(xué)真題為研究對(duì)象，研究者按照普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平要求，首先采用SOLO分類(lèi)劃分相應(yīng)試題的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平層次，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，為數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的精確考查提出命題建議，同時(shí)為高三復(fù)習(xí)精準(zhǔn)備考提供啟示．

3? 研究框架

高考評(píng)價(jià)體系是高考命題的藍(lán)圖，高考應(yīng)注重考查基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性（“四翼”）.“四翼”既能有效地評(píng)價(jià)學(xué)生素質(zhì)的高低，也能精準(zhǔn)地評(píng)價(jià)高考試題的質(zhì)量［3］.參考已有的相關(guān)研究[4]，注意到“四翼”考查要求與SOLO分類(lèi)理論的一致性，研究者將二者結(jié)合，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析命題路徑和對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)水平特征，構(gòu)建四級(jí)評(píng)價(jià)框架，即“考查要求-命題路徑-SOLO層次-對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)水平特征”，如表1所示.后續(xù)將采用該框架對(duì)高考真題進(jìn)行評(píng)價(jià)分析.

表1

考查要求 命題路徑 SOLO層次 對(duì)應(yīng)水平特征

基礎(chǔ)性

強(qiáng)調(diào)雙基扎實(shí)．能在簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境中了解運(yùn)算對(duì)象，對(duì)學(xué)生能按照順序運(yùn)算，有簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)以及用運(yùn)算結(jié)果說(shuō)明問(wèn)題的能力進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià).

單一結(jié)構(gòu)水平（U） 能找到解決問(wèn)題的單個(gè)運(yùn)算對(duì)象，并且能根據(jù)單個(gè)的運(yùn)算對(duì)象解決問(wèn)題，整體上對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的要求低.

多元結(jié)構(gòu)水平（M） 能找到解決問(wèn)題的多個(gè)運(yùn)算對(duì)象，不需要有機(jī)結(jié)合運(yùn)算對(duì)象就能解決問(wèn)題，整體上對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的要求一般.

綜合性 強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通．能在較復(fù)雜的情境中理解運(yùn)算對(duì)象，從數(shù)學(xué)思想方法的高度認(rèn)識(shí)算理，對(duì)學(xué)生能夠合理運(yùn)算和用運(yùn)算探討問(wèn)題的能力進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià).

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

（R） 能找到解決問(wèn)題的多個(gè)運(yùn)算對(duì)象，并且有機(jī)結(jié)合運(yùn)算對(duì)象才能解決問(wèn)題，整體上對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的要求中等.

應(yīng)用性 強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用．能在綜合的復(fù)雜情境中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算求解問(wèn)題，對(duì)學(xué)生簡(jiǎn)潔運(yùn)算、理解運(yùn)算和用運(yùn)算探討問(wèn)題的能力進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià).

拓展抽象水平

（E1） 能發(fā)現(xiàn)隱含的信息，應(yīng)用學(xué)科思想方法分析問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象概括，從理論的高度來(lái)分析問(wèn)題，并且能夠深化問(wèn)題，歸納出新的更抽象的知識(shí)，得出開(kāi)放性的答案，整體上對(duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的要求高［3］.

創(chuàng)新性 強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)及思維．能在新穎復(fù)雜的情境中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算求解的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生完成開(kāi)放、探究性的任務(wù)，找到新問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序并解決問(wèn)題的能力進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià).

拓展抽象水平

（E2）

4? 試題評(píng)價(jià)研究

4.1? 試題運(yùn)算層次

根據(jù)上述四級(jí)評(píng)價(jià)框架對(duì)2019—2022年廣西高考理科數(shù)學(xué)真題中的相關(guān)典型試題進(jìn)行分析．所選試題均屬于三角函數(shù)與解三角形知識(shí)范圍，本文給出數(shù)學(xué)運(yùn)算各個(gè)水平試題的范例，具體結(jié)果如下.

單點(diǎn)結(jié)構(gòu)（Ｕ）運(yùn)算層次范例

例1? （2019年全國(guó)Ⅲ卷4題）若，則（? ?）

（A） .? ? ? ? ? ?（B） .? ? ? ? （C） .? ? ? ?（D） .

評(píng)析? 試題情境簡(jiǎn)單、熟悉，考查的知識(shí)是倍角公式，要求考生能找出單個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象并進(jìn)行運(yùn)算，屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)（Ｕ）水平.

多點(diǎn)結(jié)構(gòu)（Ｍ）運(yùn)算層次范例

例2? （2020年全國(guó)Ⅲ卷16題）關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：

①的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．? ? ? ? ? ? ②的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．? ? ? ④的最小值為2．

其中所有真命題的序號(hào)是_____．

評(píng)析? 情境簡(jiǎn)單，各選項(xiàng)的運(yùn)算對(duì)象單一，試題每個(gè)選項(xiàng)的運(yùn)算層次都屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平，解決的是單個(gè)運(yùn)算問(wèn)題，選項(xiàng)間無(wú)直接關(guān)聯(lián)，各運(yùn)算對(duì)象間無(wú)需有機(jī)結(jié)合，試題屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平．

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（Ｒ）運(yùn)算層次范例

例3? （2021年全國(guó)甲卷9題）若，則（? ?）

（A） .? ? ? ? ?（B） .? ? ? ? ?（C） .? ? ? ? ? （D） .

評(píng)析? 試題以三角函數(shù)等式化簡(jiǎn)為載體，考查正切倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)的綜合運(yùn)用，需要依據(jù)公式進(jìn)行有機(jī)結(jié)合的合理運(yùn)算，故本題屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平．

低拓展抽象結(jié)構(gòu)（E1）運(yùn)算層次范例

例4? （2022年全國(guó)甲卷11題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（? ?）

（A） .? ? ? ? （B） .? ? ? ? ?（C） .? ? ? ? ?（D） .

評(píng)析? 試題以正弦型函數(shù)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為載體，求的取值范圍，屬于綜合情境.考查學(xué)生通過(guò)圖象發(fā)現(xiàn)隱含的信息，找到運(yùn)算對(duì)象（關(guān)于的不等式），并運(yùn)算求解的能力.試題要求學(xué)生能夠正確理解正弦函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算要求較高，屬于低拓展抽象結(jié)構(gòu)水平．

高拓展抽象結(jié)構(gòu)（Ｅ2）運(yùn)算層次范例

例5? （2022年全國(guó)甲卷12題） 已知，則（? ?）

（A） .? ? ? ?（B） .? ? ? ? ? （C） .? ? ? ?（D） .

評(píng)析? 試題創(chuàng)設(shè)了新穎的探索情境，具備一定的開(kāi)放性.試題要求考生借助數(shù)值比較大小的探究，通過(guò)觀察、抽象和探究發(fā)現(xiàn)隱含的信息，構(gòu)造出運(yùn)算對(duì)象（函數(shù)）.試題需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象概括，要求考生具備一定的創(chuàng)新意識(shí)和較高運(yùn)算能力，屬于高拓展抽象結(jié)構(gòu)水平.

4.2? 試題運(yùn)算層次分析

根據(jù)表1所示的分析框架，研究者對(duì)2019—2022年廣西高考理科數(shù)學(xué)卷中考查“三角函數(shù)與解三角形”知識(shí)的試題做了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平層次的SOLO分類(lèi)，得到最終劃分結(jié)果，見(jiàn)表2.

表2

2022 2021 2020 2019

U 第7題，33% 第4、15題，31%

M 第5題，25% 第16題，33%

R 第16題，25% 第9題，33% 第9題，33% 第9，18（1）題，34%

E1 第11題，25% 第8，16題，67% 第12，18（2）題，34%

E2 第12題，25%

表2是近四年試題題型的分布及數(shù)學(xué)運(yùn)算水平情況.在試題題型方面，由題號(hào)不難發(fā)現(xiàn)，“三角函數(shù)與解三角形”知識(shí)僅在2019年以大題的形式出現(xiàn)，往后的年份中均只考小題.試題知識(shí)點(diǎn)分布情況為：一道解三角形，兩道解三角函數(shù).

分析近四年該知識(shí)點(diǎn)相關(guān)試題的數(shù)學(xué)運(yùn)算水平，對(duì)關(guān)于該知識(shí)點(diǎn)的各年高考真題對(duì)應(yīng)的SOLO運(yùn)算層次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)各年真題所屬運(yùn)算水平對(duì)應(yīng)的分值分布初步分析高考命題的考查要求及試題質(zhì)量.2019年和2020年分別有三道相關(guān)的真題，各屬于三個(gè)不同的運(yùn)算水平層次.2019年卷數(shù)學(xué)運(yùn)算水平層次單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和低拓展抽象結(jié)構(gòu)的分值比例依次為31％、34％和34％；2020年卷單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的分值比例依次為33％、33％和33％.由此可見(jiàn)，這兩年的“三角函數(shù)與解三角形”真題所屬三種水平層次試題的分值比例較為接近，反映了這兩年高考對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力從低到高都有所要求，即對(duì)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性進(jìn)行了全方位考查，突出要求學(xué)生能夠在較為熟悉、比較復(fù)雜的情境中進(jìn)行問(wèn)題分析和解決.

2021年卷含三道題目，考查了兩個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平層次；2022年則增加了一道小題，考查了四個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平層次.2021年卷關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和低拓展抽象結(jié)構(gòu)分值比例依次為33％，67％，低拓展抽象結(jié)構(gòu)試題的分值比例較高；2022年卷各結(jié)構(gòu)分值比例依次為25％、25％、25％、25％，拓展抽象結(jié)構(gòu)分值比例比往年高，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求更為突出．由此可見(jiàn)，2019—2022年廣西高考對(duì)“三角函數(shù)和解三角形”中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的考查要求逐年提高，考查此內(nèi)容或?qū)⒕S持在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展結(jié)構(gòu)水平，未來(lái)有將此內(nèi)容作一大一小兩個(gè)試題進(jìn)行考查的趨勢(shì).

5? 研究啟示

基于上述分析，研究者在試題命制設(shè)計(jì)和高三教學(xué)備考兩個(gè)方面得到如下啟示．

5.1? 命題導(dǎo)向

由試題數(shù)學(xué)運(yùn)算層次分析可知，水平層次屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)和多點(diǎn)結(jié)構(gòu)的試題比例不低，平均值為30.5％，凸顯了高考試題深化基礎(chǔ)性考查和對(duì)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生的關(guān)注；關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和拓展抽象結(jié)構(gòu)試題比例的平均值為69.5％，該較高的比例顯示高考注重考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生的選拔.因此，在命制“三角函數(shù)與解三角形”的試題時(shí)，可以考慮將此知識(shí)按五種層次數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的試題比例依次設(shè)置為13％，20％，32％，30％，5％，以更好地考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．眾所周知，好試題不等于好試卷，試卷質(zhì)量的優(yōu)劣還取決于整張?jiān)嚲懋a(chǎn)生的效應(yīng)，不僅僅是個(gè)別試題產(chǎn)生的效應(yīng).因此，試題命制需要關(guān)注知識(shí)內(nèi)容和題型結(jié)構(gòu)等方面在運(yùn)算水平層次上的合理分布，命題人應(yīng)綜合各方面因素以提高試題質(zhì)量．

5.2? 教學(xué)導(dǎo)向

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)是有層次的、分階段發(fā)展的，不可能一蹴而就，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力層次實(shí)施精準(zhǔn)評(píng)價(jià)和有針對(duì)性的教學(xué).首先，教學(xué)中需重視情景的合理設(shè)置，逐步提高學(xué)生找到運(yùn)算對(duì)象、發(fā)現(xiàn)運(yùn)算問(wèn)題和轉(zhuǎn)化運(yùn)算問(wèn)題的能力，形成運(yùn)算思維.情景的設(shè)置應(yīng)符合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，體現(xiàn)新時(shí)代對(duì)創(chuàng)新型人才的要求.其次，教學(xué)中應(yīng)重視知識(shí)體系的構(gòu)建.知識(shí)體系的構(gòu)建應(yīng)著眼于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)科能力，注重知識(shí)縱橫間聯(lián)系及結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)發(fā)展的整體性、階段性和連續(xù)性.日常教學(xué)要注重從情境到問(wèn)題、從概念形成到知識(shí)建構(gòu)的整體性，有序幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識(shí)體系，使知識(shí)之間互聯(lián)互通、形成結(jié)構(gòu).讓學(xué)生在明確運(yùn)算對(duì)象時(shí)，能自然地聯(lián)想運(yùn)算對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，找到解決問(wèn)題的辦法.

6? 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高考試題具有層次性，對(duì)現(xiàn)階段數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)提出了新要求.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)應(yīng)目標(biāo)明確、具有梯度，遵循循序漸進(jìn)的原則，尊重學(xué)生的個(gè)性化特點(diǎn)，精準(zhǔn)施教.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，在日常教學(xué)和考試命題中應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的逐漸形成，促進(jìn)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，提高學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)和會(huì)用數(shù)學(xué)的能力.

【課題名稱(chēng)：“在高中學(xué)考中有效考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的命題設(shè)計(jì)與研究”課題編號(hào)：2022ZJY2334】

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