摘" 要：“最近發(fā)展區(qū)”是維果茨基闡釋教學(xué)與發(fā)展之間關(guān)系的獨(dú)創(chuàng)概念，作為一個(gè)意蘊(yùn)豐富的區(qū)域，具有前瞻性、社會(huì)互動(dòng)性、動(dòng)態(tài)生成性、個(gè)體差異性等特征，揭示了教學(xué)的本質(zhì)特征在于跨越學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)以創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)，而跨越的路徑是在支架的輔助下實(shí)現(xiàn)內(nèi)化與外化、個(gè)體與集體的辯證統(tǒng)一?；诰S果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)運(yùn)用的實(shí)踐策略包括：溝通預(yù)期目標(biāo)與現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，明確最近發(fā)展區(qū)；設(shè)計(jì)恰到好處的活動(dòng)，搭建最近發(fā)展區(qū)的跨越支架；歷經(jīng)“準(zhǔn)備→建構(gòu)→應(yīng)用”三階段，形成最近發(fā)展區(qū)的跨越路徑。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；最近發(fā)展區(qū)；維果茨基空間；支架

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本文系教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目“基于多模態(tài)話語(yǔ)分析的教師課堂話語(yǔ)特征及質(zhì)量提升研究”（編號(hào)：24YJC880166）的階段性研究成果，也系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（小學(xué)）系列文章之十二。本文第一作者于冬梅為上海師范大學(xué)教育學(xué)院在讀博士。

教學(xué)與兒童發(fā)展的關(guān)系是教育中尤為重要的研究課題。較之皮亞杰認(rèn)為兒童的發(fā)展

一定程度上獨(dú)立于教學(xué)過(guò)程，教學(xué)過(guò)程滯后于兒童發(fā)展的過(guò)程，維果茨基則提出教學(xué)與兒童發(fā)展具有統(tǒng)一性，教學(xué)過(guò)程直接關(guān)系兒童的發(fā)展過(guò)程，經(jīng)過(guò)恰當(dāng)組織的教學(xué)能夠促進(jìn)兒童發(fā)展。［1］并且，為了全面闡釋教學(xué)的功能與限制，維果茨基創(chuàng)立了“最近發(fā)展區(qū)”這一重要概念，強(qiáng)調(diào)只有跑到發(fā)展前面的教學(xué)才是好的教學(xué)，才能不斷創(chuàng)造兒童的最近發(fā)展區(qū)，促使其從當(dāng)前階段攀登至可能但尚未達(dá)到的更高階段。［2］最近發(fā)展區(qū)理論著眼于兒童的未來(lái)，以兒童發(fā)展的明天作為教學(xué)的方向，既是對(duì)教學(xué)可為的有力辯護(hù)，也是對(duì)數(shù)學(xué)新課程改革的基本理念（即聚焦面向未來(lái)的核心素養(yǎng)，實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)

［3］）的重要引領(lǐng)，對(duì)于深化數(shù)學(xué)課程改革，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)有效教學(xué)，具有重要的指導(dǎo)意義。

一、最近發(fā)展區(qū)理論概述

（一）最近發(fā)展區(qū)的豐富意蘊(yùn)

1.最近發(fā)展區(qū)的含義

維果茨基認(rèn)為，要揭示兒童發(fā)展過(guò)程與教學(xué)可能性的真實(shí)關(guān)系，至少應(yīng)確定兩種發(fā)展水平，一為“實(shí)際發(fā)展水平”，即完成的發(fā)展周期結(jié)果和由此達(dá)到的心理水平，以能夠獨(dú)立解決問(wèn)題為標(biāo)志；二為“潛在發(fā)展水平”，即尚未獨(dú)立但借助他人幫助能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平。進(jìn)而，將“最近發(fā)展區(qū)”定義為：由兒童獨(dú)立解決問(wèn)題所確定的實(shí)際發(fā)展水平和通過(guò)成人指導(dǎo)或與能力更強(qiáng)的同伴合作解決問(wèn)題所確定的潛在發(fā)展水平之間的距離。［4］

可見，最近發(fā)展區(qū)指向的是一個(gè)區(qū)域，其最低限度是學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題表現(xiàn)出的現(xiàn)實(shí)水平，最高限度是學(xué)生在得到他人輔助下能表現(xiàn)出的最佳水平；而處于兩者之間的區(qū)域就是學(xué)生在得到不同程度輔助時(shí)的不同表現(xiàn)，包括背景知識(shí)、推理能力、認(rèn)知興趣等，呈現(xiàn)連續(xù)、動(dòng)態(tài)的發(fā)展進(jìn)程，為描繪正在進(jìn)行的發(fā)展創(chuàng)造了可能——將之與已完成的實(shí)際發(fā)展水平相結(jié)合，才能準(zhǔn)確把握學(xué)生的發(fā)展?fàn)顟B(tài)，進(jìn)而在最近發(fā)展期內(nèi)確定教學(xué)時(shí)機(jī)。

2.最近發(fā)展區(qū)的特征

為了充分理解最近發(fā)展區(qū)這一意蘊(yùn)豐富的“區(qū)”，還需明晰其所具有的本質(zhì)特征。

第一，最近發(fā)展區(qū)具有前瞻性。相較于實(shí)際發(fā)展水平是對(duì)學(xué)生已取得的發(fā)展成果的一種回顧性描述，最近發(fā)展區(qū)則是對(duì)學(xué)生心理發(fā)展?fàn)顟B(tài)的一種前瞻性描述，指明其尚未成熟但處于成熟進(jìn)程中的心理功能，關(guān)注的是學(xué)生如何從現(xiàn)有的實(shí)際發(fā)展水平轉(zhuǎn)向其可能的潛在發(fā)展水平，聚焦學(xué)生明日的智慧發(fā)展，旨在探尋學(xué)生如何能成為未來(lái)的他。［5］這啟發(fā)教學(xué)不僅要著眼學(xué)生的當(dāng)下，以其現(xiàn)有發(fā)展水平為起點(diǎn)，更要放眼學(xué)生的未來(lái)，以其潛在發(fā)展水平為方向，選擇適當(dāng)難度的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)習(xí)活動(dòng)；只有教學(xué)超前于發(fā)展并引導(dǎo)發(fā)展，才能將今日的花蕾轉(zhuǎn)化為明日的果實(shí)。

第二，最近發(fā)展區(qū)具有社會(huì)互動(dòng)性。維果斯基認(rèn)為，社會(huì)互動(dòng)是兒童心理發(fā)展的前提與源泉，心理機(jī)能的發(fā)展萌芽必須且只能產(chǎn)生于人與人的交往協(xié)作活動(dòng)之中，隨后才有可能內(nèi)化為自身的心理機(jī)能，經(jīng)歷社會(huì)共享活動(dòng)向內(nèi)化過(guò)程的轉(zhuǎn)化。［6］基于此，審視最近發(fā)展區(qū)的概念，其所指的距離亦可理解為個(gè)體單獨(dú)活動(dòng)與集體合作活動(dòng)之間的差距，而明確并跨越這段距離的基本形式則是以成人指導(dǎo)和同伴合作為代表的社會(huì)性學(xué)習(xí)。這啟發(fā)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)社會(huì)互動(dòng)性，教師要發(fā)揮自身主導(dǎo)作用，積極地組織學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)，以建構(gòu)師生導(dǎo)學(xué)關(guān)系與生生互學(xué)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)師生俱在、攜手并進(jìn)的共同體交互。

第三，最近發(fā)展區(qū)具有動(dòng)態(tài)生成性。學(xué)生的發(fā)展過(guò)程應(yīng)是在教學(xué)引領(lǐng)下螺旋式上升的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生通過(guò)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)跨越了自身的最近發(fā)展區(qū)，其原先的潛在發(fā)展水平就變?yōu)楫?dāng)下的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平，隨之就會(huì)出現(xiàn)新的潛在發(fā)展水平，生成新的最近發(fā)展區(qū)。［7］并且，學(xué)生成長(zhǎng)是一個(gè)不斷發(fā)展的過(guò)程，促進(jìn)發(fā)展的教學(xué)也應(yīng)是一個(gè)助力學(xué)生不斷跨越現(xiàn)有的最近發(fā)展區(qū)并創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)的過(guò)程，循環(huán)往復(fù)、逐步進(jìn)階。因此，教學(xué)應(yīng)具有創(chuàng)造性與進(jìn)階性，始終將落腳點(diǎn)置于學(xué)生動(dòng)態(tài)變化的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，協(xié)調(diào)內(nèi)部認(rèn)知基礎(chǔ)與外部適度引導(dǎo)，促使學(xué)生歷經(jīng)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)進(jìn)階之路。

第四，最近發(fā)展區(qū)具有個(gè)體差異性。一方面，不同學(xué)生所處的社會(huì)文化背景不同，積累的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)不同，導(dǎo)致其具有的最近發(fā)展區(qū)也不同；另一方面，同一位學(xué)生在學(xué)習(xí)的不同階段

或不同內(nèi)容領(lǐng)域也會(huì)具有不同的最近發(fā)展區(qū)。可見，最近發(fā)展區(qū)既不唯一也不統(tǒng)一，每位學(xué)生擁有其專屬的最近發(fā)展區(qū)，展現(xiàn)出不同的發(fā)展可能性。為此，要實(shí)現(xiàn)與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)相匹配的教學(xué)，應(yīng)在社會(huì)文化視域下審視教學(xué)，首先認(rèn)識(shí)到同一課堂中的每位學(xué)生所處的學(xué)習(xí)情境不盡相同，從而盡可能地保證教學(xué)方法的多樣化與個(gè)別化的辯證統(tǒng)一，既為每位學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，更為每位學(xué)生提供適合自身的最佳學(xué)習(xí)途徑。［8］

（二）最近發(fā)展區(qū)的跨越路徑

最近發(fā)展區(qū)的概念，揭示了教學(xué)的本質(zhì)特征在于激發(fā)學(xué)生目前還不存在的心理機(jī)能，助力他們成功跨越最近發(fā)展區(qū)。而對(duì)于如何跨越最近發(fā)展區(qū)，維果茨基及其后繼者提出了“維果茨基空間”和“支架”等重要概念，形成最近發(fā)展區(qū)的跨越路徑圖（見圖1）。從中，我們可以較為清晰地把握最近發(fā)展區(qū)理論的主要內(nèi)容與內(nèi)在關(guān)系，理解促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)應(yīng)該如何開展。

1.維果茨基空間：跨越最近發(fā)展區(qū)的基本階段

維果茨基將兒童的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程概括為兩個(gè)層面，起先是社會(huì)層面，出現(xiàn)在人與人之間，屬心理間范疇；而后是心理層面，出現(xiàn)在兒童內(nèi)部，屬心理內(nèi)范疇。［9］基于此，其后繼者建構(gòu)了“維果茨基空間”這一認(rèn)知發(fā)展模型，包括兩個(gè)維度及其縱橫交叉分出的四個(gè)象限。維度一為“公共-私人”，即社會(huì)的心理間活動(dòng)和個(gè)體的心理內(nèi)活動(dòng)；維度二為“集體-個(gè)體”，即集體活動(dòng)和個(gè)體活動(dòng)；四個(gè)象限依次為“公共且集體”“私人且集體”“私人且個(gè)體”“ 公共且個(gè)體”。根據(jù)此模型，可將學(xué)習(xí)過(guò)程分為準(zhǔn)備活動(dòng)和四個(gè)階段［10］：

準(zhǔn)備活動(dòng)：引入新概念。維果茨基將接觸社會(huì)共享的文化知識(shí)尤其是科學(xué)概念視為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，起源于學(xué)生參與的社會(huì)交往活動(dòng)，因而屬于“公共且集體”象限。

階段一：內(nèi)化。學(xué)生在社會(huì)環(huán)境中受到交互作用的影響，試圖通過(guò)與自身已有經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合來(lái)重構(gòu)和理解新概念的意義，從“公共且集體”象限跨越至“私人且集體”象限。

階段二：轉(zhuǎn)化。學(xué)生將所理解的公共知識(shí)與自身的實(shí)踐情境進(jìn)一步結(jié)合，賦予其新的意義，使之成為個(gè)體知識(shí)，從“私人且集體”象限跨越至“私人且個(gè)體”象限。至此，

學(xué)生理解了知識(shí)，具備了發(fā)展的潛在可能性。

階段三：外化。學(xué)生將所理解的個(gè)體知

識(shí)通過(guò)實(shí)踐轉(zhuǎn)化為外在行為，從“私人且個(gè)

體”象限跨越至“公共且個(gè)體”象限，再次回到公共層面。至此，學(xué)生真正理解知識(shí)的意義并能夠靈活運(yùn)用，進(jìn)入現(xiàn)實(shí)發(fā)展階段。

階段四：習(xí)俗化。學(xué)生在合作中彼此效仿、相互促進(jìn)，使個(gè)體理解的新概念轉(zhuǎn)化為集體共享的知識(shí)，從“公共且個(gè)體”象限跨越至“公共且集體”象限。至此，全部個(gè)體適應(yīng)集體活動(dòng)，保持行事統(tǒng)一，跨越了最近發(fā)展區(qū)，并開啟新一輪的跨越。

可見，學(xué)習(xí)與發(fā)展的場(chǎng)域是內(nèi)化與外化、個(gè)體與集體的辯證統(tǒng)一，通過(guò)師生間、生生間的交互作用，學(xué)生不僅獲得新的社會(huì)既存的活動(dòng)形態(tài)，也發(fā)展出新的歷史活動(dòng)形態(tài)，實(shí)現(xiàn)行為的社會(huì)一般性與個(gè)人可比性的雙重結(jié)合。而且，每一個(gè)學(xué)習(xí)階段都并非一去不復(fù)返，而是循環(huán)往復(fù)的過(guò)程，從而集體潤(rùn)澤個(gè)體的成長(zhǎng)，個(gè)體推動(dòng)集體的發(fā)展。

2.支架：跨越最近發(fā)展區(qū)的有力輔助

最近發(fā)展區(qū)指向的并非學(xué)生“跳一跳，摘個(gè)桃”，而是學(xué)生努力跳起來(lái)后還是達(dá)不到的水平。這就需要教學(xué)提供恰到好處的支持，助其拾級(jí)而上、實(shí)現(xiàn)跨越，也就引出了又一個(gè)重要概念“支架”。

教育中的“支架”是支持學(xué)生完成其獨(dú)立無(wú)法解決的問(wèn)題的一種輔助。這一概念最初來(lái)源于維果茨基的研究發(fā)現(xiàn)，即一位教師或一位更有能力的同伴，通過(guò)確定和傳遞在學(xué)生（同學(xué)）最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的教學(xué)來(lái)幫助他（她）學(xué)習(xí)，這種支架由能力更強(qiáng)者搭建，遵循能力強(qiáng)到弱的路徑傳遞給能力較弱者。之后，維果茨基的后繼者進(jìn)一步明晰了支架的內(nèi)涵，強(qiáng)調(diào)跨越最近發(fā)展區(qū)的過(guò)程并非能力強(qiáng)者將技能轉(zhuǎn)移給能力弱者的過(guò)程，而應(yīng)是在合作中使用中介以共同創(chuàng)造、發(fā)展和交流事物意義的過(guò)程。［11］可見，支架的作用是為學(xué)生學(xué)習(xí)提供有效幫助，而發(fā)揮作用的方式應(yīng)從由強(qiáng)到弱的單向傳遞轉(zhuǎn)變?yōu)槿w在交互過(guò)程中的共同建構(gòu)。

對(duì)于支架的類型，維果茨基曾列舉指導(dǎo)、合作、示范、提問(wèn)等具體形式。在此基礎(chǔ)上，其后繼者按照“是否可見”這一標(biāo)準(zhǔn)將支架歸納為兩類：外顯支架和內(nèi)隱支架。［12］外顯支架一般表現(xiàn)為直接提供給學(xué)生的具有實(shí)體性的中介物，如符號(hào)、公式、實(shí)物等，使學(xué)生看得見甚至摸得著；內(nèi)隱支架則需要通過(guò)社會(huì)互動(dòng)提供給學(xué)生，一般以自然語(yǔ)言為載體，物質(zhì)上看是短暫且透明的，包括以語(yǔ)言為主的互動(dòng)和以活動(dòng)為主的互動(dòng)，前者最為常見的是提問(wèn)，后者較為常見的是教師示范和同伴引領(lǐng)。

對(duì)于支架的使用，應(yīng)是一個(gè)搭建、提供、拆除的完整過(guò)程。首先是在教學(xué)實(shí)施前有針對(duì)性地搭建支架，這需要教師了解學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，明確現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)與理想終點(diǎn)的差距，分解學(xué)習(xí)任務(wù)的完成步驟，從而把握支架的分寸。其次是在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中提供支架，教師應(yīng)遵循移交原則，根據(jù)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，慎重地減少自身的指導(dǎo)成分，逐漸將運(yùn)用支架的責(zé)任過(guò)渡給學(xué)生。伴隨著教師教的支架削弱，學(xué)生合作活動(dòng)逐漸增加，生生間相互學(xué)習(xí)，促使學(xué)生能夠獨(dú)立地運(yùn)用支架以建構(gòu)知識(shí)的意義。最后是當(dāng)學(xué)生無(wú)須支架就能獨(dú)立運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，教師就應(yīng)及時(shí)地拆除支架。

二、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

為了實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一美好愿景，有必要以最近發(fā)展區(qū)理論為引領(lǐng)，從確定最近發(fā)展區(qū)與跨越最近發(fā)展區(qū)兩

個(gè)方面提出具體的實(shí)踐策略。

（一）溝通預(yù)期目標(biāo)與現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，明確最近發(fā)展區(qū)

學(xué)生學(xué)習(xí)與發(fā)展的契機(jī)是其處于既知與未知之間，產(chǎn)生似懂非懂的矛盾心理，從而面向問(wèn)題的解決展開思維表達(dá)活動(dòng)。［13］這就要求教師厘清素養(yǎng)要求和知識(shí)結(jié)構(gòu)，評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，明確既知與未知之間的最近發(fā)展區(qū)，確定發(fā)展區(qū)的階段和水平。

例如，學(xué)生解答這樣一道題：

把下面的詩(shī)抄寫在圖2的田字格里，每一格寫一個(gè)字，能寫得下嗎？為什么？

一去二三里，煙村四五家，

亭臺(tái)六七座，八九十枝花。

原來(lái)發(fā)展水平：學(xué)生通過(guò)實(shí)際的抄寫，發(fā)覺當(dāng)田字格寫滿時(shí)，詩(shī)還沒(méi)有抄寫完，因此得出“寫不下”的結(jié)論。

最近發(fā)展區(qū)Ⅰ：從詩(shī)的字?jǐn)?shù)和方格的個(gè)數(shù)來(lái)思考。

實(shí)際發(fā)展水平1：認(rèn)識(shí)到可以通過(guò)字?jǐn)?shù)與方格個(gè)數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。

學(xué)生通過(guò)數(shù)詩(shī)的字?jǐn)?shù)及田字格的格數(shù)，發(fā)現(xiàn)詩(shī)有20個(gè)字，而田字格只有16個(gè)，通過(guò)比較20gt;16，所以得出“寫不下”的結(jié)論。

最近發(fā)展區(qū)Ⅱ：通過(guò)對(duì)應(yīng)思想來(lái)思考。

實(shí)際發(fā)展水平2：理解對(duì)應(yīng)思想可以解決問(wèn)題。

學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)詩(shī)的行數(shù)與田字格的行數(shù)相等，但詩(shī)每行的字?jǐn)?shù)比田字格每行的字?jǐn)?shù)多1，因此得出“寫不下”的結(jié)論。

在原來(lái)發(fā)展水平階段，學(xué)生更多地依賴動(dòng)作思維，從解決問(wèn)題的策略來(lái)看，這種方式也不失為一種策略，但這一層次的思維水平是偏低的；通過(guò)設(shè)計(jì)最近發(fā)展區(qū)Ⅰ，在學(xué)生已經(jīng)初步建立數(shù)的概念基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們思考可以通過(guò)比較數(shù)的大小來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，進(jìn)入實(shí)際發(fā)展水平1，屬于較高層次思維水平；再設(shè)計(jì)最近發(fā)展區(qū)Ⅱ，從對(duì)應(yīng)關(guān)系入手，讓學(xué)生初步建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問(wèn)題，從而形成高層次思維水平。

又如，在學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算公式后，學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)。學(xué)生通過(guò)剪拼將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，是不難實(shí)現(xiàn)的，這是對(duì)方法的再一次應(yīng)用。但是，通過(guò)對(duì)加拼一個(gè)完全一樣的三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，學(xué)生一般難以想到。怎么讓學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)關(guān)系呢？

呈現(xiàn)材料一：

如圖3，求三角形的面積。

圖3

已經(jīng)知道，圖3（1）長(zhǎng)方形面積=20 m2，所以三角形面積=10 m2；圖3（2）平行四邊形面積=16 m2，所以三角形面積=8 m2；圖3（3）平行四邊形面積=18 m2，所以三角形面積=9 m2。

問(wèn)題：（1）怎么得到這些三角形的面積？（2）為什么可以這樣得到？

最近發(fā)展區(qū)Ⅰ：初步感悟三角形和平行四邊形的關(guān)系。

學(xué)生通過(guò)觀察、分析和教師的引導(dǎo)，由推理得到結(jié)果：因?yàn)閷?duì)角線把平行四邊形分成了兩個(gè)完全一樣的三角形，所以三角形面積等于平行四邊形面積的一半。

實(shí)際發(fā)展水平1：學(xué)生理解了三角形面積等于平行四邊形面積的一半。

教師小結(jié)：一個(gè)平行四邊形是由兩個(gè)完全相等的三角形拼成的，因此，對(duì)角線可以把一個(gè)平行四邊形分割成兩個(gè)面積完全相等的三角形。

這一環(huán)節(jié)給學(xué)生呈現(xiàn)長(zhǎng)方形、平行四邊形面積，求三角形面積的一組題，目的是讓學(xué)生通過(guò)觀察直觀感悟三角形的面積與平行四邊面積之間的關(guān)系，營(yíng)造一個(gè)最近發(fā)展區(qū)。建立初步的關(guān)系：一個(gè)平行四邊形利用對(duì)角線可以分出兩個(gè)完全一樣的三角形；這個(gè)平行四邊形面積是三角形面積的2倍；三角形的面積是這個(gè)平行四邊形面積的一半。這是學(xué)生習(xí)得的新知識(shí)，從而達(dá)到實(shí)際發(fā)展水平1。

呈現(xiàn)材料二：

如圖 4，陰影部分三角形的面積是多少？

圖4

問(wèn)題：每個(gè)三角形的底是多少？高是多少？面積是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？利用平行四邊形對(duì)角線分出來(lái)的三角形，它們與平行四邊形有什么關(guān)系？

最近發(fā)展區(qū)Ⅱ：體會(huì)三角形和平行四邊形等底等高的關(guān)系。

學(xué)生通過(guò)合作交流，可以發(fā)現(xiàn)每幅圖中平行四邊形的底和高與三角形的底和高是一樣的，從而得到結(jié)論：與平行四邊形等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

實(shí)際發(fā)展水平2：掌握“圖形等底等高必然等積”的知識(shí)。

這一環(huán)節(jié)提供了平行四邊形的底和高，讓學(xué)生利用這些數(shù)據(jù)求出三角形的面積。目的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形和平行四邊形的底和高是相等的，進(jìn)一步直觀體會(huì)三角形與平行四邊形是等底等高的關(guān)系。進(jìn)而，將環(huán)節(jié)一、環(huán)節(jié)二相結(jié)合，建立起三角形的面積是和它等底等高的平行四邊形面積一半的關(guān)系。通過(guò)這個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平得以進(jìn)階。

呈現(xiàn)材料三：

如圖5，（1）先出示左邊的圖，再擦去空白三角形部分成右邊的圖。提問(wèn)：這是一個(gè)什么圖形？（2）它的面積是多少？（5×6÷2=15）（3）這里的 5×6 表示什么？為什么除以2？（“5×6”表示同底等高的平行四邊形的面積，三角形面積是它的一半，所以除以 2）

圖5

最近發(fā)展區(qū)Ⅲ：以前面兩個(gè)環(huán)節(jié)為基礎(chǔ)推出三角形面積公式。

教師把底和高變成其他數(shù)，最后變成字母，得出三角形面積公式：S=12ah，a是三角形的底邊長(zhǎng)，h是三角形的高。

實(shí)際發(fā)展水平3：理解和掌握三角形面積公式。

這個(gè)環(huán)節(jié)直接出現(xiàn)一個(gè)三角形，并標(biāo)出三角形的底和高，求三角形的面積。目的是讓學(xué)生從第三份材料想到第二份材料。這是一個(gè)跳躍性的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。前面兩份材料是為了這個(gè)環(huán)節(jié)的公式推導(dǎo)做鋪墊的，目的是在這里幫助學(xué)生推導(dǎo)出公式。

（二）設(shè)計(jì)恰到好處的活動(dòng)，搭建最近發(fā)展區(qū)的跨越支架

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)要求根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為一系列恰到好處、難度適中的活動(dòng)任務(wù)，并規(guī)劃活動(dòng)的過(guò)程、內(nèi)容、方法和工具等，為學(xué)生跨越最近發(fā)展區(qū)搭建支架。有效的支架應(yīng)具備如下條件：滿足學(xué)生對(duì)安全感和歸屬感的需求；將學(xué)科結(jié)構(gòu)可視化，呈現(xiàn)學(xué)科專家解決問(wèn)題的過(guò)程；幫助學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)展軌跡，以及與自己的相關(guān)性；提供及時(shí)、靈活的反饋。

例如，《圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)》 一課教學(xué)，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)活動(dòng)：

1.操作活動(dòng)。布魯納將人的智慧生長(zhǎng)定義為動(dòng)作表征、表象表征和符號(hào)表征的相互作用。［14］而小學(xué)生以直觀形象思維為主，他們建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義往往由具體體驗(yàn)開始，通過(guò)對(duì)工具的操作以驗(yàn)證假設(shè)、得出結(jié)論。因此，在建立圓柱與圓錐的表象時(shí)，教師可以為學(xué)生提供長(zhǎng)方形紙、圓片、剪刀、直尺、圓規(guī)等多種材料和工具，請(qǐng)學(xué)生制作一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐。這將調(diào)動(dòng)學(xué)生關(guān)于圓柱與圓錐的已有經(jīng)驗(yàn)，并在制作過(guò)程中直觀感知圓柱與圓錐，獲得最初印象。而后在探究圓柱與圓錐的特征時(shí)，學(xué)生亦可借助自己制作的模型，通過(guò)比一比、切一切、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)等方式加以驗(yàn)證，以“做”為支架，真切感受二維平面圖形與三維空間圖形的轉(zhuǎn)化之妙。

2.小組活動(dòng)。合作學(xué)習(xí)是最近發(fā)展區(qū)理論倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式，通過(guò)小組合作創(chuàng)造生生互教互學(xué)、互幫互助的共同體關(guān)系，亦是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有力支架。并且，學(xué)生與學(xué)生之間的差距不大，同伴指導(dǎo)更易落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，有助于學(xué)習(xí)的一方理解消化。但教師在分組時(shí)要注意按照學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行異質(zhì)分組，并提供明確的小組活動(dòng)建議，倡導(dǎo)出聲思維的方式。在創(chuàng)設(shè)對(duì)圓柱、圓錐的探究活動(dòng)中，要求學(xué)生通過(guò)自主探究與小組討論，認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的特征；同時(shí)，給出研究建議“自主探究、研讀課本→小組研究：看、摸、量、比、畫→準(zhǔn)備分享、認(rèn)真聆聽”，促使學(xué)生經(jīng)歷思考以及表達(dá)自我思考的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)面對(duì)面的相互促進(jìn)。

3.對(duì)比活動(dòng)。由于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)不同，教師可以展示各小組的不同作品并進(jìn)行交流，引導(dǎo)學(xué)生在比較中自己去發(fā)現(xiàn)進(jìn)而總結(jié)規(guī)律，并且同學(xué)的作品更貼近學(xué)生、更易被理解，有助于啟發(fā)學(xué)習(xí)起點(diǎn)較低的學(xué)生。在小組合作探究完圓柱與圓錐的特征后，可以請(qǐng)各小組依次展示探究成果，呈現(xiàn)不同層次的表現(xiàn)水平，先請(qǐng)起點(diǎn)較低的小組分享關(guān)于圓柱與圓錐的部分猜想與一到兩種驗(yàn)證方法；而后逐步請(qǐng)其他小組補(bǔ)充分享、走向完備，即能夠從點(diǎn)、線、面對(duì)圓柱與圓錐提出猜想，并通過(guò)視圖與還原、展開與折疊、切割與堆積、切割與旋轉(zhuǎn)等多種方法加以驗(yàn)證。

（三）歷經(jīng)“準(zhǔn)備→建構(gòu)→應(yīng)用”三階段，形成最近發(fā)展區(qū)的跨越路徑

促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)應(yīng)在一種良好的學(xué)習(xí)環(huán)境下實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生歷經(jīng)“準(zhǔn)備→建構(gòu)→應(yīng)用”的學(xué)習(xí)進(jìn)階之路，進(jìn)而創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)，實(shí)現(xiàn)自我提升。

例如，《不可能的三角形》一課教學(xué)，讓學(xué)生歷經(jīng)這樣三個(gè)階段：

1.準(zhǔn)備階段。教師先提問(wèn)：“關(guān)于三角形，大家知道什么？”在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，出示單元目錄，厘清三角形的基本要素為邊、角、頂點(diǎn)，而后發(fā)布任務(wù)：不可能的三角形（見圖6），讓學(xué)生從邊、角、頂點(diǎn)入手去破壞三角形，反向研究三角形的基本要素，這時(shí)的學(xué)生為成為破壞者而興奮，迫不及待地展開破壞行為，也就達(dá)到了“準(zhǔn)備”狀態(tài)。

準(zhǔn)備階段旨在喚醒學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，激發(fā)其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。因此，教師可以根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，先回顧舊知加以小結(jié)，再勾連已知與未知，創(chuàng)設(shè)一個(gè)具有真實(shí)性、挑戰(zhàn)性、趣味性的任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究欲望。

2.建構(gòu)階段。教師在此時(shí)順勢(shì)展開多元對(duì)話，首先保證學(xué)生有充足的時(shí)間與問(wèn)題情境對(duì)話，自選任務(wù)、自主記錄、自選級(jí)別，進(jìn)而自主嘗試解決問(wèn)題，形成對(duì)概念的自我理解；

其次組織小組合作活動(dòng)，圍繞問(wèn)題情境與同伴對(duì)話，小組共同設(shè)計(jì)并展開破壞活動(dòng)，在思維碰撞的過(guò)程中搭建思維發(fā)展的階梯，教師走近各小組，以適時(shí)的點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生的探究方向，促進(jìn)對(duì)話的深入；再次組織全班交流，各小組在全班面前展示與分享破壞作品，傾聽他人的問(wèn)題與建議，反思自我對(duì)三角形概念的理解，每位學(xué)生皆是共創(chuàng)者，在表達(dá)與聆聽、質(zhì)疑與回應(yīng)、分享與欣賞中全員協(xié)作、挑戰(zhàn)成功、達(dá)成共識(shí)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更為豐富而全面的理解。

建構(gòu)階段是學(xué)生將新概念內(nèi)化并轉(zhuǎn)化為自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，需要學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、相互交流、小組協(xié)商的方式探究問(wèn)題情境，建構(gòu)知識(shí)意義。［15］例如，學(xué)生從原已習(xí)慣的正向創(chuàng)造三角形轉(zhuǎn)變?yōu)閺奈从羞^(guò)的反向破壞三角形，這就引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，探究新知便成了學(xué)生的真正需求，進(jìn)而投身于多維對(duì)話中共同創(chuàng)造多元交響、智能躍動(dòng)的課堂。

3.應(yīng)用階段。首先，教師提供部分邊的長(zhǎng)度、部分角的度數(shù)、部分頂點(diǎn)的位置，請(qǐng)學(xué)生判斷能否構(gòu)成三角形并說(shuō)明原因；其次，教師出示彭羅斯三角形，將二維平面的問(wèn)題延展至三維空間，繼續(xù)研究不可能的三角形；再次，教師追問(wèn)一系列促使學(xué)生求索內(nèi)心的問(wèn)題，如“覺得自己做得如何？怎樣做的？有何感受？哪里可以做得更好？下一次從哪里入手？”等。

應(yīng)用階段是在鞏固練習(xí)、拓展遷移、回顧反思中創(chuàng)造新的最近發(fā)展區(qū)，促使學(xué)生反思自我對(duì)問(wèn)題的解決程度、概念的理解程度、課堂活動(dòng)的參與程度等。這既能加深對(duì)新知的理解，也構(gòu)建了內(nèi)容之間的聯(lián)系和可遷移的學(xué)法，開啟新一輪的跨越最近發(fā)展區(qū)之路。

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