【編者按】 特級教師徐斌致力于“無痕教育”研究，幾十年如一日堅守課堂教學(xué)一線，執(zhí)教過很多經(jīng)典公開課，也堅持家常課研究，每年聽課更是達到數(shù)百節(jié)，對數(shù)學(xué)課堂有著深刻而獨特的見解。從本期開始，設(shè)立《斌山評課》欄目，分享徐斌老師獨特的評課視角：觀察一節(jié)課如何隱藏教育的目的和意圖，如何用迂回暗示的教育方式，以及如何體現(xiàn)“有痕”和“無痕”的和諧統(tǒng)一。

摘 要：依據(jù)現(xiàn)行蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“常見數(shù)量關(guān)系”的內(nèi)容編排，結(jié)合新課標(biāo)的相關(guān)理念，設(shè)定了體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，組織了體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，呈現(xiàn)了一節(jié)體現(xiàn)整體性的“數(shù)量關(guān)系”主題的課堂。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)量關(guān)系；相遇問題；結(jié)構(gòu)化；整體性

結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）第二學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求及教學(xué)提示，執(zhí)教者對蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“常見的數(shù)量關(guān)系”與“相遇問題”內(nèi)容進行了重組，編排了本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——“數(shù)量關(guān)系：相遇問題”。

一、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激活經(jīng)驗

談話：我們班有些同學(xué)是步行上學(xué)的，有些同學(xué)是坐車上學(xué)的，在這樣的生活現(xiàn)象中，其實蘊含著重要的數(shù)學(xué)知識。

出示：小明每天從家出發(fā)，步行4分鐘到學(xué)校，他每分鐘走70米，小明家到學(xué)校一共多少米？

提問：仔細觀察，你知道了哪些條件？要求什么問題？根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系解決？

［說明：結(jié)合真實的生活情境引出具體問題，讓學(xué)生在分析中感受數(shù)量之間的關(guān)系，激活速度、時間、路程三個數(shù)量之間關(guān)系的已有經(jīng)驗，進而為新知學(xué)習(xí)做好鋪墊。］

（二）探究新知，初建模型

1.理解題意

課件出示：小明和小芳同時從家出發(fā)走向?qū)W校，4分鐘后兩人在校門口相遇；小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走60米。

手勢比畫：現(xiàn)在兩個人去上學(xué)，情況變復(fù)雜了，他們到底是怎樣走的呢？大家一起來用手勢比畫一下。

角色模擬：選兩名學(xué)生上臺模擬演示小明和小芳是怎么行走的。

直觀表征：他們的模擬過程，（課件出示線段圖，如圖1）我們還可以用這樣的線段圖來表示。

提出問題：根據(jù)這些信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題呢？

預(yù)設(shè)：小明走了多少路程？小芳走了多少路程？小明和小芳一共走了多少路程？小明比小芳多走了多少路程？……

明確：我們先選這個問題來解決——他們兩家相距多少米？

［說明：第二學(xué)段的學(xué)生思維仍以具體直觀為主。本環(huán)節(jié)，通過手勢比畫、角色模擬和直觀表征，讓學(xué)生在具身體驗中感知相遇問題的行走過程，理解相遇問題中的數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)和提出問題，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界。］

2.分析數(shù)量關(guān)系

（1）自主整理

談話：要解決這個問題，需要理清這些數(shù)量之間的關(guān)系，我們可以用畫圖的方法。下面，請你分一分、畫一畫、寫一寫，在學(xué)習(xí)單的線段圖中表示出條件和問題。

交流：誰來說一說，你是怎樣整理的？

學(xué)生在交流中完善線段圖的整理。

（2）動態(tài)模擬

講述：剛才，我們在圖上表示出了小明4分鐘走的路程和小芳4分鐘走的路程，下面，讓我們跟著這幅線段圖，（投影展示學(xué)生在線段圖上表征小明和小芳行走過程的成果）一起再來模擬兩人走的過程。

（3）尋找方法

提問：結(jié)合線段圖進行分析，要求兩家相距的路程，可以怎么思考？把你的想法和同桌說說看。

①預(yù)設(shè)一：先分別求出小明走的路程和小芳走的路程，然后再相加。

小結(jié)并板書數(shù)量關(guān)系：兩家相距的路程＝小明走的路程＋小芳走的路程。

②預(yù)設(shè)二：先求出小明和小芳的速度之和，再乘走的時間，就是兩家相距的距離。

操作：組織學(xué)生用幾何的方式（如圖2）直觀表示出小明和小芳的速度和以及兩家相距的距離。

小結(jié)并板書數(shù)量關(guān)系：兩家相距的路程＝小明和小芳的速度和×相遇時間。

追問：這個圖幫助我們理解了第二種數(shù)量關(guān)系，那么它能幫助我們理解第一個數(shù)量關(guān)系嗎？誰來指著說一說？

［說明：本環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在線段圖上表示條件與問題的過程中，感知數(shù)量之間的關(guān)系；在具體情境的交流中，認識相遇問題中的數(shù)量關(guān)系；在用幾何的方式直觀表征數(shù)量關(guān)系的過程中，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，初步感知數(shù)量關(guān)系的兩種模型。］

3.列式解答

提問：利用這兩個數(shù)量關(guān)系，你能列式解答嗎？

學(xué)生選擇一個關(guān)系式，在學(xué)習(xí)單上進行完整的解答。

交流：交流列出的算式，說說利用了哪個數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合具體情境解釋每一步的實際意義。

對比：這兩位同學(xué)的列式，分別是根據(jù)哪個數(shù)量關(guān)系想到的？你是怎樣想的？

［說明：本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在利用數(shù)量關(guān)系解決具體問題的過程中，感受數(shù)量關(guān)系的意義，發(fā)展應(yīng)用意識，提升問題解決能力。］

4.回顧反思

談話：剛才，我們一起解決了小明和小芳同時上學(xué)的問題，回顧解決問題的過程，我們經(jīng)歷了哪些步驟？

小結(jié)：理解題意、分析數(shù)量關(guān)系、列式解答。

［說明：在回顧中，讓學(xué)生進一步明確解決問題的一般步驟，培養(yǎng)有條有理的思維習(xí)慣。同時，在反思中體會線段圖在解決問題中的價值，發(fā)展策略意識。］

（三）分層練習(xí)，內(nèi)化模型

1.鞏固性練習(xí)

布置鞏固性練習(xí)：（1）放學(xué)了，小明和小芳各自走出了校門，小明向西走，每分鐘走70米；小芳向東走，每分鐘走60米。4分鐘后，兩人相距多少米？（2）小明和小芳在環(huán)形跑道上跑步， 從同一地點同時出發(fā)，反向而行。小明的速度是6米/秒，小芳的速度是4米/秒，經(jīng)過40秒兩人相遇。環(huán)形跑道長多少米？

觀察比較：在解決剛才的三道實際問題時，利用的數(shù)量關(guān)系有什么相同或不同之處？

①預(yù)設(shè)一：根據(jù)“總量＝分量＋分量”分析想到的。

②預(yù)設(shè)二：根據(jù)“路程＝速度（和）×?xí)r間”分析想到的。

［說明：在鞏固性練習(xí)的兩次變式中，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看問題，在前后對比中發(fā)現(xiàn)具體問題變了但數(shù)量關(guān)系不變。在變與不變的思考中，幫助學(xué)生感悟加法模型與乘法模型的意義，發(fā)展模型意識與應(yīng)用意識。］

2.應(yīng)用性練習(xí)

布置應(yīng)用性練習(xí)：（1）兩個工程隊合開一條隧道，分別從隧道的一端同時向中間開鑿。第一隊每天開鑿12米，第二隊每天開鑿15米，經(jīng)過8天正好鑿?fù)?，這條隧道一共長多少米？（2）四（1）班準備增訂10套校服，每件上衣80元，每條褲子50元，一共要用多少元？

［說明：模型是數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實世界的橋梁。本環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)量關(guān)系解決生活中的隧道問題和購物問題，帶著聯(lián)系的眼光進行分析、比較，發(fā)現(xiàn)其數(shù)量關(guān)系與“相遇問題”中的數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，構(gòu)建“相遇問題”的直觀模型，發(fā)展幾何直觀，提升問題解決能力。］

3.拓展性練習(xí)

布置拓展性練習(xí)：（1）你能根據(jù)今天學(xué)習(xí)的“相遇問題”數(shù)量關(guān)系，自己編一道實際問題嗎？（2）如果兩個人這樣走（如下頁圖3所示）又會產(chǎn)生什么新問題，又會形成怎樣的數(shù)量關(guān)系？

［說明：拓展性練習(xí)是開放的，答案不唯一，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和應(yīng)用意識，訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的本領(lǐng)。］

（四）總結(jié)全課，延伸發(fā)展

談話：同學(xué)們，通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？你還想到哪些新問題？

［說明：課尾，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，即時鞏固本課所學(xué)知識，培養(yǎng)反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣。］

二、教學(xué)評析

這節(jié)課依據(jù)現(xiàn)行蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“常見數(shù)量關(guān)系”的內(nèi)容編排，結(jié)合新課標(biāo)的相關(guān)理念，設(shè)定了體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，組織了體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的教學(xué)內(nèi)容，呈現(xiàn)了一節(jié)體現(xiàn)整體性的“數(shù)量關(guān)系”主題的精彩課堂。

（一）學(xué)習(xí)內(nèi)容的選擇體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化

新課標(biāo)關(guān)于課程內(nèi)容理念的重要變化是，特別指出要“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”［1］。盡管相遇問題一直是數(shù)學(xué)教材中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，但是數(shù)量關(guān)系的概括對于四年級學(xué)生來說依然比較抽象，因此需要通過結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容幫助學(xué)生理解和掌握。

首先，準備題是一個物體的運動。由于學(xué)生之前學(xué)過行程問題的最基本類型，即“路程＝速度×?xí)r間”的數(shù)量關(guān)系，因此必要的再現(xiàn)和激活，為接下來新知的探索和學(xué)習(xí)提供了有效的腳手架。

然后，例題是兩個物體相向而行的運動。由于有了形象的直觀演示和充分的探索交流，學(xué)生分別從加法模型和乘法模型兩個角度理解“相遇問題”的基本數(shù)量關(guān)系，即“總量＝分量＋分量”和“路程＝速度（和）×?xí)r間”。

最后，變式題是相背而行不相遇和相背而行相遇的運動。兩道變式題的設(shè)計，改變的是形式，不變的是本質(zhì)，這能夠更好地幫助學(xué)生理解“相遇問題”的內(nèi)在特征。

（二）學(xué)習(xí)過程的組織體現(xiàn)整體性

新課標(biāo)在“教學(xué)建議”中新增了“重視單元整體教學(xué)設(shè)計”［2］的要求，并進一步指出“整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認知規(guī)律，合理整合教學(xué)內(nèi)容”［3］。

首先，讓學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)量關(guān)系模型。數(shù)量關(guān)系是抽象嚴謹?shù)?，教師依?jù)第二學(xué)段學(xué)生的認知特征，加強了動手操作、直觀演示和數(shù)形結(jié)合、圖式對照，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程性。

其次，通過觀察比較形成整體性認知。這堂課，教師主要引導(dǎo)學(xué)生進行了三次關(guān)鍵性的比較：第一次是在例題教學(xué)后，比較基本相遇問題的兩種數(shù)量關(guān)系（加法模型和乘法模型）；第二次是在兩次變式練習(xí)后，比較“相向而行”與“相背而行”以及相背而行不相遇與相背而行相遇；第三次比較是在鞏固性練習(xí)之后，比較行程問題中的“相遇問題”和工程問題、購物問題中的“相遇關(guān)系”。

參考文獻：

［1］［2］［3］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：2，86，86.