［摘? 要］ 文章從“舊知回顧，知識(shí)梳理”“情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)認(rèn)知沖突”“深入探究，理解偶函數(shù)”“問題啟發(fā)，辨析偶函數(shù)”“類比分析，探尋奇函數(shù)”五方面展開“函數(shù)奇偶性”的概念教學(xué)，并從以下三方面談一些思考：放低教學(xué)起點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)合理情境，經(jīng)歷探究過程.

［關(guān)鍵詞］ 概念教學(xué)；偶函數(shù)；奇函數(shù)

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是知識(shí)建構(gòu)的基石. 但在實(shí)際教學(xué)中，容易產(chǎn)生“重結(jié)果，輕過程”“重抽象，輕表象”“重應(yīng)用，輕建構(gòu)”的現(xiàn)象. 殊不知，概念表達(dá)、生成、應(yīng)用與建構(gòu)是概念學(xué)習(xí)的重中之重，是實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)的基本保障. “函數(shù)奇偶性”的概念教學(xué)，引發(fā)了筆者的一些思考與體會(huì).

教學(xué)簡錄

1. 舊知回顧，知識(shí)梳理

課堂開始，以舊知回顧的方式梳理知識(shí)，可達(dá)到承上啟下的作用. 為喚醒學(xué)生的記憶，筆者要求學(xué)生思考如下幾個(gè)問題：①說說什么是軸對稱圖形和中心對稱圖形，它們分別具備怎樣的性質(zhì)？②你所認(rèn)識(shí)的函數(shù)圖象中，是否存在軸對稱圖形或中心對稱圖形？舉例并明確說出它們的對稱軸或?qū)ΨQ中心. ③為什么這些函數(shù)圖象關(guān)于中心對稱或軸對稱？你這么確定的理由是什么？

設(shè)計(jì)意圖 軸對稱與中心對稱是學(xué)生初中階段就已經(jīng)接觸過的內(nèi)容，這里以幾個(gè)簡單問題喚醒學(xué)生的記憶，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本節(jié)課的教學(xué)主題與軸對稱或中心對稱相關(guān).

鑒于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，問題①和問題②學(xué)生回答得比較流暢，并且列舉出函數(shù)y=x2，y=. 但對于問題③，不少學(xué)生給出的理由是“從圖形觀察而來”. 雖然判斷是正確的，但提供的依據(jù)并不充足.

2. 情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)認(rèn)知沖突

問題1 請判斷圖1中的函數(shù)圖象是否關(guān)于y軸對稱.

大部分學(xué)生都認(rèn)為圖1所示的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱. 此時(shí)筆者借助幾何畫板進(jìn)行演示：在圖1上作y軸的一條垂線，與拋物線分別交于點(diǎn)A，B，如圖2、圖3所示，讓學(xué)生來看點(diǎn)A，B是否關(guān)于y軸對稱.

顯然，幾何畫板所呈現(xiàn)的結(jié)果出乎學(xué)生的意料——點(diǎn)A，B竟然不關(guān)于y軸對稱. 此過程成功地激起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，不少學(xué)生迫不及待地想要探尋其中的奧秘.

設(shè)計(jì)意圖 筆者所呈現(xiàn)的圖1并不是一個(gè)對稱圖形，但兩側(cè)的差別比較細(xì)微，憑借我們的肉眼根本分辨不出來. 此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是為了打破學(xué)生直觀判斷的思維定式，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主思考“該怎樣準(zhǔn)確判斷函數(shù)圖象是否關(guān)于y軸對稱”，這為明確本節(jié)課概念學(xué)習(xí)將解決什么具體問題奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)讓學(xué)生切實(shí)感受到引入數(shù)量關(guān)系的必要性，弄清奇函數(shù)與偶函數(shù)概念的形成源頭.

3. 深入探究，理解偶函數(shù)

問題2 我們可以從什么角度來判斷某個(gè)函數(shù)圖象是否關(guān)于y軸對稱？

生1：可從點(diǎn)的坐標(biāo)來判斷.

師：很好！坐標(biāo)作為一種可以傳遞數(shù)量關(guān)系的工具，能夠準(zhǔn)確判斷圖象的對稱性. 如圖4所示，任取函數(shù)y=f（x）圖象上的一點(diǎn)P（x，y），如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，那么點(diǎn)P存在什么性質(zhì)？

此時(shí)，筆者將偶函數(shù)的定義板書出來，并借助幾何畫板演示點(diǎn)P在函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，學(xué)生通過視覺直觀獲得了兩點(diǎn)啟示：①偶函數(shù)定義中的自變量x是任意的；②函數(shù)定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，是偶函數(shù)的必要非充分條件. 此過程讓學(xué)生充分意識(shí)到：偶函數(shù)從數(shù)形結(jié)合的角度來看，在“數(shù)”上f（-x）=f（x）恒成立，在“形”上具有圖象關(guān)于y軸對稱的性質(zhì).

接下來，筆者提出兩道簡單的證明題，以強(qiáng)化學(xué)生對偶函數(shù)定義的理解：①求證函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為偶函數(shù)；②求證函數(shù)f（x）=2x4-3x2為偶函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 在問題1的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅主動(dòng)參與到“利用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對稱性”的研究中來，還在大腦中自主建構(gòu)偶函數(shù)的定義，從真正意義上實(shí)現(xiàn)了由形到數(shù)的靈活轉(zhuǎn)化.

4. 問題啟發(fā)，辨析偶函數(shù)

問題3 對于不是偶函數(shù)的函數(shù)，該怎樣用數(shù)量關(guān)系來描述呢？

為弄清楚這個(gè)問題，筆者帶領(lǐng)學(xué)生從問題1出發(fā)，根據(jù)圖3說一說怎樣確定該函數(shù)圖象并非關(guān)于y軸對稱. 顯然，圖3中的點(diǎn)A的對稱點(diǎn)不在該函數(shù)圖象上，說明只要函數(shù)圖象上有一點(diǎn)不關(guān)于y軸對稱，那么該函數(shù)圖象就不是軸對稱圖形，該函數(shù)就一定不是偶函數(shù).

關(guān)于如何準(zhǔn)確應(yīng)用數(shù)量關(guān)系來表示對稱關(guān)系，學(xué)生提出：設(shè)A（x，y），若f（-x）≠f（x），則函數(shù)f（x）不是偶函數(shù).

筆者肯定了學(xué)生的想法，并強(qiáng)調(diào)：如果函數(shù)f（x）的定義域D不關(guān)于原點(diǎn)對稱，或函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱但f（-x）≠f（x）（x∈D），那么該函數(shù)一定不是偶函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 問題3的提出，具有進(jìn)一步辨析偶函數(shù)定義中“x具有任意性”的作用，也為接下來探討非奇非偶函數(shù)奠定了基礎(chǔ). 鑒于學(xué)生容易出現(xiàn)類似于“f（-x）≠f（x）”的表達(dá)，筆者帶領(lǐng)學(xué)生回過頭來觀察圖2與圖3，讓學(xué)生從根本上理解“任意”和“存在”之間的區(qū)別.

5. 類比分析，探尋奇函數(shù)

問題4 怎樣判斷某個(gè)函數(shù)圖象是否關(guān)于原點(diǎn)對稱呢？

有了前車之鑒，學(xué)生面對這個(gè)問題時(shí)，沒有再提出通過觀察來獲得結(jié)論，而是自發(fā)進(jìn)入了小組合作學(xué)習(xí)狀態(tài)，并通過交流順利獲得了滿足奇函數(shù)條件的數(shù)量關(guān)系. 為了強(qiáng)化學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)，筆者在此環(huán)節(jié)中再次借助幾何畫板演示點(diǎn)P在圖象上運(yùn)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)奇函數(shù)的定義與判斷注意事項(xiàng).

與偶函數(shù)類似，判斷奇函數(shù)存在以下值得注意的地方：①奇函數(shù)定義中的自變量x是任意的. ②奇函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，是判斷奇函數(shù)的必要非充分條件. 同時(shí)，從“數(shù)”的特征來講，奇函數(shù)必須是f（-x）= -f（x）恒成立；在“形”態(tài)上，奇函數(shù)必須是圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

基于以上研究，筆者又陸續(xù)提出了以下三個(gè)問題以拓展學(xué)生的思維，完善學(xué)生對奇函數(shù)定義的認(rèn)識(shí).

問題5 怎樣應(yīng)用數(shù)量關(guān)系對“函數(shù)不是奇函數(shù)”進(jìn)行描述？

問題6 對于非奇非偶函數(shù)，我們該怎樣用數(shù)量關(guān)系來描述它？

問題7 是否有函數(shù)既屬于奇函數(shù)，又屬于偶函數(shù)？

當(dāng)學(xué)生順利完成以上三個(gè)問題后，筆者再要求學(xué)生判斷函數(shù)f（x）=（x-1）2-1（x∈R）的奇偶性.

設(shè)計(jì)意圖 有了問題3的鋪墊，解決問題5就是水到渠成的事情. 如此設(shè)計(jì)的目的就在于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題3與問題5的探索，自主寫出非奇非偶函數(shù)的定義. 問題7的提出在于幫助學(xué)生進(jìn)一步完善概念，將既屬于奇函數(shù)又屬于偶函數(shù)的定義引入到課堂中，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱”的前提. 此處對判斷函數(shù)奇偶性例題的應(yīng)用，是以學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——二次函數(shù)為起點(diǎn)，低起點(diǎn)的例題訓(xùn)練能夠激起學(xué)生的參與意識(shí)，筆者趁機(jī)向?qū)W生強(qiáng)化怎樣用數(shù)量關(guān)系來表明非奇非偶函數(shù).

幾點(diǎn)思考

1. 放低教學(xué)起點(diǎn)

概念教學(xué)屬于一個(gè)章節(jié)或一個(gè)單元的基礎(chǔ). 既然是基礎(chǔ)，那么必然從低起點(diǎn)開始，為學(xué)生逐層鋪設(shè)臺(tái)階，讓學(xué)生的思維隨著探索逐漸深入、拾級(jí)而上. 函數(shù)的奇偶性對于學(xué)生而言，不是毫無基礎(chǔ)，初中階段就研究過中心對稱圖形與軸對稱圖形，且能夠用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱的情況. 但是，學(xué)生之前所接觸的對稱以及函數(shù)性質(zhì)等，均是從“形”的角度來體現(xiàn)的，但如今更趨向于“數(shù)”的刻畫.

由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變屬于思維發(fā)展的重點(diǎn)與難點(diǎn)，因此本節(jié)課教學(xué)基于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)儲(chǔ)備出發(fā)，將學(xué)生對“形”的理解作為研究起點(diǎn)，雖說降低了教學(xué)進(jìn)度，但成效卓著.

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，不少初入高中的學(xué)生，一般只會(huì)通過觀察來判斷兩個(gè)數(shù)是否相等或互為相反數(shù). 因此，當(dāng)判斷類似于-與-的關(guān)系時(shí)有點(diǎn)無所適從，故而認(rèn)為y=-是非奇非偶函數(shù)，顯然這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.

事實(shí)上，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的主要原因就在于學(xué)生對由數(shù)量關(guān)系a+b=0判斷a，b互為相反數(shù)的缺失. 鑒于此，教師應(yīng)充分了解學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，盡可能放低教學(xué)起點(diǎn)，借助幾何畫板等先進(jìn)的軟件進(jìn)行演示，讓學(xué)生充分體驗(yàn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題的重要性與必要性.

2. 創(chuàng)設(shè)合理情境

降低教學(xué)起點(diǎn)后，若直接向?qū)W生呈現(xiàn)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，顯然是不合理的，而應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與學(xué)習(xí)需求，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下理解“用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱的具體原因”，同時(shí)思考“初中階段常用的觀察法，在此為什么就不適用了呢？”學(xué)生一旦明確“這么做的原因是什么”，就能從真正意義上知道“怎么做”.

本節(jié)課教學(xué)，筆者通過問題1的設(shè)置，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，接下來應(yīng)用幾何畫板的演示，讓學(xué)生自主感知“觀察法存在的不足”，為促使學(xué)生改進(jìn)探索思路與研究方法奠定了基礎(chǔ). 后面的問題情境不僅揭露了函數(shù)奇偶性概念形成的前因后果，還讓學(xué)生從內(nèi)心深處真正接納了函數(shù)奇偶性的定義，為這部分知識(shí)的靈活應(yīng)用夯牢了根基. 因此，合理的教學(xué)情境不僅能夠啟發(fā)學(xué)生的思維，提高研究效率，還能從很大程度上激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的研究興趣，產(chǎn)生較大的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力.

3. 經(jīng)歷探索過程

實(shí)際教學(xué)中常存在如下現(xiàn)象：對于一些步驟多、運(yùn)算量大的問題，不少學(xué)生剛開始求解都是比較積極的狀態(tài)，但求著求著就喪失了信心，甚至出現(xiàn)了厭煩心理，從而抄答案或人云亦云. 出現(xiàn)這種現(xiàn)象，有些教師認(rèn)為這是學(xué)生懶惰導(dǎo)致的，而學(xué)生卻抱怨問題過于煩瑣，解題過程冗長，實(shí)在難以提起興趣. 其實(shí)，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是學(xué)生沒有經(jīng)歷完整的概念探索過程. 眾所周知，每一個(gè)概念的發(fā)生、發(fā)展、成形都離不開不斷探索的過程. 若教師為了節(jié)約時(shí)間而忽略引導(dǎo)學(xué)生親歷概念形成與發(fā)展的過程，則學(xué)生只知其然不知其所以然，在應(yīng)用時(shí)難免出錯(cuò)，久而久之就會(huì)出現(xiàn)學(xué)生做事虎頭蛇尾的現(xiàn)象.

在日常教學(xué)中，注重帶領(lǐng)學(xué)生親歷概念形成與發(fā)展的過程，能讓學(xué)生從根本上認(rèn)識(shí)到任何成功都不是一蹴而就的，只有腳踏實(shí)地地努力與奮斗，才能碩果累累.

總之，作為一線的數(shù)學(xué)教師應(yīng)深入了解概念教學(xué)的重要性，走出概念教學(xué)的誤區(qū). 放低教學(xué)起點(diǎn)，通過合理的問題情境引發(fā)學(xué)生的概念探究興趣，讓學(xué)生親歷概念形成與發(fā)展的過程，為后續(xù)靈活應(yīng)用概念奠定基礎(chǔ).

作者簡介：于偉（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.