高萍

摘 要：數學建模不僅僅在大學中應用廣泛，在中學數學中運用也有其必要性和重要性，闡述了中學生學習建模的步驟，并用實際例子來說明。

關鍵詞：實際問題；數學建模；建模教學

一、數學建模

應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題，這就需要深厚扎實的數學基礎、敏銳的洞察力和想象力，及對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發(fā)展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作者必備的重要能力之

一。數學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性、結論的明確性和體系的完整性，而且在于它應用的廣泛性。培養(yǎng)學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面。特別是現在，各種實際應用的題目越來越多，這就需要學生學會數學建模。

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。諸如方程，不等式，函數等加以解決。當然數學建模活動是一個系列活動，這些活動應該包括：

（1）分析問題。了解問題的實際背景知識，掌握第一手資料。

（2）假設化簡。根據問題的特征和目的，對問題進行化簡，并用精確的數學語言來描述。

（3）建模。在假設的基礎上，利用適當的數學工具、數學知識來刻畫變量之間的數量關系，建立相應的數學結構。

（4）求解并檢驗模型。對模型進行求解，并將模型結果與實際情形相比較，以此來驗證模型的準確性，如果模型與實際吻合較差，則應修改假設再次重復建模的過程。

（5）分析。如果模型與實際比較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。

數學建模的教育就是要培養(yǎng)學生運用知識解決問題的能力，目前的中學生將來大多要在各行各業(yè)工作，因此數學教育要教給他們最有用的知識，提高他們靈活運用數學知識去處理實際問題的能力。數學建模是數學的應用過程，它是生動的創(chuàng)造性活動的過程，在這個過程中，學生不僅能獲得理解，并且能擴大知識面和視野，還可以培養(yǎng)自己的觀察力和想象力，同時使自己的素質得到提高，從而真正地實現數學教育的目的。

如在歷史上有名的七橋問題，Euler就巧妙利用了數學建模解決了這個難題。這道題的內容是：在哥尼斯堡的一個公園里，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來，問是否可能從這四塊陸地中任一地點出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點？Euler在1746年訪問哥尼斯堡時了解了這個有趣的問題，他把每個陸地考慮成一個點，連接兩個陸地的橋以線來表示，他認為除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地（或點）時，他同時也由另一座橋離開此點，所以每行經一點時，計算兩座橋（或線），陸地與其他陸地連接的橋數必為偶數，而七座橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數條數，因此上述問題無法完成。還有灌溉問題、沙漠行車問題、自選商場服務問題等等，無不體現數學建模在解決實際問題上的重要性。

二、數學建模與中學數學教育

學生一進入中學的學習，用數學建模來解決實際問題就始終伴隨著他們的數學學習，而教師就是要在各個章節(jié)中研究哪些內容可以引入數學模型教學，哪些內容讓學生自主地建立模型來解決實際問題，教師可以通過教材中一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數學化的過程，給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗。

三、中學建模的實例教育

例如在學習了正數、負數的意義及有理數的運算后，通過下面的這道題來初步了解用建立數學模型的方法來解決實際問題，并使之問題簡單化。如，初一（2）班選出了10名同學進行數學競賽，他們的成績如下：97，86，90，88，89，95，92，84，86，94，求他們的總分及平均分。在這道題中大多數學生利用了以前的方法把所有的數據加起來的和得到總分，再除以10得到平均分，這時老師就引導學生觀察這些數據都是在90分左右，假設以90分為標準，計作0，高于90分為正，低于90分為負，那么就把這些數據建立模型為+7，-4，0，-2，-1，+5，+2，-6，-4，+4，把它們加起來的和若為負，那么就低于標準，若為正，那么就高于標準。接下來就要解決這個模型，求得和為1，即所有的學生的總分高于標準1分，所以總成績?yōu)?0×10+1=901，平均分為90+1÷10=90.1，在這過程中學生明顯感受到了建立數學模型后來解決問題的簡單及明確，誘導學生建模的興趣。那么像此類要求平均分的題目就可以按這個模型來解決。

1.分析問題，提出假設

眾所周知，該運動員的高度是時間的連續(xù)函數，即運動員的高度變化是連續(xù)的，不出現間斷式的增長或減少。在短時間內阻力可以忽略不計，聯系投擲物體所形成的路線的一般形態(tài)就給出了合理的假設。

2.建模與求解

那么在運動員進行跳水時，如果把身體看成一點的時候，他的運動路線可以近似地看成一條拋物線，這樣中學生就能利用二次函數中的知識來解決這道實際問題。

接下來進行建模，首先要根據問題建立直角坐標系，以跳臺的邊緣作為坐標原點，跳臺所在的直線為x軸建立坐標系，附上其他，數據如圖所示：

3.模型分析

在建立的這個模型當中，首先分析實際問題與拋物線有著密切的聯系，接下來就要確立如何建立合適的直角坐標系，把問題轉化為在拋物線上的計算問題。

四、增強學生數學建模意識

在中學階段有很多知識與實際生活有密切的關系，如求在銷售中如何追求利潤的最大值就要用到二次方程中的配方法，分配運輸方式就要用到不等式或不等式組的方法來解決，彈簧掛的重物與伸長的長度之間的關系時就要用到一次函數來解決，等等，都要引導學生不斷地用數學思維來觀察。

學生的建模能力不是一朝一夕就能獲得的，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷地引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣，通過教師的潛移默化，經常滲透數學建模意識，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發(fā)學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力。

總之，加強中學數學建模的教育既是必要的，也是可行的，這是當前這個時代賦予數學教育的重要使命。

參考文獻：

李仁夫.系統(tǒng)科學在數學教育中的參透.數學通報，1992（3）.

（作者單位 江蘇省常熟市莫城中學）