圓錐曲線統(tǒng)一定義的解題功能

☉湖南省永州市第二中學(xué) 鄧艮平

圓錐曲線是平面解析幾何的重要曲線，其性質(zhì)是歷年高考考查的重點.本文舉例說明圓錐曲線的統(tǒng)一定義的解題功能，供同學(xué)們參考.

例2 （2010年全國I卷理科21題的推廣）已知圓錐曲線C的一個焦點為F，與F相對應(yīng)的準(zhǔn)線交F所在軸于點K，過K的直線l與C交于A、B兩點，點A關(guān)于焦點所在軸的對稱點為D，則點F在直線BD上.

證明：（1） 當(dāng)A、B位于同弧時，如圖2所示，設(shè)BD與焦點所在軸交于點F′（不同于點F）.由題意知點K為準(zhǔn)線與x軸的交點，過B、D分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N.因為點A關(guān)于焦點所在軸的對稱點為D，所以∠BKF=∠DKF.

綜合（1）（2）知，點F在直線BD上.

例3 過圓錐曲線的一個焦點F作一條同弧弦AB，過B作BC平行于焦點所在的軸，交相應(yīng)準(zhǔn)線l于點C，l與焦點所在的軸交于點E，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.

EM∥AD.

故直線AC經(jīng)過線段EF的中點.