周雨辰

【摘 要】數(shù)學(xué)表達(dá)是在數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)上，展示數(shù)學(xué)思維過(guò)程及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種交流與分享方式。數(shù)學(xué)表達(dá)是實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的重要路徑，承載著實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要使命，是實(shí)現(xiàn)思維可視化的重要方法。文章從“數(shù)學(xué)表達(dá)”的內(nèi)涵意蘊(yùn)和價(jià)值指向兩個(gè)方面，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)表達(dá)的運(yùn)用進(jìn)行分析與探究。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)表達(dá) 數(shù)學(xué)思維 核心素養(yǎng)

華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)，學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)上要想得清楚，說(shuō)得明白，寫得干凈。數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，更是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要途徑。數(shù)學(xué)思維是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)表達(dá)卻是外顯的。核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展，離不開數(shù)學(xué)思維的提升；數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，則離不開數(shù)學(xué)表達(dá)的優(yōu)質(zhì)化訓(xùn)練。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，可以優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，促使學(xué)生核心素養(yǎng)落地生根。

一、數(shù)學(xué)表達(dá)的內(nèi)涵意蘊(yùn)

（一）數(shù)學(xué)表達(dá)的界定

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言，它包含了文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言等。表達(dá)是將思維所得的成果用語(yǔ)言以語(yǔ)音、語(yǔ)調(diào)、表情、行為等方式，以文字和口語(yǔ)反映出來(lái)的一種行為。而數(shù)學(xué)表達(dá)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，基于已有的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，對(duì)認(rèn)知對(duì)象進(jìn)行模仿識(shí)記、分析歸納、再加工、再學(xué)習(xí)，并借助數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)、圖形和表達(dá)式等豐富的表達(dá)形式，以口頭語(yǔ)言、書面語(yǔ)言和實(shí)物操作等方式，表達(dá)、交流和分享對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知對(duì)象的理解、解決問(wèn)題的過(guò)程、觀點(diǎn)及結(jié)論的思考等學(xué)習(xí)行為。數(shù)學(xué)表達(dá)是以數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)思維，是以數(shù)學(xué)的方式表征現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

（二）數(shù)學(xué)表達(dá)的特征

1.數(shù)學(xué)表達(dá)具有規(guī)范性

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，以充分地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心和本質(zhì)，更好地契合數(shù)學(xué)邏輯。在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)在交流和補(bǔ)充中不斷地完善，力求做到規(guī)范表達(dá)。

例如，在日常教學(xué)“商不變的規(guī)律”時(shí)，學(xué)生往往可以做到通過(guò)觀察表格中被除數(shù)、除數(shù)和商的變化，總結(jié)出被除數(shù)和除數(shù)變化對(duì)商的影響的一般規(guī)律，但是通常會(huì)忽略“除數(shù)為0”這個(gè)特殊情況。此時(shí)，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，思考除數(shù)不能為0的情況，通過(guò)學(xué)生的層層思考與不斷補(bǔ)充，將總結(jié)出的規(guī)律不斷完善總結(jié)，從而得到完整的“商不變的規(guī)律”。規(guī)律的補(bǔ)充就使數(shù)學(xué)表達(dá)更加具有一定的規(guī)范，這一環(huán)節(jié)就是數(shù)學(xué)表達(dá)不斷規(guī)范的體現(xiàn)。

2.數(shù)學(xué)表達(dá)具有多樣性

課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)表達(dá)不限于口頭語(yǔ)言表達(dá)，教師還可以借助數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、符號(hào)、圖形和表達(dá)式等豐富的表達(dá)形式，通過(guò)口頭語(yǔ)言、書面語(yǔ)言和實(shí)物操作等方式進(jìn)行表達(dá)。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)多加鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式表達(dá)，激發(fā)數(shù)學(xué)表達(dá)的多樣性，創(chuàng)造多樣的表達(dá)環(huán)境。例如，學(xué)習(xí)“100以內(nèi)的加減法”時(shí)，有的學(xué)生會(huì)通過(guò)計(jì)數(shù)器撥珠進(jìn)行思考，表達(dá)算法；有的則會(huì)借助擺小棒進(jìn)行計(jì)算，展示算法；有的會(huì)通過(guò)同桌互相交流進(jìn)行知識(shí)習(xí)得；有的則采用畫圖的方式幫助理解。這些均是數(shù)學(xué)表達(dá)的方式。不同的思維方式通過(guò)不同的數(shù)學(xué)表達(dá)得以體現(xiàn)。學(xué)生通過(guò)說(shuō)、寫、畫等方式，表達(dá)各自的思維過(guò)程。

3.數(shù)學(xué)表達(dá)具有多元性

數(shù)學(xué)表達(dá)不僅是學(xué)習(xí)者單方面的個(gè)人表達(dá)，還可以是教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間學(xué)習(xí)互動(dòng)的表達(dá)。教師對(duì)學(xué)生表達(dá)進(jìn)行評(píng)價(jià)與指導(dǎo)，及時(shí)對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行反饋，學(xué)生與學(xué)生之間的小組交流、互相討論習(xí)得、評(píng)價(jià)與反思的過(guò)程等，都是數(shù)學(xué)表達(dá)的參與方式，它們呈現(xiàn)多元化的樣式與特性。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)積極創(chuàng)造表達(dá)交流的環(huán)境，營(yíng)造生生交流、師生交流的良好學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生表達(dá)的方式更加多元化，這樣才能更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生的核心素養(yǎng)落地生根。

（三）數(shù)學(xué)表達(dá)的層次水平

對(duì)于相同的問(wèn)題情境，不同的數(shù)學(xué)表達(dá)方式與思維程度，所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)層次水平會(huì)有不同。根據(jù)個(gè)體對(duì)問(wèn)題的理解程度，數(shù)學(xué)表達(dá)可以分為四個(gè)層次：經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)、概念性表達(dá)、結(jié)構(gòu)性表達(dá)和創(chuàng)造性表達(dá)。

例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)“數(shù)的順序”時(shí)，教師出示空白的百數(shù)表（如圖1）并提問(wèn)：你知道深色框中的數(shù)字是多少嗎？你是怎么知道的？

圖1

生1：我從第一個(gè)格子一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)到這里就是96。

生2：我發(fā)現(xiàn)一行有十個(gè)，所以我是從第一個(gè)格子五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)到95后面是96。

生3：我是先橫著一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，先數(shù)到6，再豎著十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，6，16，26……96。

生4：我有兩個(gè)方法，不僅可以正著數(shù)，還可以從最后一格100倒著數(shù)。100，99，98，97，96。

通過(guò)這幾個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，我們可以從中分析出不同的表達(dá)層次和思維層次。

生1的表達(dá)屬于經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)。經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)是基于已有經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)，對(duì)認(rèn)知對(duì)象進(jìn)行單一的點(diǎn)數(shù)指認(rèn)、模仿、識(shí)記和機(jī)械表達(dá)。這一層次的表達(dá)特征具有易錯(cuò)性和片面性。而運(yùn)用概念性表達(dá)層次的學(xué)生可以通過(guò)分析、歸納等方法，對(duì)認(rèn)知對(duì)象之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行學(xué)科本質(zhì)的表述，具有一定程度的邏輯性、關(guān)聯(lián)性和理解性。

生2的表達(dá)在經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)的基礎(chǔ)上，加入了自己的歸納與思考，對(duì)應(yīng)概念性表達(dá)層次。結(jié)構(gòu)性表達(dá)層次的學(xué)生則會(huì)對(duì)認(rèn)知對(duì)象進(jìn)行再加工，有更深層次的認(rèn)知，能對(duì)對(duì)象的整體與部分的關(guān)系加以表達(dá)，獲得豐富的數(shù)學(xué)認(rèn)知，具有豐富性和結(jié)構(gòu)性。

生3能夠?qū)Π贁?shù)表的數(shù)據(jù)排列規(guī)律進(jìn)行思考，并認(rèn)識(shí)到百數(shù)表中的數(shù)據(jù)與百數(shù)表的位置關(guān)系，能達(dá)到結(jié)構(gòu)性表達(dá)水平。達(dá)到結(jié)構(gòu)性表達(dá)層次的學(xué)生，對(duì)前認(rèn)知進(jìn)行再學(xué)習(xí)和再評(píng)價(jià)，綜合運(yùn)用知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題并進(jìn)行表達(dá)，具有綜合性和整體性特征。

從生4的數(shù)學(xué)表達(dá)中可以看出，該學(xué)生不僅可以對(duì)百數(shù)表的規(guī)律進(jìn)行正向掌握，還能將規(guī)律綜合運(yùn)用進(jìn)行逆推，充分從整體上掌握了百數(shù)表，在一定程度上達(dá)到了創(chuàng)新性表達(dá)。

從以上的課堂案例可以看出，經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)、概念性表達(dá)、結(jié)構(gòu)性表達(dá)和創(chuàng)造性表達(dá)這四種表達(dá)層次逐層遞進(jìn)，互相關(guān)聯(lián)。

二、數(shù)學(xué)表達(dá)的價(jià)值指向

（一）有利于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落實(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中提出，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！吨袊?guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》中，也包含對(duì)表達(dá)與交流能力的要求。史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思的綜合運(yùn)用能力上?？梢?，只有加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，才能促進(jìn)其核心素養(yǎng)培育的深度落實(shí)。

（二）有利于提升教學(xué)的有效性

思維是內(nèi)隱的。在教學(xué)時(shí)，教師借助學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，可以對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維進(jìn)行判斷、評(píng)估，數(shù)學(xué)表達(dá)可以將數(shù)學(xué)的思維外顯并甚至實(shí)現(xiàn)可視化。經(jīng)驗(yàn)性表達(dá)在低年級(jí)中較為常見，表達(dá)時(shí)學(xué)生更加關(guān)注知識(shí)點(diǎn)本身，結(jié)合自己的已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考表達(dá)，體現(xiàn)的思維類型為形象思維。概念性表達(dá)通常在抽象思維的基礎(chǔ)上體現(xiàn)，在中年級(jí)的數(shù)學(xué)課堂較能體現(xiàn)。學(xué)生不僅可以結(jié)合相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，還能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的分析。在高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生能夠在思考問(wèn)題時(shí)關(guān)注到知識(shí)之間的邏輯性，結(jié)構(gòu)性表達(dá)更為突出，體現(xiàn)的思維則更加側(cè)重于邏輯思維。而創(chuàng)造性表達(dá)需要學(xué)生有較強(qiáng)的創(chuàng)造性思維，不僅要能熟練掌握知識(shí)，還要能夠?qū)⒅R(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用，這一表達(dá)和思維層次往往可遇而不可求。如圖2，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的表現(xiàn)，將數(shù)學(xué)表達(dá)的四個(gè)層級(jí)與數(shù)學(xué)思維的四個(gè)層級(jí)進(jìn)行一一關(guān)聯(lián)對(duì)照，教師就可以準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方式并分層次進(jìn)行針對(duì)性輔導(dǎo)，實(shí)施有效教學(xué)，做到順學(xué)而教、因材施教，從而提高教學(xué)效率。

圖2

（三）有利于觸及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中通常需要對(duì)認(rèn)知對(duì)象展開分析、判斷、推理等思維活動(dòng)。對(duì)這些思維過(guò)程的表達(dá)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的思維邏輯性，還可以使其在表達(dá)中不斷地提升對(duì)認(rèn)知對(duì)象本質(zhì)的思考與理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的解讀。

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略（列表）”時(shí)，教師可以讓學(xué)生通過(guò)分析題目中的條件和問(wèn)題，用自己的方式整理相關(guān)數(shù)學(xué)信息。有的學(xué)生選擇文字整理，有的學(xué)生選擇列表整理。在表征數(shù)學(xué)已知條件和問(wèn)題作品的對(duì)比與交流中，學(xué)生可以逐漸感受列表方式的方便與快捷，體會(huì)到解決問(wèn)題的方法不同的本質(zhì)，從而根據(jù)不同的問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)姆绞剑越鉀Q實(shí)際問(wèn)題，這就深刻地觸發(fā)了學(xué)習(xí)思維中講究策略的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

（四）有利于培養(yǎng)學(xué)生的自信心

教師在課堂上要積極鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式表達(dá)數(shù)學(xué)思維，努力促使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的交流能力、合作能力等得到相應(yīng)的鍛煉。學(xué)生在展示交流中互相傾聽、互相學(xué)習(xí)，多種表達(dá)方式不斷交融，可以更好地激發(fā)學(xué)生的表達(dá)欲望，有利于提升其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，增強(qiáng)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，幫助其體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的美妙意趣。

對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，不是一蹴而就的，它是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。教師只有在教學(xué)過(guò)程中重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的培養(yǎng)，不斷創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)表達(dá)的情境，呵護(hù)、鼓勵(lì)學(xué)生想表達(dá)、會(huì)表達(dá)、善表達(dá)的種子不斷萌發(fā)，才能真正開啟數(shù)學(xué)思維的大門，讓核心素養(yǎng)落地、生根、發(fā)芽。

【參考文獻(xiàn)】

潘小福.小學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力培養(yǎng)的研究[J]江蘇教育，2017（41）.

注：本文系2021年度南京市重點(diǎn)教研課題“數(shù)學(xué)表達(dá)：指向思維進(jìn)階的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂變革研究”（編號(hào)：2021NJJK14—Z12）的階段性研究成果。