蘇永喬

(北京師大附中 北京 100052)

1 常見錯題及其流行解法

【例題】圖1為丹聶耳原電池的工作電路.在原電池中，5 s內(nèi)從左往右穿過截面S的負(fù)電荷為2 C，從右往左穿過截面S的正電荷為2 C.則電解液中的電流為______A.

圖1 丹聶耳電池的工作電路

解析:由題意可知，電流由正、負(fù)離子定向運(yùn)動形成.負(fù)離子的反向運(yùn)動與正離子的正向運(yùn)動等價，則在 5 s內(nèi)通過某截面的總電荷量應(yīng)為

q=4 C

由

得

I=0.8 A

從上面的題設(shè)和解答中，可以看出命題者對原電池的供電過程是如下理解的.

電路中的總電流為0.8 A，說明1 s內(nèi)有 0.8 C的自由電子通過外電路中任一截面.而在內(nèi)電路中，電流從電源的負(fù)極流向正極.也就是說，在電源負(fù)極，每秒除吸收0.4 C的負(fù)離子(負(fù)離子把電子傳給極板)外，同時還生成0.4 C的正離子.在電場力的作用下，這些正離子向正極定向運(yùn)動.在電源正極，每秒鐘有0.4 C的正離子得到電子被還原，同時還生成0.4 C的負(fù)離子.在電場力作用下，這些負(fù)離子向負(fù)極定向運(yùn)動.這樣，才能確保內(nèi)外電路的電流強(qiáng)度都是0.8 A.

然而經(jīng)過筆者查閱資料，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)以上解釋看似合理，但并不符合物理事實.在本文中，筆者嘗試從電源的正、負(fù)極間為什么會有電勢差，銅板和鋅板之間的電勢差有多大，原電池的供電過程及原電池中負(fù)離子濃度的分布等四個方面談這個問題，希望能夠引起各位同仁對此的關(guān)注，并試圖糾正長期以來的錯誤認(rèn)識.

2 電源的正負(fù)極間為什么會有電勢差

丹聶耳電池結(jié)構(gòu)如圖2所示[5]，銅板和鋅板分別浸在硫酸銅和硫酸鋅溶液中.

圖2 丹聶耳電池

金屬正離子形成空間點(diǎn)陣，在其平衡位置做熱振動;或者說金屬正離子處于周圍離子所形成的“勢阱”之中.但任何溫度下，總有少數(shù)正離子有足夠的能量脫離勢阱，在空間點(diǎn)陣中造成缺陷，稱為“熱缺陷”.即金屬表面的離子脫離原來的平衡位置，運(yùn)動到點(diǎn)陣的空隙中去，而在原來的平衡位置處留下一個空穴.這時晶體表面處顯負(fù)電性，金屬正離子所到之處顯正電性.

電極和溶液的接觸層間電勢差的存在，正是由于金屬熱缺陷的結(jié)果.

當(dāng)鋅板插入硫酸鋅溶液時，由于熱運(yùn)動，鋅表面的正離子就可能有少數(shù)進(jìn)入水中，并與周圍的水分子發(fā)生相互作用.如圖3所示，鋅離子進(jìn)入水中后，它的庫侖力使其周圍的水分子極化，使水分子圍著它整齊的排列.這樣的鋅離子和水分子構(gòu)成的小集團(tuán)叫做水化離子.

圖3 鋅離子溶入水中形成水化離子

當(dāng)有部分鋅離子進(jìn)入硫酸鋅溶液，并與溶液中的水分子形成水化離子后，即在金屬表面處形成一負(fù)電荷層.金屬表面的負(fù)電荷對金屬內(nèi)的其他金屬正離子有一個向外的庫侖力作用.正是因為受到金屬表面的負(fù)電荷庫侖力，才使其余的金屬離子逸出金屬表面變得更容易.也就是說，金屬中的其余正離子進(jìn)入溶液的逸出功變小了，因而加速了金屬離子的自動溶解.

隨著水化鋅離子的增多，鋅板上聚集的電子數(shù)目也逐漸增多，對將要進(jìn)入水中的正離子引力也逐漸增大.同時，鋅板表面的負(fù)電荷對溶液中的鋅離子也有一個使其回到鋅板上的作用力.因此，鋅離子在不斷溶解進(jìn)入溶液中的同時，受到鋅板上負(fù)電荷的吸引力的作用和鋅離子自身的熱運(yùn)動影響，也向鋅板沉積，還原為鋅原子.當(dāng)鋅離子的溶解速度與沉積速度相等時，就達(dá)到動態(tài)平衡.這時，若無外力作用，水化鋅離子和極板上的負(fù)電荷形成相對穩(wěn)定的電偶層，電偶層的厚度大約為水化鋅離子的直徑.

由于鋅板帶負(fù)電，水化鋅離子帶正電，在電偶層中就存在從水化鋅離子指向鋅板的電場，水化鋅離子和鋅板間就產(chǎn)生了一定的勢差;鋅板的電勢低于水化鋅離子層的電勢，記為UCB(如圖4).

圖4 銅板與鋅板附近電偶層中的電場方向

但是，當(dāng)銅板插入硫酸銅溶液時，情況則恰好與鋅插入硫酸鋅溶液相反.銅離子脫離晶格進(jìn)入硫酸銅溶液的逸出功大于銅離子脫離晶格進(jìn)入真空的逸出功.也就是說，處于溶液中的銅板上的銅離子溶入硫酸銅溶液甚至比處于空氣中的銅板上的銅離子進(jìn)入空氣中還困難.大家知道，處在空氣中的銅比較穩(wěn)定;從銅板上進(jìn)入空氣中的銅離子極少.因此，處于硫酸銅溶液中的銅離子進(jìn)入溶液的數(shù)目就更少了.

然而，銅板上除了有銅離子之外，還有大量的自由電子.雖然銅離子不能脫離銅板進(jìn)入溶液，但由于熱運(yùn)動，銅板上的自由子卻從銅板上逸出，進(jìn)入溶液，使Cu帶正電，成為電源的正極.逸入硫酸銅溶液中的自由電子和帶正電的銅板也形成相對穩(wěn)定的電偶層,其厚度約為一水化離子的直徑.

在電偶層內(nèi)有從銅板指向自由電子層的電場，因此，銅板的電勢高于自由電子層的電勢差.由于電偶層相對穩(wěn)定，所以銅板和自由電子層(硫酸銅溶液)之間的電勢差也是穩(wěn)定的，記作UAD.

銅板和鋅板附近電荷分布情況,鋅板和水化鋅離子電偶層間的電場強(qiáng)度的方向,銅板和自由電子電偶層間的電場強(qiáng)度的方向如圖4所示.

從上面的分析可以看出，分別插入硫酸銅溶液和硫酸鋅溶液的銅板和鋅板之間存在一定的電勢差，銅板電勢高，鋅板電勢低.銅板和電子層、鋅離子和鋅板之間的電勢差示意圖如圖5所示[5].

圖5 銅板鋅板之間電勢的變化情況

3 銅板和鋅板之間的電勢差有多大

玻爾茲曼分布律是一個普遍的規(guī)律，它對任何物質(zhì)的微粒(氣體、液體、固體的原子和分子、布朗粒子等)在任何保守力場(重力場、電場)中運(yùn)動的情形都成立[6].

銅板和鋅板間之所以有電勢差，是因為金屬離子和電子的無規(guī)則熱運(yùn)動的結(jié)果.因此，離子和自由電子在其中應(yīng)服從玻爾茲曼分布.

下面，利用玻爾茲曼分布，對鋅離子與鋅板之間的電勢差進(jìn)行計算.

設(shè)n01表示鋅板表面單位體積的鋅離子數(shù)，n1為單位體積內(nèi)有能力從鋅板進(jìn)入溶液的鋅離子數(shù)，UCB表示鋅離子和鋅板電偶層的電勢差，Z為原子價，W1為鋅離子從鋅板進(jìn)入溶液的逸出功.

因此，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，能從鋅板進(jìn)入溶液中的鋅離子應(yīng)具有的最小能量為

E1=W1+ZeUCB

(1)

由玻爾茲曼分布，單位體積的鋅板上能量超過E1的鋅離子的數(shù)目為

(2)

設(shè)單位時間內(nèi)離子從鋅板進(jìn)入溶液的分子數(shù)為u1，它應(yīng)與n1成正比.設(shè)比例系數(shù)為K1，則

(3)

另一方面，在鋅離子不斷溶解的同時，也有鋅離子回到鋅板.設(shè)分散在溶液中的鋅離子返回鋅板表面時，越過包圍它的極化水分子所需要的功為W2；鋅離子越過電偶層到達(dá)鋅板表面時，電偶層電場對它做正功，功的大小為ZeU.

因此，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，能從鋅離子層沉積到鋅板上的鋅離子的最小能量為

E2=W2-ZeUCB

(4)

設(shè)ρ為溶液中鋅離子層內(nèi)鋅離子的濃度，n2為鋅離子層中單位體積內(nèi)能量超過E2的鋅離子的數(shù)目，u2為單位時間內(nèi)沉積到鋅板表面的鋅離子數(shù)目，同樣由玻爾茲曼分布可得

(5)

K2為比例系數(shù)，達(dá)到動態(tài)平衡時，u1=u2，即

(6)

所以，鋅板和鋅離子層之間的電勢差為

(7)

上式表明，在溫度恒定的情況下，鋅板離子層與鋅板之間的電勢差由W1,W2,Z，e,n01和ρ決定.

對于新電池和舊電池來說，雖然溶液中的鋅離子濃度不同，但鋅離子層中的鋅離子濃度ρ的變化卻不大.這是因為，隨著電池工作時間的加長，溶液中的鋅離子濃度的確在逐漸增大，但鋅離子層中的鋅離子濃度卻只與鋅板上鋅離子的熱運(yùn)動密切相關(guān)，所以變化很小.也就是說，在原電池中，鋅離子層中鋅離子濃度幾乎是恒定的.因此，式(7)中的第二項可以認(rèn)為是一個不變量.

由上面的論述，我們可以認(rèn)識到,在一定溫度下工作的電源，鋅板與鋅離子層之間的電勢差基本恒定.這也是新舊電池電動勢幾乎一樣的原因.

4 原電池的供電過程

把電池的兩極用導(dǎo)體連接起來，如圖6(a)所示.鋅板上的電子在電場力的作用下通過外電路的導(dǎo)體流到銅板上去與正電荷中和.在這個過程中，電場力做正功，電勢能轉(zhuǎn)化為其他形式的能.外電路中的電流就是單位時間內(nèi)從鋅板流到銅板的電子所攜帶的電荷的數(shù)值.

鋅板上的電子在電場力的作用下沿外電路運(yùn)動至銅板上，使兩極上的電荷減少，電偶層內(nèi)的電場減弱，破壞了原有的動態(tài)平衡.鋅離子不斷地溶解，銅離子不斷地沉積，使得溶液中的正離子在鋅板附近增多.同理，在銅板附近，自由電子也增多.帶正電的鋅離子和自由電子在溶液內(nèi)部產(chǎn)生電場，電場方向從C指向D，從而使C，D間形成一定的電勢差，C點(diǎn)的電勢高于D點(diǎn)的電勢.這個電場推動電荷流動形成電流.若電流強(qiáng)度為I，溶液中的內(nèi)阻為r，則在r兩端，也就是在溶液兩邊C，D之間的電勢差為

UCD=Ir

圖6 丹聶耳電池(放電情形)

在電池內(nèi)部，各處的電勢的變化情況如圖6(b)所示[5].

原電池在工作過程中，溶液和外電路形成閉合回路.在閉合回路中，有下面的等式成立:

電路中的電流=

單位時間內(nèi)通過外電路的自由電子所攜帶的電荷=

單位時間內(nèi)從溶液中沉積到銅板上的銅離子所得到的電子的電荷=

單位時間內(nèi)從溶液中沉積到銅板上的銅離子所帶的電荷=

單位時間內(nèi)通過溶液某一截面的正電荷所帶的電荷=

單位時間內(nèi)從鋅板溶解的鋅離子所帶的電荷

由此，可以得到如下兩個結(jié)論：

(1)在電源的負(fù)極(鋅板)，只有鋅離子不斷溶解進(jìn)入溶液.即鋅板只存正離子不斷生成的過程，由于鋅板與鋅離子電偶層的存在，負(fù)離子不可能從電解質(zhì)溶液中沉積到鋅板上；

(2)在丹聶耳電池中，參與導(dǎo)電的只有正離子.

由此可以看出，本文引用例題中所述的物理過程是不可能出現(xiàn)的.

5 原電池中負(fù)離子濃度的分布

如上所述，在丹聶耳電池中，溶液中的正離子在電場力的作用下定向移動，形成電流.溶液中的負(fù)離子會受到逆著電場方向的電場力的作用，從D向C運(yùn)動.但由于鋅板周邊的電偶層和水合分子壁壘的作用，負(fù)離子無法到達(dá)鋅板，導(dǎo)致C附近負(fù)離子濃度高，D附近負(fù)離子濃度低.但負(fù)離子會不會持續(xù)定向運(yùn)動下去，而電源中的總電流為正負(fù)離子定向移動形成的電流之和呢？

電路閉合時，設(shè)溶液中的電場強(qiáng)度為E內(nèi)，電場方向由負(fù)極附近的鋅離子層指向正極,如圖7.

圖7 電池內(nèi)的電場方向

建立坐標(biāo)軸x，鋅離子層處為坐標(biāo)原點(diǎn)，電場方向為x軸正方向.設(shè)鋅離子層處的電勢為零，則在溶液中，各點(diǎn)的電勢為

U=-E內(nèi)x

(8)

設(shè)負(fù)離子的化合價為Z′，則負(fù)離子在此靜電場中具有的電勢能為

Ep=-Z′eU=Z′eE內(nèi)x

(9)

設(shè)在x=0處，單位體積內(nèi)的負(fù)離子個數(shù)為n03，則由玻爾茲曼分布可知，溶液中單位體積內(nèi)負(fù)離子的個數(shù)與負(fù)離子的位置坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系為

(10)

注意到函數(shù)表達(dá)式中沒有時間項,所以電路閉合時，溶液中的負(fù)電荷處在一個穩(wěn)定的勢場中，各個位置的粒子濃度分布只與位置坐標(biāo)有關(guān).負(fù)電荷在電解液中的這種分布特征，非常類似于空氣分子在重力場中的分布.在重力場中，空氣分子的濃度也是按高度分布，低的地方濃度大，高的地方濃度小.在重力作用下，氣體分子向下的定向運(yùn)動與由于濃度分布不均的分子熱運(yùn)動的效果相抵消，使氣體分子在宏觀上也處于一種穩(wěn)定的分布狀態(tài).

因此，電源正常工作時，溶液中的負(fù)離子有一個

穩(wěn)定的分布，電場力作用下負(fù)離子的定向運(yùn)動的效果和無規(guī)則熱運(yùn)動的效果完全抵消.從宏觀上看，負(fù)離子在空間形成一穩(wěn)定的分布.

由此，對于丹聶耳電池，我們有如下結(jié)論：從宏觀上看，負(fù)電荷沒有定向運(yùn)動.丹聶耳電池內(nèi)部的電流是由正電荷在靜態(tài)的負(fù)電荷(從宏觀角度說)的背景下定向運(yùn)動形成的.閉合電路中的電流的大小等于單位時內(nèi)從電源負(fù)極經(jīng)外電路定向移動到電源正極的自由電子所攜帶的電荷，也等于單位時間內(nèi)從電源負(fù)極經(jīng)內(nèi)電路定向運(yùn)動到電源正極的正離子所攜帶的電荷.

通過以上的討論，我們對原電池內(nèi)電荷運(yùn)動的情況有了比較深入的理解.發(fā)現(xiàn)前述例題描述的物理過程與實際情況不相符，是想當(dāng)然的產(chǎn)物.這也就提示我們，在編物理試題的過程中，不但要注意盡量不犯或少犯科學(xué)性的錯誤，同時也要避免通過這種問題的演練造成對真實物理情境的誤解.

參考文獻(xiàn)

1 馬本堃，高尚惠，孫煜.熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)(第一版).北京：高等教育出版社,1980

2 陳鵬萬.電磁學(xué)(第一版).北京：人民教育出版社,1978

3 (日)川勝博著.吳崇漢,彭雙潮譯.川勝教授的中學(xué)物理教案.南京：東南大學(xué)出版社，2002

4 中學(xué)物理教師手冊編寫組.中學(xué)物理教師手冊.上海：上海教育出版社，1982

5 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)(第一版).北京：人民教育出版社，1978.197,198

6 李椿，章立源，錢尚武.熱學(xué)(第一版).北京：人民教育出版社，1978.92