李純聰

一、化歸：變“新知”為“舊解”

這就是化歸方向的熟悉化原則，化歸的方向朝著熟悉化，把生僻的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，即轉(zhuǎn)化為已知或已經(jīng)掌握的知識(shí)和方法，新東西化作原有的“舊”東西，就可以認(rèn)為問(wèn)題已經(jīng)基本解決了。

再者，雖然還沒(méi)有學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)”之間的互化，但依然可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法，把其歸結(jié)為舊的知識(shí)來(lái)解決。例如，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系算出商（用小數(shù)表示），再按照小數(shù)加減法算出結(jié)果后，應(yīng)用小數(shù)的意義，即把小數(shù)寫(xiě)成分母是100的分?jǐn)?shù)，然后通過(guò)約分，得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。可以為異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法以及將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的必要性提供合理、有力的說(shuō)明，同時(shí)為學(xué)生轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的積累和分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算的簡(jiǎn)便計(jì)算提供方法上的支持。當(dāng)然，對(duì)于不能化成有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)，如例題教學(xué)中，運(yùn)用通分、圖形和數(shù)的轉(zhuǎn)化等辦法解決異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算后，讓學(xué)生計(jì)算，目的就是為了讓學(xué)生明白——化歸方法有它的局限性，化歸方法盡管是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法，但不是唯一方法。在上述實(shí)現(xiàn)化歸的過(guò)程中，化歸的對(duì)象就是異分母分?jǐn)?shù)，化歸的方向就是要將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)化歸的方法就是通過(guò)通分將分?jǐn)?shù)進(jìn)行恒等變形。

二、化歸：變“多元”為“少元”

這就是化歸方向中的低層次化原則，指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)盡量將高維空間待解決問(wèn)題化歸成低維空間的問(wèn)題，高次數(shù)的問(wèn)題化歸成低次數(shù)的問(wèn)題，多元問(wèn)題化歸成少元問(wèn)題解決，這是因?yàn)榈蛯哟螁?wèn)題通常比高層次問(wèn)題更直觀、具體、簡(jiǎn)單。

舉例，的計(jì)算。如果運(yùn)用等比數(shù)列的通用公式計(jì)算，可以很容易地解決，但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，談何容易？運(yùn)用通分將異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行恒等變形加以解決，雖然沒(méi)錯(cuò)，但分母更大時(shí)，不僅通分有困難，而且容易出錯(cuò)，讓人感覺(jué)處于“掉進(jìn)分?jǐn)?shù)里”的困難處境。如果借助等量替換，把原來(lái)的問(wèn)題變形為一個(gè)與之相“等價(jià)”的問(wèn)題，即恒等變形處理，再通過(guò)消元法，實(shí)現(xiàn)化復(fù)雜的多元問(wèn)題為簡(jiǎn)單的少元問(wèn)題，問(wèn)題不僅能夠解決，而且簡(jiǎn)便，重要的是還能夠理解。

在實(shí)現(xiàn)化歸中，算式中的每一個(gè)分?jǐn)?shù)就是化歸的對(duì)象；分別把各個(gè)加數(shù)表示成與之等價(jià)的兩個(gè)數(shù)的差，將原算式恒等變形，然后通過(guò)消元法，將多元化為少元，最終成功地將多個(gè)異分母分?jǐn)?shù)相加轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的1和最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的差，即減法計(jì)算，這就是化歸的方向；化歸方法就是恒等變形和消元法。在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化中，除了體現(xiàn)化多元為少元的思想外，還包括從一種運(yùn)算向另一種運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)出化歸的多樣性特點(diǎn)和計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)潔美。

三、化歸：變“數(shù)”為“形”

這就是化歸的具體化原則，化歸的方向一般應(yīng)由抽象到具體，即分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)著力將抽象問(wèn)題向較具體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，以使其中的數(shù)量更易把握，將抽象的算式用具體的形來(lái)表示，也稱(chēng)數(shù)形結(jié)合，將轉(zhuǎn)化為具體的形（如下圖所示）。

四、化歸：變“難”為“易”

這就是化歸方向的簡(jiǎn)單化原則，即一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以看成是由一些數(shù)學(xué)對(duì)象按確定的數(shù)學(xué)關(guān)系合乎邏輯地組合而成的具有某種數(shù)學(xué)意義的系統(tǒng)或關(guān)系結(jié)構(gòu)。當(dāng)我們嘗試求解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要把問(wèn)題結(jié)構(gòu)搞清楚，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問(wèn)題，人們總是力求簡(jiǎn)單化。具體地說(shuō)，在研究解決復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程中，人們應(yīng)該考慮變換問(wèn)題結(jié)構(gòu)，使之變得表現(xiàn)形式上簡(jiǎn)單或處理方式上簡(jiǎn)便，通過(guò)對(duì)這個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的問(wèn)題的求解，而獲得原問(wèn)題的解決。遇到復(fù)雜問(wèn)題，我們可以采取從簡(jiǎn)單入手，即化難為易，找出規(guī)律后，再運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)（作者單位：福建省廈門(mén)市鐘宅民族小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）