岳田田，王紅，韓旸，楊雅琴，李曉紅，周楊，竇紅雙

磁-熱-彈多物理場耦合波的反射和透射

岳田田，王紅，韓旸，楊雅琴，李曉紅，周楊，竇紅雙

（齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

應(yīng)用麥克斯韋電磁學(xué)理論引入洛倫茲力，反映外磁場對彈性波傳播的影響．通過應(yīng)用廣義熱彈性GN(Ⅱ)模型，反映熱力耦合效應(yīng)對彈性波傳播的影響．通過色散方程和相速度，分析了外磁場和熱力耦合效應(yīng)對波動模式和色散特性的影響．應(yīng)用連續(xù)性邊界條件，計算出各種反射波和透射波與入射波的能流比，通過法向能量守恒驗證了數(shù)值計算結(jié)果的可靠性．

耦合效應(yīng)；洛倫茲力；反射；透射；能流比

以上文獻(xiàn)沒有揭示在外磁場作用下熱-力耦合波的色散特性以及外加磁場對熱彈性波反射和透射的影響．本文應(yīng)用廣義熱彈性GN(Ⅱ)模型建模彈性固體中的熱效應(yīng)，通過應(yīng)用麥克斯韋方程組，引入洛倫茲力，研究外磁場對彈性波傳播的影響．首先，計算出磁-熱-彈耦合波的色散關(guān)系，然后，計算耦合縱波入射時各種反射波和透射波與入射波的能流比，最后，通過法向能量守恒，驗證數(shù)值計算結(jié)果的可靠性．

1 磁-熱-彈耦合波的色散方程

廣義熱彈性GN(Ⅱ)模型為[7]200

在均勻且完全導(dǎo)電的彈性固體中，電磁場由麥克斯韋方程組表示為

根據(jù)式（2）～（5），可以得到

將式（8）（9）代入式（6）中，得到

由式（10）（11）可以看出，熱效應(yīng)只影響P波，不影響SV波，而磁效應(yīng)既影響P波也影響SV波，但是磁效應(yīng)對P波和SV波的影響效果不同．

將式（1）（10）聯(lián)立，可得

設(shè)式（12）的解具有如下形式

通過式（16）可以計算出

由式（17）可以看出，目前的模型中存在兩個縱波，分別記為MT1波和MT2波．

將式（15）代入到式（1）中，可以推導(dǎo)出機(jī)械波和熱波的耦合系數(shù)

將式（14）代入到式（11）中，可以推導(dǎo)出SV波的解為

由式（21）～（23）可以看出，外磁場作用下的熱-力耦合波是非色散波，外磁場和熱效應(yīng)只改變彈性波傳播速度的大小，不改變彈性波的色散特征．

2 磁-熱-彈耦合波的反射與透射

兩種不同磁熱彈性固體界面上彈性波的反射和透射見圖1．

圖1 兩種不同磁熱彈性固體界面上彈性波的反射和透射

根據(jù)Snell定理，在反射和透射問題中，所有波（入射波和反射波）的視波數(shù)都應(yīng)相等，即

設(shè)入射波的勢函數(shù)分別為

反射波勢函數(shù)分別為

透射波的勢函數(shù)分別為

邊界條件可以寫為

將式（25）（26）和式（27）～（32）分別代入式（33）中，可得到反射波和透射波與入射波的振幅比．

用在一個周期內(nèi)反射波和透射波所攜帶的平均能流與入射波的平均能流密度之比來定義反射系數(shù)和透射系數(shù)．

計算一個周期內(nèi)反射波、透射波以及入射波的平均能流．應(yīng)用平均能流密度計算式

可以計算出耦合Ｐ波和耦合SV波的平均能流密度，即

根據(jù)法向能量守恒原理，則當(dāng)MT1波入射時，有

即入射波MT1在界面處通過單位面積的平均能流密度（輸入能流）等于反射波和透射波在界面處通過同一面積的平均能流密度（輸出能流）．本文用式（36）對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行驗證．

3 數(shù)值分析與討論

取不同的外加磁場，考察MT1波入射時外加磁場對各種波的影響，結(jié)果見圖2．

a 反射MT1波 b 反射MT2波 c 反射SV波

d 透射MT1波 e 透射MT2波 f 透射SV波

圖2 MTI波入射時外加磁場對各種波的影響

由圖2可以看出，反射MT1波、反射MT2波、反射SV波和透射MT2波隨外磁場的增加而增加（見圖2a～c和圖2e）；透射MT1波和透射SV波隨外磁場的增加而減?。ㄒ妶D2d和圖2f）．反射MT1波和透射MT1波、反射SV波和透射SV波隨外磁場的減小而逐漸趨于經(jīng)典彈性固體中的彈性波．

圖3 能量守恒驗證

能量守恒要求在界面處單位面積上流入的總能量等于在界面處相同面積上流出的總能量．本文對入射波、反射波和透射波所攜帶的一個周期內(nèi)的平均能流密度進(jìn)行了數(shù)值計算，并對能量守恒進(jìn)行了驗證．取不同的外磁場的值，考察入射MT1波的能量變化，結(jié)果見圖3．由圖3可以看出，數(shù)值計算的最大誤差不超過5%，所以計算結(jié)果是可靠的．

4 結(jié)論

本文通過考慮外磁場對彈性波的擾動作用和固體中的熱效應(yīng)，研究了彈性波的反射和透射問題．通過數(shù)值計算可以得出結(jié)論：（1）無能量耗散的GN(Ⅱ)模型中的熱傳導(dǎo)方程是波動方程，而且熱力完全耦合導(dǎo)致新的波動模式的出現(xiàn)；（2）熱效應(yīng)只影響縱波，對SV波沒有任何影響；（3）外磁場對縱波和SV波都有影響，而且影響效果不同，但是外磁場不會產(chǎn)生新的波動模式；（4）GN(Ⅱ)熱力耦合效應(yīng)和外磁場都不改變彈性波的色散特征，只改變彈性波的傳播速度的大小，即縱波和SV波仍然是非色散波；（5）外磁場的增加導(dǎo)致所有的反射波和透射MT2波增加而透射MT1和SV波減小，反射和透射MT1波和SV波都隨著外磁場的減小逐漸趨近于經(jīng)典彈性波．

[1] Kumar S，Pal C P，Majhi S．Reflection and Transmission of Plane SH-Waves Through an Anisotropic Magnetoelastic Layer Sandwiched Between Two Semi-Infinite Inhomogeneous Viscoelastic Half-Spaces[J]． Pure and Applied Geophysics， 2015， 172（10）：2621-2634．

[2] Kumar S，Majhi S，Pal C P．Reflection and transmission of plane SH-waves in two semi-infinite anisotropic magnetoelastic media[J]．Meccanica，2015，50（9）：2431-2440．

[3] LI Yueqiu，BIAN Xinyu，WANG Changda，et al．The influences of external magnetic field on the reflection and transmission waves at the interface of two dipolar gradient elastic solids[J]．Applied Mathematical Modelling，2023，121：524-541．

[4] Green A E．Thermoelasticity[J]．Journal of Elasticity，1972，2：1-7．

[5] Green A E，Naghdi P M．On Thermodynamics and the Nature of the Second Law[J]．Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences，1977，357：253-270．

[6] Lord H W，Shulman Y．A generalized dynamical theory of thermoelasticity[J]．Journal of Mechanics Physics of Solids，1967，15：299-309．

[7] Green A E，Naghdi P M．Thermoelasticity without energy dissipation[J]．Elast，1993，31（3）：189-208．

[8] LI Yueqiu，LI Long，WEI Peijun．Reflection and refraction of thermoelastic waves at an interface of two couple-stress solids based on Lord-Shulman thermoelastictheory[J]．Applied Mathematical Modelling，2018，55：536-550．

[9] LI Yueqiu，WANG Wanli，WEI Peijun，et al．Reflection and transmission of elastic waves at an interface with consideration of couple stress and thermal wave effects[J]．Meccanica，2018，53（11/12）：2921-2938．

[10] LI Yueqiu，WEI Peijun．Reflection and transmission of thermo-elastic waves without energy dissipation at the interface of two dipolar gradient elastic solids[J]．Journal of the Acoustical Society of America，2018，143（1）：550-562．

[11] Das P，Kanoria M．Magneto-thermo-elastic waves in an infinite perfectly conducting elastic solid with energy dissipation[J]．Applied Mathematics and Mechanics（English Edition），2009，30（2）：221-228．

[12] 魏培君．彈性波理論[M]．北京：北京科學(xué)出版社，2021．

ChinaReflection and transmission of magneto-thermo-elastic multi-physics fieldcoupling waves

YUE Tiantian，WANG Hong，HAN Yang，YANG Yaqin，LI Xiaohong，ZHOU Yang，DOU Hongshuang

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

Lorentz force is introduced by Maxwell electromagnetism theory to reflect the influence of external magnetic field on elastic wave propagation．The generalized thermo-elastic GN(Ⅱ) model is applied to reflect the influence of thermo-mechanical coupling effect on elastic wave propagation．The influence of external magnetic field and thermo-mechanical coupling effect on the wave mode and dispersion characteristics is analyzed by the dispersion equation and the phase velocity．The energy flux ratios of various reflected waves and transmitted waves to incident waves are calculated by using the continuous boundary conditions．Finally，the reliability of the numerical calculation results is verified by the normal energy conservation．

coupling effect；Lorentz force; reflection；transmission；energy flux ratio

O241.8∶O441

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.02.003

1007-9831（2024）02-0009-06

2023-07-03

黑龍江省基本業(yè)務(wù)費專項資助項目（135509123）；黑龍江省高等教育教學(xué)改革項目（SJGY20210966）；齊齊哈爾大學(xué)教育科學(xué)研究項目（GJZRZX202003）

岳田田（1998-），女，黑龍江綏化人，在讀碩士研究生，從事復(fù)雜介質(zhì)彈性波傳播研究．E-mail：2095246045@qq.com

王紅（1971-），女，黑龍江齊齊哈爾人，教授，從事復(fù)雜介質(zhì)彈性波傳播研究．E-mail：wanghonglaoshi@163.com.