嚴(yán)志榮

理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵. 有的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)能牢固掌握知識(shí)，舉一反三，這類學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是最為深刻的；有的學(xué)生則是一 知半解，一味模仿，這類學(xué)生只是從形式上理解了知識(shí)；還有一類學(xué)生是一竅不通，弄不清知識(shí)的含義，這類學(xué)生對(duì)知識(shí)不理解. 以上三種現(xiàn)象究其原因可能很多. 數(shù)學(xué)概念表征的完善與否無疑是其中一個(gè)重要的因素. 一、相關(guān)概念

1. 數(shù)學(xué)中的理解學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)中的理解學(xué)習(xí)應(yīng)是學(xué)習(xí)者先認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的外部表征，構(gòu)建相應(yīng)的心理表象，然后在建立新舊知識(shí)聯(lián)系的動(dòng)態(tài)過程中，打破原有的認(rèn)知平衡，將數(shù)學(xué)對(duì)象的心理表象進(jìn)行改造、整理、重組，重新達(dá)到新的平衡，以便抽取數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征及規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解.

2. 數(shù)學(xué)概念表征

概念域是指關(guān)于某一個(gè)概念的一組等價(jià)定義的圖式. 也就是說描述一個(gè)概念的角度應(yīng)是多維的. 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為圖式是人腦對(duì)事物或事件的一般特征的概括，貯存在人的長時(shí)記憶中，簡(jiǎn)單地說就是知識(shí)表征的儲(chǔ)存方式. 例如，對(duì)正方形概念的等價(jià)定義有：① 有一個(gè)角是直角的菱形；② 有一組鄰邊相等的矩形；③ 有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形；④ 對(duì)角線相等的菱形；⑤ 對(duì)角線垂直的矩形……

二、相關(guān)指標(biāo)

1. 刻畫數(shù)學(xué)理解學(xué)習(xí)的四元指標(biāo)

① 對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的指標(biāo)之一是對(duì)公式、法則等的簡(jiǎn)單模仿. 這種模仿處于數(shù)學(xué)理解的最低層次，也是必不可少的一個(gè)層次. 此時(shí)的模仿只是對(duì)公式、法則表象的理解，甚至對(duì)它們本身的意義并不清楚. ②對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的指標(biāo)之二是知識(shí)本身的靈活運(yùn)用. 是知其然的表現(xiàn).③對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的指標(biāo)之三是能用自己的語言敘述知識(shí)，知道知識(shí)的產(chǎn)生過程，并能知道與該知識(shí)等價(jià)的知識(shí). 這是知其所以然的體現(xiàn). ④ 對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的指標(biāo)之四：是在新的情況下綜合運(yùn)用. 這是數(shù)學(xué)理解的最高標(biāo)志.

2. 刻畫數(shù)學(xué)概念表征的四元指標(biāo)

①對(duì)數(shù)學(xué)概念表征的指標(biāo)之一是概念表征的真度. 也就是對(duì)一概念的理解正確程度. ②對(duì)數(shù)學(xué)概念表征的指標(biāo)之二是概念表征的深度. 也就是對(duì)一概念理解的深刻性的程度. ③ 對(duì)數(shù)學(xué)概念表征的指標(biāo)之三是概念表征的廣度. 也就是對(duì)一概念相關(guān)概念的聯(lián)系程度. ④ 對(duì)數(shù)學(xué)概念表征的指標(biāo)之四是概念表征的速度. 也就是對(duì)一概念表征的快慢. 有的學(xué)生反應(yīng)比較快，有的學(xué)生反應(yīng)比較慢. 同樣對(duì)概念表征也是如此. 對(duì)一個(gè)概念有的學(xué)生能很快說出，有的學(xué)生還沒有想好.

三、數(shù)學(xué)概念表征對(duì)理解學(xué)習(xí)的影響

理解學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵. 而數(shù)學(xué)概念表征是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 有了概念，才有命題定理，才有了知識(shí)的綜合運(yùn)用. 因此概念表征是理解學(xué)習(xí)的第一步，也是最關(guān)鍵的一步. 如何完善數(shù)學(xué)概念表征呢？

1. 提供豐富的具體材料

概念學(xué)習(xí)一般分為概念形成和概念同化兩種. 所謂概念形成是指同類事物的關(guān)鍵特征可以由學(xué)習(xí)者從大量的同類事物不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn). 教師向?qū)W生提供了豐富的感性材料，學(xué)生借此在大腦中建立了對(duì)該事物的感覺、知覺、表象，從而獲得了對(duì)該事物的一些具體認(rèn)識(shí). 學(xué)生在進(jìn)行概念表征時(shí)有了一個(gè)具體的思維物. 有助于學(xué)生找到相應(yīng)的心理圖像，從而初步建立起概念的表征. 采用概念形成的方法學(xué)習(xí)概念，由于是學(xué)生主動(dòng)參與程度高，積極性高，有利于調(diào)動(dòng)各種認(rèn)知因素，更有利于建立起概念的表征. 而理解學(xué)習(xí)首先從認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象外部表征開始，所以豐富材料也有利于理解學(xué)習(xí).

2. 不斷總結(jié)構(gòu)建完善的概念域和概念系

形成初步的概念表征是理解學(xué)習(xí)的第一步，建立起完善的概念域和概念系是理解學(xué)習(xí)的重要標(biāo)志. 教師在教學(xué)中要有意識(shí)地對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，使同一概念在不同章節(jié)中的表達(dá)統(tǒng)一起來，從而建立起相關(guān)的概念域. 例如證明兩條直線互相垂直的方法：① 定義；② 兩個(gè)銳角互余；③ 勾股定理逆定理；④ 等腰三角形三線合一；⑤ 矩形、正方法性質(zhì)；⑥ 直徑所對(duì)的圓周角是直角……這一組方法就組成了垂直的概念域，而與垂直存在某種關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)就構(gòu)成了概念系. 事實(shí)表明概念域和概念系越完善，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就越容易. 也就是將數(shù)學(xué)對(duì)象心理表象更有效地進(jìn)行重組、整理，納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.

3. 重視概念表征中的變式

變式是不斷變換呈現(xiàn)的形式，以便讓學(xué)生區(qū)分出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性. 例如，在講垂直概念時(shí)，學(xué)生習(xí)慣思維是與水平放置物體垂直理解，對(duì)斜放的物體呈垂直不認(rèn)可，這說明學(xué)生受到了無關(guān)材料的影響. 因此改變垂直的呈現(xiàn)方法有助于概念的學(xué)習(xí)，有助于形成正確的概念表征，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

4. 重視元認(rèn)知對(duì)概念表征的影響

簡(jiǎn)單地說元認(rèn)知就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)識(shí). 它包括元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)、元認(rèn)知監(jiān)控三個(gè)方面. 良好的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)有助于概念表征的形成. 在概念表征中監(jiān)控自己的表征有多少真度、深度、廣度、速度. 監(jiān)控自己的概念域和概念系有沒有形成；監(jiān)控自己對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解程度. 從而形成概念表征與理解學(xué)習(xí)的良性循環(huán).

【參考文獻(xiàn)】

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