沈中宇 沈金興

基金項目? 2023年度江蘇省社科應(yīng)用研究精品工程社會教育（社科普及）專項課題“新媒體視域下中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化普及工作創(chuàng)新研究”（23SJC-33）；2022年度江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃專項課題“江蘇中小學(xué)專家型教師的成長機制研究”（C/2022/01/53）；上海市立德樹人數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項目“數(shù)學(xué)課程中落實立德樹人根本任務(wù)的研究”（A8）；中國教育學(xué)會教育科研專項課題 “中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科德育教學(xué)：方法與路徑”（21DY090618ZB）.

【摘? 要】? 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂，既呼應(yīng)了教育部的要求，也落實了課標理念，并且還能將數(shù)學(xué)的教育性、人文性、哲學(xué)性等特定內(nèi)涵體現(xiàn)出來，同時有助于滲透學(xué)科德育.通過分析與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化素材，發(fā)現(xiàn)其蘊含了激發(fā)積極情感、形成理性思維、樹立正確信念和培養(yǎng)優(yōu)秀品質(zhì)等豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科德育價值.

【關(guān)鍵詞】? 優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；數(shù)學(xué)文化；德育價值

1? 前言

教育部在2014年3月發(fā)布了《完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育指導(dǎo)綱要》，全面闡述了加強中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育的重要性與緊迫性，并明確提出要把中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育系統(tǒng)地納入課程與教材體系.2021年1月，教育部發(fā)布了《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進中小學(xué)課程教材指南》，其中提到“在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材中納入我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，對于學(xué)生感悟中華民族智慧與創(chuàng)造、增強民族自豪感、堅定文化自信具有重要作用.”

為此，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中強調(diào)要在課程和教學(xué)內(nèi)容中“有機融入中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”.而作為數(shù)學(xué)中的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，自然是以數(shù)學(xué)文化為主體，兩者結(jié)合就成了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，見圖1.

2? 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化

中華傳統(tǒng)文化既不能全盤否定也不能完全照搬，而是要有所揚棄，即拋棄其糟粕，繼承其精華，因此需要提煉出仍有益于當今社會發(fā)展的精髓.那么，何為優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化？更進一步，哪些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化堪稱優(yōu)秀？

2.1 ?何為優(yōu)秀

對于優(yōu)秀的劃分標準，可謂仁者見仁，智者見智，但有一個原則可以確定下來，就是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化應(yīng)具有“當代價值”與“世界意義”.具體來說，優(yōu)秀傳統(tǒng)文化應(yīng)該符合這樣的要求：能適應(yīng)時代的需求，推動社會的進步；經(jīng)受住實踐的考驗，展現(xiàn)出其持久的生命力；有助于增強文化認同，提供強大的精神支撐；有益于世界文明的發(fā)展，為人類的共同進步貢獻力量.依據(jù)這些要求，可以從物質(zhì)與精神兩個層面深入解讀中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，以更全面地理解其獨特魅力和深遠影響.

2.2? 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化解讀

2.2.1? 物質(zhì)層面的解讀

眾所周知，我國古代的數(shù)學(xué)歷史悠久，成就顯著，它們?yōu)楫敃r社會的發(fā)展提供了支持，從而形成了中華民族所特有的傳統(tǒng)文化.因此，從物質(zhì)層面審視，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化應(yīng)涵蓋中國古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)成就，這包括但不限于豐富的數(shù)學(xué)知識、獨特的數(shù)學(xué)語言、形式多樣的數(shù)學(xué)活動，以及數(shù)學(xué)領(lǐng)域的持續(xù)創(chuàng)新與發(fā)展.數(shù)學(xué)，作為一種深刻反映人類智慧與創(chuàng)造力的文化活動，其本身就蘊含著豐富的文化價值.

2.2.2? 精神層面的解讀

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化除了關(guān)注其數(shù)學(xué)的內(nèi)部特征外，還應(yīng)該在文化要素的基礎(chǔ)上關(guān)注數(shù)學(xué)的思想方法.因此，從精神層面看，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化還應(yīng)包括中國古代數(shù)學(xué)所蘊含的深刻思想、獨特精神、獨到觀點與價值追求等，同時還要注重數(shù)學(xué)知識在發(fā)生、發(fā)展與完善過程中蘊含的更深層次的內(nèi)容，如民族習(xí)慣、文化信仰等精神內(nèi)涵.

由此，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是指在中華民族源遠流長的歷史長河中傳承下來的具有當代價值和世界意義，且彰顯數(shù)學(xué)特質(zhì)的物質(zhì)財富和精神財富的總和.物質(zhì)層面包括中國古代卓越的數(shù)學(xué)成就、方法、典籍以及史料等實體內(nèi)容，精神層面包括中國古代數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家的觀點、思想、精神以及價值等意識形態(tài)內(nèi)容.

3? 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂內(nèi)涵

依據(jù)《課標》編寫的人民教育出版社出版的《普通高中教科書數(shù)學(xué)A版》（以下簡稱《教材》），無論是正文章節(jié)還是習(xí)題，抑或是閱讀材料，均融入了較多的數(shù)學(xué)史料，尤其是加大了對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化材料的呈現(xiàn)力度.那么面對如此多的史料，一線教師需要將其合理設(shè)計后融入到數(shù)學(xué)課堂中去，因此中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂就有了特定內(nèi)涵.

3.1? 數(shù)學(xué)的教育性

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，在數(shù)學(xué)教育之中是不可或缺的內(nèi)容，尤其是《課標》中指出的“數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和生活性”，在中國古代的數(shù)學(xué)典籍中得到了生動的體現(xiàn).例如，成書于約公元一世紀的《九章算術(shù)》［1］包含了246個數(shù)學(xué)問題，涵蓋了當時社會中的生活、經(jīng)濟、軍事等多個領(lǐng)域，不僅有趣且具有實用性.特別是其解決問題的方法，不僅體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家的智慧和創(chuàng)造力，對后世也產(chǎn)生了深遠影響.可以說，《九章算術(shù)》將數(shù)學(xué)的“應(yīng)用性與生活性”體現(xiàn)得淋漓盡致.當然，還有很多中國古代的數(shù)學(xué)典籍亦是如此.

3.2? 數(shù)學(xué)的人文性

在數(shù)學(xué)文化的傳承中，不同歷史時期呈現(xiàn)出不同特點，但能流傳至今的都是經(jīng)過歷史的篩選和檢驗，已然蘊含了深刻的教育價值.同時，數(shù)學(xué)文化教育既是數(shù)學(xué)文化的教育，也是數(shù)學(xué)的文化教育，特別是中國古代數(shù)學(xué)家孜孜不倦的研究精神和一代代數(shù)學(xué)家們的薪火相傳，其體現(xiàn)的社會責任感和歷史擔當，無論是在數(shù)學(xué)中還是在文化傳承中，都具有積極向上的教育意義.因此，中國古代數(shù)學(xué)家所體現(xiàn)的人文精神也是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂的意義所在.

3.3? 數(shù)學(xué)的哲學(xué)性

世界萬物，以真善美為至高境界，數(shù)學(xué)所蘊含的哲學(xué)亦不例外.因為數(shù)學(xué)中同樣存在“真假之分”“善惡之辯”“美丑之別”.數(shù)學(xué)之真在于數(shù)學(xué)的真理與實在；數(shù)學(xué)之善在于思想和品質(zhì)；數(shù)學(xué)之美在于形式與感受.而中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“真善美”就體現(xiàn)在中國古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用性、生活性和趣味性上，這是中國古代數(shù)學(xué)的獨特觀念與特質(zhì).因此，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂就是對數(shù)學(xué)“真善美”的考量，不僅可感受數(shù)學(xué)的哲學(xué)性，更是對其價值的探索，尤其是德育價值.

結(jié)合上述內(nèi)涵，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化可以通過介紹古代數(shù)學(xué)家的事跡和數(shù)學(xué)典籍中的數(shù)學(xué)問題來融入課堂，從而將數(shù)學(xué)家堅持不懈的鉆研精神和態(tài)度、社會責任與歷史使命感傳遞給學(xué)生，感受古人的思想方法以滲透學(xué)科德育和提升核心素養(yǎng)，其結(jié)構(gòu)模型如圖2.

4? 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進高中課堂的德育價值

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化承載著重要的文化教育和德育功能.已有研究表明，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有助于達成德育之效［2］，以數(shù)學(xué)文化融入課堂為途徑是落實學(xué)科德育的有效選項［3］.下面通過分析與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化素材，揭示其蘊含的學(xué)科德育價值.

結(jié)合《課標》中有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科德育的相關(guān)要求與基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)學(xué)科德育分類框架［4］，可將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進高中課堂的德育價值分為激發(fā)積極情感、形成理性思維、樹立正確信念與培養(yǎng)優(yōu)秀品質(zhì)四類.

4.1? 激發(fā)積極情感

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲及培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

首先，在中國古代數(shù)學(xué)典籍中包含了較多趣味性的數(shù)學(xué)問題，如《九章算術(shù)》，在盈不足章中有“兩鼠對穿”問題：

“今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問幾何日相逢？各穿幾何？”

該問題涉及到兩個等比數(shù)列an=2n和bn=12n，通過求解an+bn=5可以得到問題的解.像這類具有趣味性的問題融入到等比數(shù)列內(nèi)容中，可培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)列知識的學(xué)習(xí)興趣.

其次，中國古代有較多對于數(shù)學(xué)問題的巧妙解法，以《九章算術(shù)》均輸章中的“五人分五錢”問題為例：

“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何？”

該問題用現(xiàn)代解法，只要用一下等差數(shù)列的通項與求和公式就能獲得答案.然而在《九章算術(shù)》的年代，還沒有發(fā)明代數(shù)，因而也沒有直接用公式進行計算.但古人很聰明，采用了“衰分術(shù)”來求解.先列出各衰為5∶4∶3∶2∶1，上2人的和是9，下3人的和是6，下3人之和少3，而人數(shù)多1，因此每項都加上3，以8∶7∶6∶5∶4作為列衰，便做到上2人與下3人的列衰之和相等.接下來以衰分術(shù)求解，即列衰相加8+7+6+5+4=30作為法，則甲分的錢為5×8÷30=126錢，乙分的錢為5×7÷30=116錢，丙分的錢為5×6÷30=1錢，丁分的錢為5×5÷30=56錢，戊分的錢為5×4÷30=46錢.

其實“衰分術(shù)”就是構(gòu)造一個滿足條件的比例，然后再按比例系數(shù)進行分配，通俗易懂方便操作，其解法之巧妙連小學(xué)生都可以掌握，因而也是當時普通百姓能學(xué)會的方法，而這正是該方法的價值所在.在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，教師可以在恰當時機向?qū)W生介紹這一解法，以明白古人解法的實用性，從而激發(fā)學(xué)生對中國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.

最后，中國古代數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)的過程中始終保持著不屈不饒的精神，如清代數(shù)學(xué)家華衡芳（1833—1902）在初學(xué)微積分時，對于當時數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）翻譯的微積分著作《代微積拾級》中的內(nèi)容并不理解，無奈之下，華蘅芳來到墨海書館向李善蘭求教，李善蘭說：

“此中微妙，非可以言語形容，其法盡在書中，吾無所隱也.多觀之，則自解耳.是豈旦夕之工所能通曉者哉！”

在李善蘭的鼓勵下，華蘅芳反復(fù)思考與感悟書中內(nèi)容，終于理解了其中真義.在高中生剛剛接觸導(dǎo)數(shù)等概念時，由于初涉極限等內(nèi)容，難免產(chǎn)生畏懼心理，在學(xué)習(xí)過程中融入以上故事有助于讓學(xué)生認識到，只要肯鉆研、不怕難，一定能學(xué)好微積分的相關(guān)內(nèi)容，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

4.2? 形成理性思維

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化有助于學(xué)生形成質(zhì)疑問難、自我反思和嚴謹求實的科學(xué)精神.

仍以《九章算術(shù)》為例，其少廣章中給出了球的體積公式，用現(xiàn)代符號表示即為：

V=916d3（d，V為球直徑、體積）

魏晉數(shù)學(xué)家劉徽（約225—295）在對《九章算術(shù)》作注時，并沒有盲目接受已有的數(shù)學(xué)成果，而是用批判性的眼光去審視.因此他對球體積公式進行了驗證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)若取π=3，正方體與其內(nèi)切圓柱體的體積比是4∶3（圖3），但圓柱體與其內(nèi)切球體的體積之比并不是4∶3.為了論證這一點，他構(gòu)造了兩個正交的內(nèi)切等徑圓柱體（圖4），得到的公共部分稱為“牟合方蓋”（圖5）.

由截面比較的方法可知（如圖5），牟合方蓋與其內(nèi)切球體的比為4∶3，這說明圓柱體與其內(nèi)切球體的體積之比是大于4∶3的，從而驗證了《九章算術(shù)》中的球體積公式是錯誤的［5］.

然而劉徽并沒有就此罷手，而是繼續(xù)深入思考：正確的球體積公式究竟是什么？于是劉徽從自己構(gòu)造的牟合方蓋入手進行推導(dǎo).他先考慮牟合方蓋（圖6）的八分之一部分，如果能算出正方體內(nèi)牟合方蓋外的那部分體積，然后用正方體體積減去那部分體積就可求得牟合方蓋的體積.因此，劉徽又將那部分立體分成了三塊稱之為“外棋”，如圖7所示.

遺憾的是，劉徽在求“外棋”體積時遇到了困難，始終無法求得.因此，劉徽一方面告訴后輩只要求出“外棋”體積就可得出球體積公式，另一方面坦率承認了自己在這個問題上的無能為力，說：“敢不闕疑，以俟能言者.”

在學(xué)習(xí)球體積公式時，教師若能適當融入上述史料，可讓學(xué)生感受到古代數(shù)學(xué)家那種謙虛謹慎的態(tài)度和寄希望于后輩能人的寬廣胸懷，同時也可告訴學(xué)生并不是前人所留的數(shù)學(xué)成果都是正確的，而是需要自身的理性思考去批判創(chuàng)新，從而發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑問難的科學(xué)精神.

4.3? 樹立正確信念

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化能夠讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自實際生活又廣泛應(yīng)用于生活.

中國古代數(shù)學(xué)比較注重數(shù)學(xué)的實用性，如《九章算術(shù)》商功章中給出了立方、方堡壔、方倉、塹堵、陽馬、鱉臑等20個名目12種多面體體積的公式，這些立方體的命名皆來自于實際生活.

以陽馬和鱉臑為例，如圖8（左）所示，陽馬是經(jīng)過不相鄰的三頂點斜剖三棱柱所得到的四棱錐；如圖8（右）所示，鱉臑是經(jīng)過不相鄰的三頂點斜剖三棱柱所得到的三棱錐.其中，陽馬本是房屋四角承短椽的桁條，其頂端刻有馬形，故名陽馬.鱉臑則來源于其形狀類似鱉肘，即甲魚的前肢骨.

由于立體幾何圖形需要一定的空間想象力，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)時往往需要平衡數(shù)學(xué)的抽象性與實用性，通過介紹以上中國古代幾何體“術(shù)語”的來源，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念與日常生活的密切聯(lián)系，從而了解數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確信念.

4.4? 培養(yǎng)優(yōu)秀品質(zhì)

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化能夠培養(yǎng)學(xué)生勤奮、刻苦和愛國等優(yōu)秀的品質(zhì).

劉徽研究球體積公式后過了200多年，祖沖之、祖暅父子兩人繼承了劉徽的工作，繼續(xù)思考牟合方蓋的體積.據(jù)文獻記載，祖暅在年少時刻苦研究數(shù)學(xué)達到了忘我的境界，曾有“雷霆不入耳”之說［5］，即祖暅在研究時非常專心致志，連外面雷霆般的震響也聽不見.

正由于祖暅如此刻苦勤奮，所以劉徽沒有解決的難題終于被祖暅解決了.祖暅不再局限于“外棋”這3個碎片的體積，而是另辟蹊徑將它們看成一個整體進行了轉(zhuǎn)化，構(gòu)造了一個倒立陽馬（如圖9），可推得外棋體積與陽馬體積相等，從而巧妙地計算出了球的體積公式：

V=π6d3（d為球直徑）

更為重要的是，祖暅在研究過程中將劉徽發(fā)現(xiàn)的截面比較的方法進一步概括為一般原理：“緣冪勢既同，則積不容異”，史稱“祖暅原理”，這是中國古代數(shù)學(xué)成就的巔峰之作，遙遙領(lǐng)先于西方1100多年.

圖9

在球體積的學(xué)習(xí)過程中，可以適當?shù)叵驅(qū)W生介紹中國古代的偉大成就，能讓學(xué)生在西方數(shù)學(xué)成就面前不必妄自菲薄，從而增強民族自豪感和文化自信，培養(yǎng)愛國的優(yōu)良品質(zhì).

幸運的是《教材》第二冊第八章“探究與發(fā)現(xiàn)”安排的內(nèi)容就是“祖暅原理與柱體、錐體的體積”，筆者團隊已把此閱讀材料開發(fā)成了一節(jié)“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂”的課，將優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入課堂的四種德育價值都體現(xiàn)了出來.

5? 結(jié)語

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂，既是積極響應(yīng)教育部號召的重要舉措，也是將《課標》理念切實落實到教學(xué)實踐中的具體行動，特別是當中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化被納入教材后，將其進一步推進，使之在數(shù)學(xué)課堂上得以生動展現(xiàn).當然，只有一線教師明確了方向與目標，理解了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進課堂的內(nèi)涵與德育價值，才會認真挖掘教材中蘊含著的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化素材，并進行有針對性地教學(xué)設(shè)計，將其有機融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中.至于一線教師如何具體實踐這一理念，則需要廣大教師群策群力，不斷在課堂上嘗試與探索，以找到具有普適性的方法，并將其廣泛推廣，讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂上煥發(fā)出更加絢麗的光彩.

參考文獻

［1］? 郭書春譯注. 九章算術(shù)［M］. 上海： 上海古籍出版社， 2015.

［2］? 姜浩哲， 沈中宇， 汪曉勤. 新中國成立70年數(shù)學(xué)學(xué)科德育的回顧與展望［J］. 課程·教材·教法， 2019， 39（12）： 22-27.

［3］? 沈金興. 高中數(shù)學(xué)課堂實施學(xué)科德育的文化途徑探索［J］. 數(shù)學(xué)通訊， 2021（18）： 4-7.

［4］? 汪曉勤， 鄒佳晨. 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)學(xué)科德育內(nèi)涵課例分析［J］. 數(shù)學(xué)通報， 2020， 59（03）： 7-12+19.

［5］? 汪曉勤，韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史［M］.北京：科學(xué)出版社，2002： 116-132.

作者簡介? 沈中宇（1991—），男，江蘇蘇州人，博士后；主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）研究；發(fā)表文章20多篇，出版專著1部.

沈金興（1971—），男，浙江桐鄉(xiāng)人，副高；主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）研究；發(fā)表文章70多篇.