齊美 郜舒竹
【摘?? 要】“倍”這一概念在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中具有重要價值。它能夠豐富學(xué)生早期的計數(shù)經(jīng)驗,為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、比奠定基礎(chǔ),并幫助學(xué)生發(fā)展單位化的眼光。為此,可設(shè)計“用‘倍看關(guān)系”的學(xué)習(xí)活動,通過具身活動操作、個體經(jīng)驗聯(lián)結(jié)、多元圖式建構(gòu)、關(guān)鍵概念辨析四個步驟,幫助學(xué)生主動建構(gòu)倍的心理意義、理解倍的數(shù)學(xué)含義并形成多元化表征的能力。此外,為避免學(xué)生混淆“倍的認(rèn)識”中的“倍”與“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”兩個概念,還需對這兩個概念的異同進(jìn)行比較,以促進(jìn)學(xué)生對“倍”和“倍數(shù)”的理解。
【關(guān)鍵詞】倍的認(rèn)識;學(xué)習(xí)活動;因數(shù)與倍數(shù)
本刊上一期刊登的《“倍”的意義不僅是除法運算的結(jié)果》一文指出,有關(guān)“倍的認(rèn)識”的教學(xué)存在意義不完善的問題,即將“倍”僅僅理解為除法運算的結(jié)果。事實上,“倍”還可以用于描述關(guān)系。在此基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步分析“倍”的課程價值,探究如何在數(shù)學(xué)課程設(shè)計與實施中落實“倍是關(guān)系”的意義,并讓學(xué)生在具身活動中,借助隱喻思維體會“倍是關(guān)系”。但在這一過程中,學(xué)生會遇到一些認(rèn)識上的障礙,易于混淆“倍的認(rèn)識”中的“倍”與“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”兩個概念。為此,需要對這兩個概念的異同進(jìn)行比較,以避免概念上的混淆。
一、“倍”的課程價值
“倍”是表達(dá)量與量、數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的語言。這種抽象的理解需要依賴隱喻。隱喻不僅僅是一種語言現(xiàn)象,還是人類理解周圍世界的一種感知和形成概念的工具[1]。喬治·萊考夫在《數(shù)學(xué)從哪里來》一書中提到:人類天生具有內(nèi)含的算術(shù)能力,包括識別少量物體數(shù)量的計數(shù)能力和進(jìn)行簡單加減的運算能力。不過,當(dāng)物體數(shù)量大于4時,人類隨之需要發(fā)展組合分組能力與符號表征能力。而若想全面掌握數(shù)的運算及其屬性,就需要提升隱喻能力(Metaphorizing Capacity)以及概念融合能力(Conceptual-blending Capacity)等認(rèn)知能力。[2]這表明概念隱喻和概念融合是人類最基本的認(rèn)知機制之一,它們共同促進(jìn)了人類從先天算術(shù)能力發(fā)展到自然數(shù)的基本算術(shù)能力的進(jìn)化。
在數(shù)學(xué)認(rèn)知中,數(shù)可被視為一組對象所形成集合的隱喻,即一種從物理對象領(lǐng)域到數(shù)字領(lǐng)域的精確映射。因此,“5和7哪個大”和“2比4小”此類表達(dá)在人的頭腦中根深蒂固??蓪嶋H上,數(shù)本身并無大小之分,人無法直接看見數(shù)的具體存在。比如,當(dāng)學(xué)生在現(xiàn)實世界看到圖1所示的小方塊時,他們就會在頭腦中形成6的概念,表示這些小方塊的總數(shù)量是6個。
然而,隱喻的過程并不是一成不變的。即使是相同數(shù)量的對象,也會因為使用的映射方式不同,而在頭腦中形成不同的數(shù)。比如,當(dāng)學(xué)生看到圖2所示的小方塊時,他們可能會無意識地對其進(jìn)行分組,將2個小方塊視為一個單位。此時,他們的意識中便會浮現(xiàn)3。這里的3表示有3組,每組包含2個小方塊。這表明“倍表示關(guān)系”以隱喻的方式存在于學(xué)生早期的計數(shù)階段,并豐富了他們的計數(shù)經(jīng)驗。
學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)“倍表示關(guān)系”時,會認(rèn)識三種意象圖式(Image Schema),即比較圖式、部分—整體圖式和變化圖式,分別對應(yīng)用“倍”描述的三種不同關(guān)系:不同對象之間的關(guān)系、部分與整體的關(guān)系和變化前后的關(guān)系。這三種意象圖式在后續(xù)分?jǐn)?shù)和比的學(xué)習(xí)中也有所體現(xiàn),為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和比奠定了基礎(chǔ)。
首先是比較圖式。分?jǐn)?shù)和比都具有描述不同對象之間關(guān)系的功能。以圖3為例,用分?jǐn)?shù)的語言來說,第一行小方塊的數(shù)量是第二行小方塊數(shù)量的[12]。用比來描述,則可以說第一行小方塊與第二行小方塊的數(shù)量之比為1∶2。
其次是部分—整體圖式。分?jǐn)?shù)與比都包含描述部分與整體關(guān)系的意義。例如,將長方形ABCD沿著中線EF對折再打開(如圖4),所形成的長方形ABFE的面積是長方形ABCD面積的[12],也可以說長方形ABFE與長方形ABCD的面積之比是1∶2。
[A][E][D][C][F][B]
圖4 長方形ABCD的對折打開圖
最后是變化圖式。分?jǐn)?shù)與比在變化圖式的應(yīng)用上有所不同。先看分?jǐn)?shù),假設(shè)一個月前,樹苗A高8分米,樹苗B高12分米?,F(xiàn)在它們的高度分別是11分米和15分米。請問:哪株樹苗長得快?用加法來推理,可以得出兩株樹苗都長高了3分米,因此長得一樣快。而用乘法來推理,得出的結(jié)果卻是樹苗A長得更快。這是因為與原先的高度相比,樹苗A長高了[38],樹苗B長高了[312],[38]大于[312],所以樹苗A長得更快。再看比,變化圖式在比例問題上體現(xiàn)為表征形式的相似。例如,將一個保溫杯縮小為原來的一半畫在紙張上,那么在原始圖像中相等的東西,在新建立的圖像中也應(yīng)該相等。這意味著從原始圖像到新建立圖像的映射過程描述為相似性,但圖像元素中內(nèi)部結(jié)構(gòu)的比不變。[3]
除了能為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和比奠定基礎(chǔ),倍的學(xué)習(xí)還能幫助學(xué)生發(fā)展單位化的眼光。杜威在《數(shù)的心理學(xué)》中提到:數(shù)被簡單定義為多少個度量單位(Units of Measurement),往往是抽象的[4]??梢姡硎疽粋€量數(shù)值的數(shù)與度量單位和重復(fù)次數(shù)密不可分。從離散的角度來看,數(shù)是許多個度量單位所構(gòu)成的統(tǒng)一體;從抽象的角度來看,數(shù)則是一個度量單位所形成的局部。例如,50元既可以看成是由50個1元組成的,也可以直接看作一個度量單位。用倍的語言來說就是:50元是1元的50倍,或者50元的1倍。當(dāng)然,50還可以由其他不同的組合方式組成,如2個25、5個10、10個5等。選擇的度量單位不同,度量的方式也不同。
綜觀學(xué)生從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)再到無理數(shù)的數(shù)概念學(xué)習(xí)過程,倍、分?jǐn)?shù)、比這三個概念密切相關(guān)。以乘法比較的相關(guān)問題為例,在倍的學(xué)習(xí)中,通常將較小量看作單一量(標(biāo)準(zhǔn)量),與較大量進(jìn)行比較。而在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中,通常將較大量看作單位“1”(標(biāo)準(zhǔn)量),與較小量進(jìn)行比較。這兩種方式分別用“一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍?”和“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾?”來表述。例如,如果短木棒長10厘米,長木棒長15厘米,那么既可以說長木棒的長度是短木棒長度的1.5倍,也可以說短木棒的長度是長木棒長度的[23]。此外,“倍”還是理解“比”的重要基礎(chǔ),因此可以用組合單位的方式來理解比。比如:如果4顆藍(lán)莓的價格是1元,那么這4顆藍(lán)莓就可以看作一個單位?;谶@個單位可以推導(dǎo)出其他倍數(shù)成立的情況,如8顆藍(lán)莓2元、40顆藍(lán)莓10元等。同時,也可以將單位進(jìn)行縮小運算,得出2顆藍(lán)莓為0.5元、1顆藍(lán)莓為0.25元。也就是說,任何數(shù)量的藍(lán)莓都可以通過使用這些組合的單位來定價。
綜上所述,“倍”這一概念在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中具有重要價值。它不僅能夠豐富學(xué)生早期的計數(shù)經(jīng)驗,為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和比奠定基礎(chǔ),還能幫助學(xué)生發(fā)展單位化的眼光。因此,如何設(shè)計相關(guān)的學(xué)習(xí)活動,以促進(jìn)學(xué)生理解“倍”這一概念就顯得尤為重要。
二、“用‘倍看關(guān)系”的學(xué)習(xí)活動設(shè)計
學(xué)習(xí)活動是學(xué)生通過自我理解、生生互動、師生交流實現(xiàn)變教為學(xué)的一種方式。從多元表征的認(rèn)知功能來看,設(shè)計學(xué)習(xí)活動的意義在于整合各種表征的優(yōu)勢與特點,形成更為完善的內(nèi)在表征結(jié)構(gòu)。而精心設(shè)計多元表征的學(xué)習(xí)活動,能夠幫助學(xué)生深入理解并內(nèi)化多元表征,生成整個表征結(jié)構(gòu),并學(xué)會建構(gòu)多元表征的策略與方法等。[5]
人的認(rèn)知是在其心智、身體與環(huán)境互動的過程中,無意識形成的具有穩(wěn)定性的思維方式。這種思維方式會不自覺地支配人們的行為,兼具“意象”和“圖式”的意義。[6]作為一個抽象數(shù)學(xué)概念,學(xué)生對“倍”的理解與掌握需要經(jīng)歷三個階段:首先是現(xiàn)實世界中的具身操作,其次是思維世界中的具身經(jīng)驗積累,最后是符號世界的抽象表征。學(xué)生若要理解某個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),就必須在這個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與另一個更易理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間建立對應(yīng)關(guān)系。而表征是建立意義、交流信息、促進(jìn)理解的重要手段。[7]
“倍的認(rèn)識”是人教版教材三年級上冊的教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)時,教師可以按照具身活動操作、個體經(jīng)驗聯(lián)結(jié)、多元圖式建構(gòu)、關(guān)鍵概念辨析四個步驟,幫助學(xué)生主動建構(gòu)倍的心理意義、理解倍的數(shù)學(xué)含義,形成多元化表征的能力。
教學(xué)伊始,教師通過展示兩組不同小方塊學(xué)具之間的關(guān)系,激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗,如加、減法之間的關(guān)系,引出課題——用“倍”看關(guān)系。教學(xué)中,教師主要安排以下四個學(xué)習(xí)任務(wù)。
任務(wù)一:用學(xué)具擺出“2倍”關(guān)系
學(xué)具的拼擺是一種將抽象的數(shù)學(xué)概念“2倍”關(guān)系具體化的活動。在具身操作活動中,學(xué)生通過摸、擺、拼等方式,深入體會“2倍”關(guān)系的實質(zhì),從而形成對比不同對象的意象圖式。這種具身體驗使學(xué)生更容易理解和構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的模型。在這一過程中,學(xué)生經(jīng)歷用不同的對象表示“2倍”關(guān)系,體會“2倍”關(guān)系的表述既可以是“6個小方塊是3個小方塊的2倍”,也可以是“8個小方塊是4個小方塊的2倍”,以及更多類似的表述。但無論學(xué)具如何拼擺,其倍數(shù)關(guān)系都具有一個共同的特征,即內(nèi)在的抽象性。可見,理解這種抽象概念需要依賴具體的、具有象征意義的操作。
任務(wù)二:結(jié)合自身經(jīng)驗,舉例說明“2倍”關(guān)系
數(shù)學(xué)語言有助于提升學(xué)生的敘述性表征能力和邏輯推理能力。學(xué)生通過運用自身經(jīng)驗舉例說明“2倍”關(guān)系,實現(xiàn)了新舊知識的整合與同化。在這一過程中,他們能夠靈活運用倍數(shù)關(guān)系描述不同物體之間的數(shù)量關(guān)系,如“有兩堆鉛筆,4支鉛筆是2支鉛筆數(shù)量的2倍”“2塊粉橡皮是1塊白橡皮數(shù)量的2倍”。這不僅有助于監(jiān)測學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,還能提升他們運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界的能力。
任務(wù)三:通過折紙活動,找到“8倍”關(guān)系
教師先向?qū)W生示范將長方形紙張對折的過程,引導(dǎo)學(xué)生觀察紙張對折過程中面積發(fā)生的變化,使學(xué)生初步理解“倍”表示部分與整體的關(guān)系。隨后,讓學(xué)生展開自主探究,自行嘗試將一張長方形紙對折、對折、再對折。通過這樣的三次對折,學(xué)生發(fā)現(xiàn):整個長方形的面積分別是每次對折后小長方形面積的2倍、4倍、8倍。這一發(fā)現(xiàn)打破了學(xué)生的線性認(rèn)知,使他們意識到紙張的對折過程并非簡單的線性變化,而是涉及更復(fù)雜的非線性關(guān)系。從表征的感覺通道來說,折紙是一種動作表征,能激活學(xué)生頭腦中關(guān)于倍數(shù)關(guān)系的認(rèn)知,促進(jìn)他們對這一知識的理解與應(yīng)用。為此,可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)對折紙張,讓他們思考接下來會形成怎樣的倍數(shù)關(guān)系,由此激發(fā)他們的求知欲和探索精神。
任務(wù)四:小組討論“增加了2倍”與“增加為原來的2倍”的意思是否一樣
任務(wù)四要求學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”的另一種含義,即描述物體數(shù)量變化前后的關(guān)系,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光,使學(xué)生學(xué)會動態(tài)地看待倍數(shù)關(guān)系。通過小組討論和辨析,學(xué)生體會到小方塊“增加了2倍”與“增加為原來的2倍”這兩種表達(dá)方式在意義上的差異。具體來說,“小方塊增加了2倍”形成了新的標(biāo)量關(guān)系。將初始狀態(tài)下小方塊的數(shù)量看作單一量,增加了2倍表明增加的量是單一量的2倍,那么結(jié)束狀態(tài)下小方塊的數(shù)量就是原來的3倍。這一變化后與變化前的增量,意義指向標(biāo)量關(guān)系的動態(tài)改變。而意義又源于差異。[8]為此,要讓學(xué)生在差異中進(jìn)一步理解倍數(shù)關(guān)系的不同含義。
這四個任務(wù)不僅能幫助學(xué)生理解“倍”的含義并建構(gòu)“倍”的意義,還能在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的作用,喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、比等概念奠定基礎(chǔ)。其中,任務(wù)一幫助學(xué)生理解不同對象之間的關(guān)系,是他們學(xué)習(xí)比的概念的重要基礎(chǔ),如寵物店里貓與狗的數(shù)量之比是3∶2、圓周長與直徑之比為π∶1等。而這些比的概念又延伸出重要的數(shù)學(xué)推理方法——比例推理。利用比例推理,就能有效解決路程問題、比例尺問題、密度問題以及濃度問題等。[9]任務(wù)三著重引導(dǎo)學(xué)生理解部分與整體的關(guān)系,是建立分?jǐn)?shù)概念的起點,旨在通過折紙活動,讓學(xué)生更直觀地理解分?jǐn)?shù)的面積模型。此外,分?jǐn)?shù)還涉及測量的意義。以分?jǐn)?shù)[38]為例,它表示以分?jǐn)?shù)[18]為單位長度,數(shù)出這樣的3個單位長度,即3倍的[18]。按照這樣的認(rèn)識,學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)是單位分?jǐn)?shù)的倍數(shù),從而拓展了對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知。任務(wù)四旨在引導(dǎo)學(xué)生思考如何解釋加法推理和乘法推理的區(qū)別,以幫助學(xué)生更好地掌握加法比較和乘法比較之間的異同。綜上所述,這四個任務(wù)不僅有助于學(xué)生對“倍”概念的理解與掌握,還能為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。
三、“倍”與“倍數(shù)”異同比較
繼學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識”之后,教材又在五年級編排了“因數(shù)與倍數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容。由于學(xué)生先前已接觸過“倍”的概念,因此在理解“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”時,他們會遇到一些認(rèn)知障礙。所謂認(rèn)知障礙,指的是概念本身所形成的障礙,也可以解釋為錯誤的思維方式。學(xué)生的思維方式會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解方式,而這種理解方式又會反過來影響學(xué)生的思維方式。[10]因此,有必要對“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”與“倍的認(rèn)識”中的“倍”的異同進(jìn)行比較,以避免學(xué)生混淆這兩個概念。
一方面,兩個概念存在諸多差異。首先,兩者所指的對象不同,“因數(shù)與倍數(shù)”中的“倍數(shù)”指的是用測量單位來測量的對象,而“倍的認(rèn)識”中的“倍”指的是測量過程中進(jìn)行的次數(shù)。例如,在看待12這個數(shù)時,12可以看作3個4或4個3,這里的3和4就是12的因數(shù)。同時,12也是3和4的倍數(shù)。因測量需同時具備測量的對象和測量的單位,所以因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。但在“倍的認(rèn)識”中,“倍”描述的是測量單位和測量對象所形成的標(biāo)量關(guān)系。[11]即12是3的“4倍”或4的“3倍”。
其次,兩者的使用范圍不同?!氨稊?shù)”的使用范圍僅限于正整數(shù)除法且除盡的情況,而“倍”的使用范圍則更廣,不僅包括整數(shù)倍,還包括小數(shù)倍和分?jǐn)?shù)倍。在人教版教材五年級下冊第二單元中,教材明確了兩個整數(shù)相除后可能出現(xiàn)的兩種情況,并據(jù)此給出了因數(shù)和倍數(shù)的定義:“在整數(shù)除法中,如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)(或者說余數(shù)為0),我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù),被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)?!崩?,在12÷2=6這種情況下,12是2和6的倍數(shù),2和6是12的因數(shù)。也可以說12是2的6倍或6的2倍。然而,在9÷5=1……4這種情況下,由于商不為整數(shù),因此9和5之間并不構(gòu)成因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系。不過,當(dāng)9÷5=1.8時,說9是5的1.8倍,這種表述依然是符合數(shù)學(xué)邏輯的。
最后,兩者所延伸出的概念也不同。“倍數(shù)”可以進(jìn)一步延伸出公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等概念,而“倍”延伸出的概念則與比的概念緊密相連,如正方形的對角線與邊長之比是[2]∶1。在此基礎(chǔ)上,“比”的學(xué)習(xí)又為之后中學(xué)要學(xué)習(xí)的斜率、三角函數(shù)、相似等知識打下重要基礎(chǔ)。
另一方面,兩個概念間也存在一些共同點。首先,無論是“倍”還是“倍數(shù)”,它們的形成都離不開測量對象和測量單位。倍數(shù)和因數(shù)相互依存,“倍”連接倍數(shù)與因數(shù),這兩個概念都不能獨立存在。不能說12是倍數(shù),必須描述清楚12是3的倍數(shù)或者12是3的4倍。其次,兩者名稱相似,如果不加以區(qū)分,對于沒有學(xué)習(xí)過“倍數(shù)”概念的學(xué)生來說,極可能認(rèn)為這與“倍”是同一個概念,從而造成認(rèn)知障礙。最后,算式的呈現(xiàn)方式相同,兩個概念都可以使用除法或乘法算式來表達(dá)。比如,描述12是3的倍數(shù)時,可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12來表達(dá)。描述12是3的4倍時,同樣可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12來表達(dá)。
綜上所述,通過對“倍”的課程價值分析、“用‘倍看關(guān)系”的學(xué)習(xí)活動設(shè)計以及“倍”與“倍數(shù)”概念的異同比較,可進(jìn)一步加深學(xué)生對“倍”的理解?!氨丁辈粌H連接了觀察對象之間的關(guān)系,也發(fā)展了學(xué)生單位化的眼光。學(xué)生在關(guān)系中發(fā)展單位化的眼光,又用單位化的眼光理解關(guān)系,滿足了他們用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界、提升自身核心素養(yǎng)的要求。
參考文獻(xiàn):
[1]束定芳.隱喻學(xué)研究[M].上海:上海外語教育出版社,2000:30.
[2]LAKOFF G,N??EZ R E. Where math-
ematics comes from[M]. New York:Basic Books,2000:51-52.
[3]FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures[M]. New York:Kluwer Academic Publishers,2002:189.
[4]MCLELLAN J A,DEWEY J. The psych-
ology of number and its applications to methods of teaching arithmetic[M]. New York:D.Appleton and Company,1909:96.
[5]唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知模型及教學(xué)研究[D].南京:南京師范大學(xué),2008:28.
[6]郜舒竹,于桓.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的抽象性及其隱喻思維分析[J].課程·教材·教法,2022,42(1):98-103.
[7]SCHULTZ J E,WATERS M. Discuss with your colleagues:why representations?[J]. The Math-
ematics Teacher,2000,93(6):448-453.
[8]MARTON F. Necessary conditions of learning[M]. New York:Routledge,2014:48.
[9]CRAMER K,POST T,GRAEBER A O. Connecting research to teaching:proportional reasoning[J]. The Mathematics Teacher,1993,86(5):404-407.
[10]BROWN S A. Exploring epistemological obstacles to the development of mathematics induction[C]// The 11th conference for research on undergraduate mathematics education,2008:1-19.
[11]WALLACE A H,GURGANUS S P. Teaching for mastery of multiplication[J]. Teaching Children Mathematics,2005,12(1):26-33.
(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院)