摘 要：廓清分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展脈絡(luò)，分析知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，聚焦核心內(nèi)容“一個(gè)整體的幾分之一”開(kāi)展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生聯(lián)結(jié)零散的知識(shí)碎片，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念的整體建構(gòu)。首先，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題，解構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的要點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，組織結(jié)構(gòu)化活動(dòng)，如多元化協(xié)商活動(dòng)、層次化練習(xí)活動(dòng)，建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念圖式。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)化；分?jǐn)?shù)概念；《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）指出：在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。^［1］因此，我們應(yīng)以課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)化推動(dòng)學(xué)生知識(shí)理解的結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)彼此雙向成長(zhǎng)。為了達(dá)成分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的結(jié)構(gòu)化，我們主張，應(yīng)廓清分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生理解內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)聚焦核心內(nèi)容“一個(gè)整體的幾分之一”結(jié)構(gòu)化地開(kāi)展教學(xué)，幫助學(xué)生聯(lián)結(jié)零散的知識(shí)碎片，最終實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念的整體建構(gòu)。

一、設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題，解構(gòu)分?jǐn)?shù)概念要點(diǎn)

（一）結(jié)構(gòu)化問(wèn)題是課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)化的集中體現(xiàn)

結(jié)構(gòu)化問(wèn)題的顯著特征是恰到好處地創(chuàng)造學(xué)生直面問(wèn)題挑戰(zhàn)的關(guān)鍵事件，從而衍生出個(gè)人的真實(shí)見(jiàn)解。因此，結(jié)構(gòu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)的先決條件是立足整體，以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，架構(gòu)已學(xué)和未學(xué)知識(shí)之間的橋梁。

關(guān)于“分?jǐn)?shù)”概念，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了把一個(gè)物體平均分成幾份，每份就是這個(gè)物體的幾分之一，幾份就是這個(gè)物體的幾分之幾，還學(xué)會(huì)了簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)大小比較。把一個(gè)整體平均分是分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的“承重墻”，其既是對(duì)一個(gè)物體平均分的拓展延伸，又為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)將一個(gè)物體、圖形和整體可以統(tǒng)稱(chēng)為單位“1”，理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)起鋪墊作用。對(duì)此，我們前置本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)“把由幾個(gè)物體組成的整體平均分”，設(shè)計(jì)了問(wèn)題。問(wèn)題從學(xué)生熟悉的教學(xué)素材（如圖1）入手，先引導(dǎo)學(xué)生回憶把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是這個(gè)蛋糕的1/2；再把4個(gè)蘋(píng)果平均分成2份，每人分得2個(gè)蘋(píng)果；進(jìn)而，提問(wèn)“每人是否分得這些蘋(píng)果的1/2呢？”

教師對(duì)學(xué)生給出的答案既不急于否定，也不盲目認(rèn)可，而是鼓勵(lì)他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)尋找答案，不斷獲得新見(jiàn)解、新成長(zhǎng)。當(dāng)問(wèn)題與學(xué)生的原有認(rèn)知有了沖突，學(xué)習(xí)新的分?jǐn)?shù)知識(shí)便成為一種真實(shí)需求。緊接著，教師引導(dǎo)學(xué)生先后對(duì)“一個(gè)整體”和“整體的幾分之一”開(kāi)展研究，將一盤(pán)桃平均分成2份、3份、4份……學(xué)生發(fā)現(xiàn)這盤(pán)桃是一個(gè)整體，平均分成了幾份，每份就是它的幾分之一。此時(shí)，再次面對(duì)原先的問(wèn)題“每人是否分得這些蘋(píng)果的1/2呢”，學(xué)生顯得游刃有余。與此同時(shí)，教師通過(guò)板書(shū)和課件，高度凝練結(jié)構(gòu)化問(wèn)題的脈絡(luò)（如圖2所示），便于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，整體理解分?jǐn)?shù)的概念，形成有章可循的體系，同時(shí)掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，沉淀核心素養(yǎng)。

（二）結(jié)構(gòu)化問(wèn)題是學(xué)生認(rèn)知過(guò)程結(jié)構(gòu)化的重要支架

結(jié)構(gòu)化問(wèn)題的核心價(jià)值在于引發(fā)持續(xù)思考，開(kāi)展深度對(duì)話(huà)，幫助學(xué)生經(jīng)歷概念建構(gòu)的過(guò)程，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的關(guān)鍵性理解。

教師出示情境圖（如下頁(yè)圖3），并提問(wèn)：把一盤(pán)桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之幾？這盤(pán)桃被“蓋”住了，不知道具體數(shù)量。學(xué)生猜測(cè)這盤(pán)桃可能是4個(gè)、5個(gè)，還可能是20個(gè)……從而引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考，直至產(chǎn)生真實(shí)的感受“這盤(pán)桃的具體個(gè)數(shù)似乎并不重要，而關(guān)鍵在于一盤(pán)桃這個(gè)整體”。

緊接著，教師在課件中呈現(xiàn)這盤(pán)桃有6個(gè)的情況，讓學(xué)生分一分、涂一涂和說(shuō)一說(shuō)，發(fā)現(xiàn)每只小猴分得這盤(pán)桃的1/2。教師鼓勵(lì)學(xué)生用這樣的方法繼續(xù)研究這盤(pán)桃有3個(gè)、4個(gè)和8個(gè)的情況，發(fā)現(xiàn)每只小猴仍是分得這盤(pán)桃的1/2，之前的個(gè)人感受變得更加堅(jiān)定。于是，教師順勢(shì)提問(wèn)：“這盤(pán)桃有3個(gè)時(shí)，每只小猴分得1個(gè)半；有4個(gè)時(shí)，每只小猴分得2個(gè)；有6個(gè)時(shí)，每只小猴分得3個(gè)；有8個(gè)時(shí)，每只小猴分得4個(gè)。每次分得的桃子數(shù)量不一樣，為什么都能用1/2表示呢？”學(xué)生脫口而出：因?yàn)榘堰@盤(pán)桃看作了“一個(gè)整體”。

教師追問(wèn)：這盤(pán)桃還能平均分成幾份，每份是這盤(pán)桃的幾分之一呢？從一盤(pán)桃的1/2，到一盤(pán)桃的1/3，到一盤(pán)桃的1/n，不斷逼近問(wèn)題的本質(zhì)。從把一個(gè)物體平均分成若干份、用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份，到把幾個(gè)物體組成的整體平均分成若干份、用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份，再到一個(gè)物體、圖形和整體可以統(tǒng)稱(chēng)為什么，這樣的分?jǐn)?shù)又有怎樣的性質(zhì)。通過(guò)結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題引導(dǎo)每個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)整體地思考并解決問(wèn)題，建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)其未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

二、組織結(jié)構(gòu)化活動(dòng)，建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念圖式

（一）多元化協(xié)商活動(dòng)，建構(gòu)整體的幾分之一

1.化抽象為直觀(guān)，感悟“一個(gè)整體”的意義

師 除了6個(gè)桃，你還看到了什么？用手比畫(huà)一下。

生 （一邊說(shuō)，一邊用手比畫(huà)）

我還看到一個(gè)紅色的圓圈。

師 這個(gè)圓圈把6個(gè)桃“圈”在了一起，表示一盤(pán)桃。每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之一呢？誰(shuí)能來(lái)分一分、涂一涂。

生 把這一盤(pán)桃平均分成2份，每只小猴分得這盤(pán)桃的1/2。

（學(xué)生上臺(tái)在黑板上板演，用虛線(xiàn)分一分，用陰影涂一涂，如圖4所示。）

師 你也能像這樣繼續(xù)分一分嗎？

（學(xué)生操作，教師收集并呈現(xiàn)學(xué)生資源。）

生 （展示方法，如圖5所示）

我將第1盤(pán)桃平均分成2份，每只小猴分到1個(gè)半桃子，每份是這盤(pán)桃的1/2；將第2盤(pán)桃平均分成2份，每只小猴分到2個(gè)桃子，每份也是這盤(pán)桃的1/2；將第3盤(pán)桃平均分成2份，每份還是這盤(pán)桃的1/2。

師 聽(tīng)明白他的意思了嗎？

生 他每次分桃都是平均分，將一盤(pán)桃平均分成2份，每份都是這盤(pán)桃的1/2。只不過(guò)對(duì)第1盤(pán)桃，他是先給每只小猴分1個(gè)（桃），再把剩下那個(gè)（桃）也平均分成2份，這樣每只小猴就分到了1個(gè)半的桃子，還是分到了這盤(pán)桃的1/2。

師 每次分到的桃子數(shù)量明明不一樣，為什么都可以用1/2表示呢？

生 因?yàn)槎际前岩槐P(pán)桃平均分。

生 他們將這些桃看成了一個(gè)整體，每只小猴分到了這個(gè)整體的1/2，而不是考慮具體的個(gè)數(shù)。

抽象概念的掌握離不開(kāi)直觀(guān)演繹，實(shí)踐操作、多元表征等活動(dòng)方式能幫助學(xué)生更好地理解“一個(gè)整體”，逐步掌握份數(shù)與整體的關(guān)系。把4個(gè)蘋(píng)果平均分成2份，用1/2表示其中“一份”和“整體”之間的關(guān)系具有抽象性，學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難。教師注重引導(dǎo)學(xué)生親歷觀(guān)察實(shí)物圖、涂色操作和分享交流，借助直觀(guān)操作開(kāi)展分析與思考，不斷積累對(duì)分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)識(shí)，并把具體的感知逐步上升為數(shù)學(xué)理解，真正體悟“一個(gè)整體”的意義。

2.化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，理解一個(gè)整體的幾分之一

師 （課件演示盤(pán)子變大的過(guò)程）

想象一下，這盤(pán)桃還可以是多少個(gè)？

生 可能是10個(gè)。

生 可能是20個(gè)。

生 只要盤(pán)子足夠大，甚至可能是100個(gè)、1000個(gè)……

師 （出示圖6）

不管多少個(gè)桃，我們都可以用這樣的一盤(pán)桃來(lái)表示，把這盤(pán)桃平均分成2份，每只小猴分得這盤(pán)桃的1/2。

師 還是這盤(pán)中的6個(gè)桃。瞧，又來(lái)了一只小猴。這時(shí)候，猴媽媽怎樣分桃才公平呢？

生 把這盤(pán)桃平均分成3份，每只小猴分得這盤(pán)桃的1/3。

師 想象一下，還可以把一盤(pán)桃平均分成幾份？每份又是這盤(pán)桃的幾分之一呢？

生 還可以把這盤(pán)桃平均分成4份，每份是這盤(pán)桃的1/4。

生 把這盤(pán)桃平均分成10份，每份是這盤(pán)桃的1/10。

生 把這盤(pán)桃平均分成15份，每份是這盤(pán)桃的1/15。

……

師 看來(lái)，把這盤(pán)桃平均分成幾份，每份就是它的——

生 （齊）

幾分之一。

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生主要經(jīng)歷了兩次想象。第一次想象，猜測(cè)這盤(pán)桃可能有20個(gè)、100個(gè)，甚至1000個(gè)，教師順勢(shì)引導(dǎo)總結(jié)出：不管這盤(pán)桃有多少個(gè)，都能用“一個(gè)整體”表示，直扣主題。第二次想象，從把這盤(pán)桃平均分成2份，到把這盤(pán)桃平均分成3份，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：這盤(pán)桃還能平均分成幾份？每份是這盤(pán)桃的幾分之一？適度地留白造就想象的空間，學(xué)生產(chǎn)生了不同的分法。經(jīng)過(guò)梳理對(duì)比，學(xué)生最終發(fā)現(xiàn)：把這盤(pán)桃平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

3.化特殊為一般，關(guān)聯(lián)一個(gè)物體和整體

某種意義上，不論研究的對(duì)象是一個(gè)物體、一個(gè)圖形，還是由幾個(gè)物體組成的一個(gè)整體，所得到的分?jǐn)?shù)都是描述“一份”與“整體”之間的關(guān)系。這區(qū)別于具體的量，側(cè)重于率的意義，也就是史寧中教授所強(qiáng)調(diào)的“分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于它的無(wú)量綱性”。

教師在全課總結(jié)時(shí)，在學(xué)生掌握了新知的基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生梳理“每人分得這個(gè)蛋糕的1/2”“涂出每張圓形紙片的1/2”“每只小猴分得這盤(pán)桃的1/2”，讓學(xué)生繼續(xù)思考問(wèn)題：“蛋糕、圓形紙片、這盤(pán)桃又可以統(tǒng)稱(chēng)為什么？”“其中的每一份又有怎樣的作用？”這重在感悟分?jǐn)?shù)單位，建構(gòu)單位“1”的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義、基本性質(zhì)打下基礎(chǔ)，促進(jìn)分?jǐn)?shù)概念的結(jié)構(gòu)化、整體化建構(gòu)。

（二）層次化練習(xí)活動(dòng)，豐潤(rùn)分?jǐn)?shù)概念脈絡(luò)

層次化的練習(xí)有助于學(xué)生的思維在“爬坡過(guò)坎”的過(guò)程中進(jìn)階，經(jīng)歷對(duì)比分析，豐潤(rùn)概念的脈絡(luò)。

本節(jié)課，教師設(shè)計(jì)了“一星練習(xí)”（如圖7），夯實(shí)學(xué)生在具體情境中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

該練習(xí)的情境素材主要源于教材，同時(shí)也包括對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)照，促進(jìn)分?jǐn)?shù)知識(shí)優(yōu)化和學(xué)生思維發(fā)展。學(xué)生通過(guò)橫向?qū)Ρ缺嫖?，發(fā)現(xiàn)每個(gè)球、每個(gè)蘑菇、每個(gè)雞蛋抽象出的個(gè)數(shù)都是1，但是所表示的分?jǐn)?shù)卻截然不同。教師進(jìn)而提問(wèn)：為什么每份的個(gè)數(shù)相同，表示的分?jǐn)?shù)卻不同呢？學(xué)生觀(guān)察圖片，發(fā)現(xiàn)每個(gè)“整體”平均分成的份數(shù)是不同的，有的是將整體平均分成6份，有的是將整體平均分成5份，還有的是將整體平均分成10份，因此每一份所表示的分?jǐn)?shù)也不同。

通過(guò)縱向?qū)Ρ惹笏?，讓思維繼續(xù)向深處漫溯，學(xué)生獨(dú)立完成“二星練習(xí)”（如圖8）。其中，兩幅圖的涂色部分都能用1/4表示，教師提問(wèn)：“觀(guān)察這兩幅圖，你還能發(fā)現(xiàn)什么？”學(xué)生縱向?qū)Ρ龋l(fā)現(xiàn)涂色部分的個(gè)數(shù)不一樣，前者是每份有1個(gè)蘋(píng)果，后者是每份有2個(gè)積木。然后，他們暫時(shí)陷入了思維僵局，畢竟將整體平均分成的份數(shù)是一樣的。教師組織學(xué)生交流討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：組成“整體”的物體總數(shù)不同，那么即使平均分成的份數(shù)相同，每份的個(gè)數(shù)也會(huì)不同。經(jīng)過(guò)橫向、縱向不同維度的對(duì)比分析，學(xué)生關(guān)于整體幾分之一的認(rèn)識(shí)又達(dá)到了新境界。

突破課堂邊界，讓學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)進(jìn)行到底，教師布置了“摘星作業(yè)”（提供16根小棒，先拿出這些小棒的1/2，再拿出剩下小棒的1/2，觀(guān)察兩次拿出小棒的個(gè)數(shù)，將自己的探究過(guò)程和發(fā)現(xiàn)記錄下來(lái)），留給學(xué)生課后進(jìn)一步動(dòng)手實(shí)踐、對(duì)比分析的工具。新課標(biāo)明確提出：學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程，認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。^［2］通過(guò)做中學(xué)、做中思，學(xué)生會(huì)自我建構(gòu)對(duì)不同整體的1/2的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：85，3.