差比復(fù)合型數(shù)列的六種解法及其應(yīng)用

張宇

摘 要：差比型復(fù)合數(shù)列的求和問題是高中數(shù)學(xué)中數(shù)列內(nèi)容的一個重點(diǎn)，也是學(xué)生容易丟分的題型.文章先從不同的視角給出差比復(fù)合型數(shù)列的六種求和方法，然后結(jié)合高考題，談?wù)勥@些方法在高考題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；差比復(fù)合型數(shù)列；求和；應(yīng)用

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0088-03

差比復(fù)合型數(shù)列的求和在高考中頻繁出現(xiàn)，如2020年全國Ⅰ卷、Ⅲ卷等. 教師課堂上給的方法一般都是“錯位相減”，這種方法比較直觀，學(xué)生也好理解，但我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常算錯，很難得到正確答案. 那怎樣解決這一問題呢？除了多訓(xùn)練運(yùn)算能力外，筆者認(rèn)為以下兩點(diǎn)也很重要：（1）找出“錯位相減”法的易錯環(huán)節(jié)，并進(jìn)行優(yōu)化；（2）嘗試從其他運(yùn)算量較小或處理方式更簡潔或更容易理解的角度來解決.

1? 差比復(fù)合型數(shù)列的定義

定義：設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，cn=anbn，則稱cn為差比復(fù)合型數(shù)列.

2 差比復(fù)合型數(shù)列的解法

引例 已知an=（2n-1）×3n，n∈N*，求數(shù)列an的前n項和Sn.

分析1 根據(jù)Sn的結(jié)構(gòu)，將Sn乘以3，以獲得更多的“同類項”，然后錯開一位，兩式相減.“錯位”的目的是方便同類項合并.

解法1 （錯位相減法）

Sn=1×3+3×32+…+（2n-1）·3n.①

3Sn=1×32+3×33+…+（2n-3）·3n+（2n-1）·3n+1 .②

①-②，得

所以2Sn=（2n-2）·3n+1+6.

所以Sn=（n-1）·3n+1+3.

3n+c，通過待定系數(shù)法，可求出常數(shù)p，q，c［1］.

解法2 （裂項相消法）

把a(bǔ)n裂項為an=bn+1-bn，可設(shè)bn=（pn+q）×3n（因常數(shù)c抵消了），則

［p（n+1）+q］×3n+1-（pn+q）×3n=（2n-1）×3n.

即（2pn+3p+2q）×3n=（2n-1）×3n.

所以bn=（n-2）·3n，

an=（n-1）×3n+1-（n-2）×3n.

分析3 因?yàn)閍n=Sn-Sn-1（n≥2），設(shè)an=bn+1-bn（bn的求法同分析2），則Sn-Sn-1=bn+1-bn.即Sn-bn+1=Sn-1-bn（n≥2）.故{Sn-bn+1}是常數(shù)列.所以Sn-bn+1=S1-b2.即Sn=bn+1+a1-b2. 此處起到調(diào)節(jié)作用的是bn，而因?yàn)閎n和Sn的結(jié)構(gòu)相似，故可設(shè)bn=（pn+q）×3n［2］.

解法3 （構(gòu)造常數(shù)列）

設(shè)an=bn+1-bn，bn=（pn+q）×3n，同解法2，可得bn=（n-2）·3n.

所以an=（n-1）×3n+1-（n-2）×3n.

又an=Sn-Sn-1，

故Sn-Sn-1=（n-1）×3n+1-（n-2）×3n.

即Sn-（n-1）×3n+1=Sn-1-（n-2）×3n.

所以{Sn-（n-1）×3n+1}是常數(shù)列.

故Sn-（n-1）×3n+1=S1-（1-1）×32=3.

所以Sn=（n-1）×3n+1+3.

分析4 阿貝爾公式為

解法4 （利用阿貝爾公式）

分析5 不妨設(shè)an=（pn+q）xn，p，q，x為常數(shù)，x≠0，1. 根據(jù)an的結(jié)構(gòu)，將Sn分拆為兩組，得

Sn=（p+q）x+（2p+q）x2+（3p+q）x3+…+（np+q）xn

=（px+2px2+3px3+…+npxn）+q（x+x2+x3+…+xn）

=px（1+2x+3x2+…+nxn-1）+q（x+x2+x3+…+xn）.

解法5 （微分法）

將數(shù)列的和分拆為兩部分：

Sn=（2-1）×3+（4-1）×32+（6-1）×33+…+（2n-1）×3n

=（2×3+4×32+6×33+…+2n×3n）-（3+32+33+…+3n）

=2×3（1+2×3+3×32+…+n×3n-1）-（3+32+33+…+3n），

引入變量x（x≠0，1），則

兩邊對x求導(dǎo)得

令x=3代入Sn，得

分析6 設(shè)an=（an+b）qn，則其前n項和Sn=（Bn-A）qn+A.證明過程留給讀者完成.

解法6 （公式法）設(shè)Sn=（Bn-A）qn+A，由題意，S1=3，S2=3+33=30.

解得A=3，B=3.

所以Sn=（n-1）·3n+1+3.

3 在高考中的應(yīng)用

例1 （2020年全國Ⅲ卷） 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）猜想{an}的通項公式并加以證明；

（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.

解析 （1）an=2n+1.

（2）由（1）可知，an·2n=（2n+1）·2n.

Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）×2n-1+（2n+1）×2n，③

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1，④

由③-④，得

即Sn=（2n-1）×2n+1+2.

例2 （2020年全國Ⅰ卷）設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項.

（1）求an的公比；

（2）若a1=1，求數(shù)列{nan}的前n項和.

解析 （1）公比q=-2.

（2）設(shè){nan}的前n項和為Sn，a1=1，an=（-2）n-1，

Sn=1×1+2×（-2）+…+n（-2）n-1，⑤

-2Sn=1×（-2）+2×（-2）2+3×（-2）3+…+（n-1）（-2）n-1+n（-2）n.⑥

⑤-⑥，得

4 結(jié)束語

給一線教師和高中生一點(diǎn)建議：對于差比型復(fù)合數(shù)列的求和問題，平時要多練習(xí)，做到熟能生巧.考場上，時間緊，任務(wù)重，最好的方法往往就是最常規(guī)的方法，也是你平時熟悉的解法.做完以后，記得把數(shù)列的第一項和第二項代入所得到的前n項和公式檢驗(yàn)一下，只要正確，說明你的答案應(yīng)該是正確的.

參考文獻(xiàn)：

［1］王峰.差比型數(shù)列前n項和求解的另一通法：導(dǎo)數(shù)法[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（01）：42-43.

[2] 徐章韜，李鴻昌.在深度解讀教材中增長見識[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（11）：11-13.