潘建丹

【摘要】數(shù)學(xué)教材中，無論是概念的引入、應(yīng)用，還是問題的設(shè)計(jì)、解答，或是知識的復(fù)習(xí)、整理，隨處可見化歸思想方法的滲透和應(yīng)用.談?wù)劥髮W(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中常見的化歸思想.

【關(guān)鍵詞】化歸方法；大學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)法

一、化歸思想的含義與意義

數(shù)學(xué)是探討數(shù)與形運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)法是研究數(shù)學(xué)規(guī)律的，即研究在教學(xué)過程中如何最有效地向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識、發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力和個(gè)性的學(xué)科.辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化著.因此，作為一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其組成要素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，正是這種可變的性質(zhì)，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)化歸.

簡單地說，數(shù)學(xué)化歸就是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，將解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已解決或比較容易解決的問題，最終求得原數(shù)學(xué)問題的解答.美國著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程.”所以，化歸如同“翻譯”，從不同的特征出發(fā)，把同一問題用不同的形式在不同的水平上轉(zhuǎn)化出來.因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中突出數(shù)學(xué)化歸思想對提高教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有重要的作用.

二、大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中常見的化歸思想

1.將化歸思想引入未定式型極限的運(yùn)算教學(xué)

已知∞[]∞,0[]0型未定式可直接用洛必達(dá)法則求極限.但對于∞-∞,0?∞，1∞，00，∞0型特殊未定式極限的運(yùn)算中，由于類型多，且沒有直接的求極限方法，從而使得這部分知識成為教學(xué)的難點(diǎn).但將化歸思想引入到此部分內(nèi)容的教學(xué)中，能夠使極限的運(yùn)算方法更加簡單明了.

化歸過程如下圖所示：

例1 求┆玪im獂→0+玸in玿┆玸in玿.

解 這是一個(gè)00型的未定式，先將其化歸成0?∞型的未定式，再化歸成∞[]∞型的未定式.

（若化歸成0[]0型未定式也可以，但會(huì)使后面的計(jì)算└叢櫻┆

設(shè)y=玸in玿┆玸in玿，兩端取對數(shù)，則玪n珁=玸in玿?玪n玸in玿.

因?yàn)?，?dāng)x→0+時(shí)，玸in玿?玪nsin玿為0?∞型的未定式，

利用無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系，得：オ玸in玿?玪nsin玿=玪nsin玿[]1[]玸in玿=玪nsin玿[]玞sc玿.

﹍im玿→0+玸in玿?玪nsin玿=﹍im玿→0+玪nsin玿[]玞sc玿=﹍im玿→0+玞os玿[]玸in玿[]-玞os玿[]玸in2玿=﹍im玿→0+-玸in玿=0.

所以，﹍im玿→0+玸in玿┆玸in玿=﹍im玿→0+e┆玸in玿?玪nsin玿=e0=1.

2.將化歸思想引入二重積分化累次積分的教學(xué)

計(jì)算二重積分是多元函數(shù)微積分部分的重點(diǎn)和難點(diǎn).顯然，依定義計(jì)算二重積分并非易事.下面以求“玐—型”區(qū)域D上的曲頂柱體的體積為例，說明如何將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分.

設(shè)函數(shù)f(x,y)>0，它在“玐—型”區(qū)域：D={（x,y）|φ1(x)≤﹜≤φ2(x),a≤x≤b}上連續(xù)，則К氌璂f(x,y)玠σ表示以曲面z=ゝ(x,獃)為頂,以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.我們用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積.

（1）計(jì)算截面面積

在區(qū)間［a,b］上任取點(diǎn)x0，作平面x=x0，截曲頂柱體得一截面：以區(qū)間［φ1(x0),φ2(x0)］為底邊，以曲線z=f(x0,y)為曲頂?shù)那吿菪?如圖所示的陰影部分).該截面的面積為：

A(x0)=А要│摘2(x0)│摘1(x0)f(x0,y)玠珁.

故過區(qū)間［a,b］上任一點(diǎn)x且平行于面yOz的平面，截曲頂柱體所得的截面面積為：

A（x)=А要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁.

（2）根據(jù)“平行截面面積為已知的立體體積”的方法得所求曲頂柱體體積

所求體積為：V=А要琤璦A(x)玠玿=А要琤璦ИА要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁玠玿.

（3）根據(jù)二重積分的幾何意義，曲頂柱體體積就是二重積分的值

К氌璂f(x,y)玠σ=А要琤璦ИА要│摘2(x)│摘1(x)f(x,y)玠珁玠玿.

類似地,若D為“玒—型”區(qū)域：D={(x,y)|ψ1(y)≤﹛≤ψ2(y),c≤y≤d}，

可得К氌璂f(x,y)玠σ=А要琩璫И玠珁А要│轉(zhuǎn)2(y)│轉(zhuǎn)1(y)f(x,y)玠玿.

由此可見，在此部分教學(xué)中，利用二重積分的幾何意義，將求二重積分的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求空間直角坐標(biāo)系中曲頂柱體體積的幾何問題，然后，把曲頂柱體（三維）看作平行截面（二維）面積為已知的立體.從而通過計(jì)算已知平行截面面積的立體的體積把二重積分化為累次積分.如此，既能使二重積分的問題得以順利解決，又能在教學(xué)過程中，讓學(xué)生感受到數(shù)與形的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的化歸魅力、三維向二維轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的化歸力量.

3.將化歸思想引入求冪級數(shù)的和函數(shù)教學(xué)

求冪級數(shù)的和函數(shù)最常用的方法是逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分法，此方法就是在函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的前提下，對其進(jìn)行逐項(xiàng)微分或積分形成一個(gè)已知或易求和函數(shù)的級數(shù)，然后求和，最后再反過來求一次積分或微分，便可得到原級數(shù)的和函數(shù).其實(shí)，這是一種化歸思想.

我們常見的最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是幾何級數(shù).例如，А啤轠]n=0x琻.

當(dāng)|x|≥1時(shí)，А啤轠]n=0x琻發(fā)散；當(dāng)|x|<1時(shí)，А啤轠]n=0x琻收斂，且其和函數(shù)為：s(x)=1[]1-x.

對于一致收斂的冪級數(shù)求和函數(shù)，我們都可以利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法，將其轉(zhuǎn)化成幾何級數(shù)求和函數(shù)，最后再利用合理的方法，實(shí)現(xiàn)問題求解.

例2 求級數(shù)А啤轠]n=0(-1)琻x2n+2猍]2n+1在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù).

解 設(shè)h(x)=x?А啤轠]n=0(-1)琻x2n+1猍]2n+1，s(x)=x?h(x)，則逐項(xiàng)求導(dǎo)得：

h′(x)=А啤轠]n=0(-1)﹏獂2n=А啤轠]n=0(-x2)琻=1[]1+x2,x∈(-1,1).

對上式積分得：h(x)-h(0)=А要瑇0h′(t)玠玹=А要瑇01[]1+t2玠玹=玜rctan玿.

因?yàn)閔(0)=0，因而得h(x)=玜rctan玿，s(x)=x?玜rctan玿.

即x玜rctan玿=А啤轠]n=0(-1)琻x2n+2猍]2n+1，x∈(-1,1)為所求.

當(dāng)然根據(jù)冪級數(shù)的不同特征，我們還可以利用裂項(xiàng)相消法、代數(shù)方程法、有限遞推法、構(gòu)造微分方程法、柯西方法、差分算子求和法、微分算子求和法等方法求得冪級數(shù)的和函數(shù).這些方法處處都滲透著化歸思想.在教學(xué)過程中完整地向?qū)W生呈現(xiàn)將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的化歸思想，有利于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

三、結(jié) 語

通過以上的論述可知，化歸思想體現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材的各個(gè)方面，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們既要注意挖掘，在傳授知識的同時(shí)滲透數(shù)學(xué)化歸思想和方法，揭示知識內(nèi)在聯(lián)系，掌握知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，又要注重把握學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從教材的呈現(xiàn)程序方面促進(jìn)化歸.引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考、分析、解決問題，帶領(lǐng)學(xué)生集思廣益，共同探求同一問題的不同解法和引申，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，促進(jìn)學(xué)生求異思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

但是化歸思想的應(yīng)用離不開其他思想方法的有機(jī)配合.數(shù)學(xué)的各種思想方法之間總是相互依存、相互滲透的，沒有哪一種思想方法是萬能的，也沒有一種思想能夠孤立存在.此外，化歸思想是一種解決問題的思想和方法，而不是發(fā)現(xiàn)問題的方法，這是化歸思想本身的局限性.

【參考文獻(xiàn)】オ

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