朱婉

[摘要]建模思想是促使學(xué)生建立良好數(shù)學(xué)思維體系的基礎(chǔ)，學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的探索、觀察與思考，體悟數(shù)學(xué)的變化規(guī)律，為知識(shí)的靈活應(yīng)用服務(wù)．在概念教學(xué)中滲透建模思想，可有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．文章以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例，分別從“借助情境，引入概念”“問題引領(lǐng)，構(gòu)建方程”“分析模型，提煉思維”“應(yīng)用模型，拓展延伸”四個(gè)方面展開研究．

[關(guān)鍵詞]建模思想；概念教學(xué)；橢圓

數(shù)學(xué)建模是指基于實(shí)際問題．將知識(shí)、信息技術(shù)、模型等深度融合的過程．建模課程以激趣啟思、培養(yǎng)“四能”為目標(biāo)．建模思想在建模過程中得以完善與發(fā)展，在概念教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的建模思想呢？此為新課標(biāo)視域下值得深入探索的話題，本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾螌⒊橄蟮母拍钷D(zhuǎn)化為基本模型，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的同時(shí)提升建模思想．發(fā)展核心素養(yǎng)．

教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

1．借助情境，引入概念

情境1借助多媒體展示生活中的橢圓形物品．如圖1所示，促使學(xué)生提煉它們的共性特征——橢圓形．

情境2 設(shè)計(jì)折紙活動(dòng)，過程如下：①準(zhǔn)備一張圓形卡紙．命名為⊙F1，圓內(nèi)任取一個(gè)定點(diǎn)F2（非圓心），圓上任取點(diǎn)P1；②對(duì)折⊙F1，確保點(diǎn)F2與點(diǎn)P1重疊，展開后用鉛筆輕描折痕；③連接F1P1與折痕交于點(diǎn)M1；④在圓上取更多的點(diǎn)．不斷重復(fù)以上步驟．獲得大量的點(diǎn)M2，M3，M4，…；⑤分析點(diǎn)列M1，M2，M3，M4，…所構(gòu)成的圖形形狀．

如圖2所示，借助幾何畫板展示以上折紙活動(dòng)過程，讓學(xué)生在實(shí)操的基礎(chǔ)上觀察動(dòng)畫演示．明確“取點(diǎn)作圖”時(shí)．若提取的點(diǎn)越多．則所獲得的圖形越精確．隨著實(shí)際操作與動(dòng)畫演示．學(xué)生對(duì)曲線有了初步認(rèn)識(shí)，此過程為“用點(diǎn)的軌跡定義曲線”奠定了基礎(chǔ)．同時(shí)，幾何畫板的介入令學(xué)生對(duì)橢圓這個(gè)幾何圖形產(chǎn)生了更加形象、深刻的理解.

帶領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光與思維來觀察與思考現(xiàn)實(shí)世界中的物品，架起了學(xué)生對(duì)“數(shù)”與“形”進(jìn)行理解的橋梁，學(xué)生在動(dòng)手觀察中理解橢圓上動(dòng)點(diǎn)所具備的屬性特征，為思維的發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)．信息技術(shù)手段的應(yīng)用，促使學(xué)生對(duì)點(diǎn)M1與P1之間的規(guī)律特征有了更加直觀的認(rèn)識(shí)．據(jù)此再進(jìn)一步探索，則能讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)事物“變中不變”的特殊性．

學(xué)生通過獨(dú)立思考與小組合作學(xué)習(xí)，初步形成結(jié)論：R=|MF1|+|MF2|（R為⊙F1的半徑，且|F1F1|

設(shè)計(jì)意圖 不同情境模式的應(yīng)用．促使學(xué)生切身體驗(yàn)從數(shù)學(xué)建模的視域理解橢圓形成的原理．學(xué)生在此過程中獲得用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力，并在實(shí)際操作的過程中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維與語言思考與表達(dá)生活現(xiàn)象，因此．此為激趣啟思的過程．可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力與數(shù)學(xué)建模能力．

2．問題引領(lǐng)．構(gòu)建方程

眾所周知．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系．這種聯(lián)系建構(gòu)了完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，想要讓學(xué)生從真正意義上建構(gòu)新的概念．就要幫助學(xué)生厘清知識(shí)間的聯(lián)系，探尋解決問題的主要方法和思想．學(xué)生首次用代數(shù)式表示橢圓曲線．不論在知識(shí)基礎(chǔ)上還是在認(rèn)知建構(gòu)上均沒有經(jīng)驗(yàn)．因此需要通過適當(dāng)?shù)膯栴}與科學(xué)的建?；顒?dòng)引發(fā)學(xué)生思考．增強(qiáng)學(xué)生的“四能”，實(shí)施具體教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師可設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問題啟發(fā)學(xué)生的思維.

問題1 將活動(dòng)過程中由點(diǎn)列M1，M2，M3，…所構(gòu)成的橢圓剪下，橢圓所具備的基本性質(zhì)有哪些？

問題2 之前學(xué)過的圓與本節(jié)課所探索的橢圓之間存在怎樣的關(guān)系？

問題3 回顧圓方程的推導(dǎo)過程，從建系獲得圓方程的角度去闡述．

問題4 通過以上探索．大家對(duì)橢圓的“形”已經(jīng)有了明確的認(rèn)識(shí)，若想從“數(shù)”的維度來刻畫橢圓．該采取怎樣的措施呢？

為了讓學(xué)生從根本上解決以上幾個(gè)問題．教師先帶領(lǐng)學(xué)生回顧以圓的兩條相互垂直的對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸建立圓方程的過程．而后帶領(lǐng)學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式建立直角坐標(biāo)系并投影展示建系的方法，在過程中借助坐標(biāo)法抽象橢圓的方程（見圖3）．

學(xué)生針對(duì)所展示的不同建系法展開分析與思考．體會(huì)建系的思維特點(diǎn)，同時(shí)感知數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．領(lǐng)悟數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力．隨著合作探索與交流的推進(jìn)，學(xué)生積極開動(dòng)腦筋、動(dòng)手操作、語言表述，獲得了解決以上幾個(gè)問題的辦法．從根本上理解了問題的本質(zhì)．對(duì)求曲線方程的模型與步驟產(chǎn)生了深刻認(rèn)識(shí)．

隨著平面直角坐標(biāo)系的建立與展示．學(xué)生在教師的點(diǎn)撥下用數(shù)學(xué)語言描述橢圓概念中所蘊(yùn)含的幾何條件，具體為：如果點(diǎn)F1，F(xiàn)2為處于橫軸上的定點(diǎn)，并滿足|F1F2|=2c，那么能獲得與定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2a（2a>2c）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

化簡(jiǎn)、根號(hào)下（x+c）2+y2+根號(hào)下（x-c）2++y2=2a的過程令不少學(xué)生感到畏懼．為了幫助學(xué)生克服思維障礙．教師可帶領(lǐng)學(xué)生從如下三個(gè)角度化簡(jiǎn)方程：①最常規(guī)的是將等號(hào)兩側(cè)同時(shí)平方．顯然這是一種煩瑣冗長(zhǎng)的方法．難度系數(shù)大，錯(cuò)誤率高；②從根式下代數(shù)式的相似點(diǎn)出發(fā)，思考化簡(jiǎn)方程的方法；③借助“移項(xiàng)”解決問題，如將方程轉(zhuǎn)化成2a-根號(hào)下（x-c）2+y2=根號(hào)下（x+c）2+y2后再平方消項(xiàng)．讓學(xué)生從方程的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)探索更加便捷的化簡(jiǎn)方法．此處，化簡(jiǎn)易得a2y2+（a2-c2）x2=a2（a2-c2），將b2引進(jìn)來，當(dāng)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2處于橫軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2+y2/b2=1．此過程能有效發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)中的第一個(gè)問題意在讓學(xué)生從直觀的折疊活動(dòng)中體會(huì)橢圓具有對(duì)稱性的特征．對(duì)對(duì)稱軸形成初步感知；第二個(gè)問題意在引導(dǎo)學(xué)生用類比思想探索圓與橢圓之間的異同點(diǎn)；后面兩個(gè)問題促使學(xué)生自主構(gòu)建橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并提煉模型思想．為發(fā)展核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ)．

3．分析模型．提煉思維

學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)不斷產(chǎn)生疑惑、建立模型、答疑解惑與反思提升的過程，在探索橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中．一些學(xué)生產(chǎn)生了這樣一個(gè)疑惑：b2的引入是不是有點(diǎn)牽強(qiáng)？

教師可從數(shù)形結(jié)合的角度來釋疑，引導(dǎo)學(xué)生從圖中分別找到線段a，c，根號(hào)下a2-c2，基于橢圓的幾何特征探尋它們的幾何意義．完成后分析如下問題：若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-c），（0，c），即位于縱軸上，a，b的意義不發(fā)生變化．寫出此時(shí)橢圓的方程.

如此設(shè)計(jì)意在引導(dǎo)學(xué)生通過建模來體會(huì)從多維度分析問題的方法，以推進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯推理能力以及數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展．在教師的點(diǎn)撥下．學(xué)生自主驗(yàn)算推導(dǎo)．教師將學(xué)生的結(jié)論進(jìn)行投影展示．并鼓勵(lì)學(xué)生合作交流與總結(jié)．學(xué)生得到的結(jié)論主要有：①關(guān)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，遵循等號(hào)左側(cè)為兩分式的平方和．等號(hào)右側(cè)為1的格式；②方程中的參數(shù)關(guān)系為a2=b2+c2；③三個(gè)參數(shù)的具體值可通過標(biāo)準(zhǔn)方程獲得；④橢圓的焦點(diǎn)處于哪條坐標(biāo)軸上，取決于標(biāo)準(zhǔn)方程中x2，y2的分母的大小．

綜上來看．本節(jié)課探索橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．是在學(xué)生原有認(rèn)知體系中的用坐標(biāo)法探索直線和圓的方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．在類比思想與數(shù)形結(jié)合思想的輔助下．學(xué)生不僅自主探索出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．還為后續(xù)探索橢圓的性質(zhì)以及拋物線和雙曲線等問題夯實(shí)了方法基礎(chǔ)．通過類比方法，學(xué)生自主提煉出了用代數(shù)法與幾何法研究平面幾何問題所遵循的流程.

設(shè)計(jì)意圖結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，帶領(lǐng)學(xué)生從“實(shí)驗(yàn)、猜想、推導(dǎo)”三個(gè)環(huán)節(jié)感知并建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，促使學(xué)生學(xué)會(huì)從生活實(shí)際出發(fā)．通過操作活動(dòng)等搭建模型，揭露幾何代數(shù)化的形成與發(fā)展過程．學(xué)生在探索過程中，有意識(shí)地用自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與思想方法去分析與解決問題，此為提升建模能力的關(guān)鍵，也是將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)滲透課堂．發(fā)展建模思想的重要途徑．

4．應(yīng)用模型，拓展延伸

例題 如果F1（4，0），F(xiàn)2（-4，0）為某個(gè)橢圓的焦點(diǎn)．P為該橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為10，寫出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式題1：如果該橢圓恰好經(jīng)過點(diǎn)（2，4/5、根號(hào)下5），那么其標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

變式題2.若明確△ABC的周長(zhǎng)為16，A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為固定點(diǎn)，且滿足|BC|=6，則滿足該條件的點(diǎn)A的活動(dòng)軌跡方程是什么？

隨著合作探究活動(dòng)的開展．學(xué)生經(jīng)過交流與思考，提出分別應(yīng)用待定系數(shù)法與定義法來分析并解決問題.

設(shè)計(jì)意圖 從本質(zhì)上來說．解決以上問題的過程屬于模型應(yīng)用的過程．建模所經(jīng)歷的是創(chuàng)造性的流程．一般遵循“情境創(chuàng)設(shè)”“建模”“提煉研究方法”與“模型應(yīng)用”四個(gè)環(huán)節(jié)．設(shè)計(jì)上述兩道經(jīng)典變式題．一方面促使學(xué)生自主應(yīng)用本節(jié)課所構(gòu)建的模型來解決實(shí)際問題，另一方面培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，讓學(xué)生在解題過程中不斷完善知識(shí)體系，熟知模型思想，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維.

幾點(diǎn)感悟

1．概念育人是促進(jìn)學(xué)生建模思想發(fā)展的關(guān)鍵

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是思維發(fā)展的起點(diǎn)．關(guān)注概念形成與發(fā)展的過程不僅能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念本身的理解，還能進(jìn)一步凸顯概念的育人價(jià)值，讓學(xué)生通過各種探索手段感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的內(nèi)涵與魅力．這對(duì)促進(jìn)學(xué)生人格品質(zhì)的發(fā)展具有重要意義，如課堂伊始的生活物品的展示以及折紙活動(dòng)的開展等．不僅幫助學(xué)生建立了橢圓與方程的概念，還幫助學(xué)生提升了數(shù)學(xué)研究精神，陶冶了數(shù)學(xué)情操．為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)．

2．關(guān)注建模過程是發(fā)展學(xué)生建模思想的基礎(chǔ)

從建模本身來說．它屬于創(chuàng)造性的腦力活動(dòng)，在教學(xué)中．教師帶領(lǐng)學(xué)生亦步亦趨地感知每一個(gè)環(huán)節(jié)，體會(huì)建模的完整性．這是發(fā)展建模思想的基礎(chǔ)，如本節(jié)課．在教師的引領(lǐng)下．學(xué)生親歷生活與操作情境．不僅獲得了良好的“三會(huì)”能力，還有效提升了“四能”，這些都是建模過程不可或缺的一部分，又是培育建模思想的必經(jīng)之路．

總之．從生活實(shí)際出發(fā)抽象數(shù)學(xué)模型．發(fā)展模型思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一．也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑，借助課堂揭露數(shù)學(xué)模型為知識(shí)與應(yīng)用的紐帶．可不斷提升學(xué)生的建模意識(shí)．發(fā)展學(xué)生的模型思想，進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)建模的價(jià)值與意義．