溫建蘭

摘要：縱觀近幾年的數(shù)學(xué)高考，我們不難發(fā)現(xiàn)：一些試題呈現(xiàn)基礎(chǔ)化的趨勢(shì)，源于課本又高于課本。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要注重課本例習(xí)題的作用，深入研究課本、挖掘隱含在課本中的數(shù)學(xué)思想和潛在價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；課本例習(xí)題；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0155

在近幾年的高考中，數(shù)學(xué)試題呈現(xiàn)基礎(chǔ)化趨勢(shì)，一些試題源于課本又高于課本。這無(wú)疑是對(duì)教師教學(xué)導(dǎo)向的一種暗示，即狠抓課本、深入研究課本、挖掘隱含在課本中的數(shù)學(xué)思想和潛在價(jià)值，通過(guò)對(duì)課本的研究而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。但在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，依然存在著很多問(wèn)題。例如，對(duì)課本例題的教學(xué)，許多教師有時(shí)會(huì)照本宣科，或認(rèn)為課本例題過(guò)于簡(jiǎn)單，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維沒(méi)有太大的幫助，不值得花費(fèi)時(shí)間講解，一帶而過(guò)，而改用自己在其他參考書(shū)找來(lái)的例題。這無(wú)疑是一種低效的教學(xué)與學(xué)習(xí)方法。高中數(shù)學(xué)新教材上的例題、習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專家精心構(gòu)思、反復(fù)斟酌的。如何恰當(dāng)運(yùn)用、不斷挖掘教材中例習(xí)題的多種功能，深化例習(xí)題教學(xué)，發(fā)揮其內(nèi)在潛能，以培養(yǎng)高素質(zhì)的學(xué)生是擺在教師面前的新課題。從教學(xué)實(shí)踐中，筆者深刻地感受到運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)分析、觀察、探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生尋找課本習(xí)題的內(nèi)在變化規(guī)律及習(xí)題之間的聯(lián)系，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和解題能力的一種有效途徑。

一、重視課本例題的示范作用

教科書(shū)中的例題一般都是在講述了某個(gè)概念和命題后給出的，其目的是利用例題來(lái)示范、引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的新知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題，任何學(xué)習(xí)都有一個(gè)模仿的過(guò)程，而對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更是如此。因?yàn)椋瑢W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)先要學(xué)習(xí)審題，而審題是一種本領(lǐng)，只能依靠模仿和實(shí)踐才能學(xué)到。這就需要有范例予以示范，這時(shí)的例題就起到了這樣的作用。教材中的例題是教科書(shū)核心內(nèi)容程序化的展現(xiàn)，既是教師教學(xué)的范例，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的范例，是這部分知識(shí)內(nèi)容的“最佳原型”。因此，教師要充分利用教科書(shū)例題的示范引領(lǐng)功能，最大限度地發(fā)揮其潛在的價(jià)值，力爭(zhēng)做到以例啟思、以例促思、以例帶類、舉一反三、觸類旁通，以達(dá)到對(duì)知識(shí)深化理解的效果。

一般來(lái)說(shuō)，教科書(shū)例題的示范引領(lǐng)作用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是新知識(shí)應(yīng)用的示范引領(lǐng)。教師借助例題，展示如何利用新知識(shí)解決問(wèn)題，并通過(guò)例題的示范，使學(xué)生學(xué)會(huì)如何利用新知識(shí)分析、解決相關(guān)的教學(xué)問(wèn)題。二是審題程序與表述規(guī)范的示范引領(lǐng)。教師通過(guò)例題展示解題過(guò)程和規(guī)范的表述，使學(xué)生明確解題表述的基本過(guò)程和規(guī)范要求，掌握解題的基本流程，從而形成良好的解題習(xí)慣和規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)能力。語(yǔ)言敘述是數(shù)學(xué)解題的重要環(huán)節(jié)，因此，語(yǔ)言敘述必須條理清楚、步驟完整、詳略得當(dāng)、言必有據(jù)。數(shù)學(xué)本身有一套規(guī)范的語(yǔ)言系統(tǒng)，教師切不可隨意杜撰數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，課本例題為學(xué)生的解題規(guī)范作了最好的示范，而重視解題的規(guī)范化將為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)積極的影響。

二、重視例題素材的加工，使教學(xué)內(nèi)容更精彩

對(duì)于高中數(shù)學(xué)必修三24頁(yè)的例1題，部分學(xué)生表示不理解，主要原因是不理解程序中的“=”，常把A=A+15看成方程。在解題時(shí)，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)這個(gè)“=”不是等號(hào)而是賦值號(hào)（學(xué)生對(duì)“=”不熟悉，教師要打破學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)）。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行賦值語(yǔ)句時(shí)，先計(jì)算“=”右邊的值，然后將這個(gè)值賦給“=”左邊的變量。比如，計(jì)算機(jī)在執(zhí)行第二句時(shí)，A+15的值25會(huì)賦給A，原來(lái)的10已不存在，稱之為計(jì)算機(jī)的覆蓋原理，這樣做形象生動(dòng)、通俗易懂，學(xué)生都能理解并輕輕松松突圍。

三、重視教材習(xí)題的拓展功能

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)的實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)貙?duì)課本例題的設(shè)問(wèn)進(jìn)行引申拓展。“引申”主要是指對(duì)例、習(xí)題進(jìn)行變通推廣，重新認(rèn)識(shí)。恰當(dāng)合理地引申能營(yíng)造一種生動(dòng)活潑、寬松自由的氛圍，能開(kāi)闊學(xué)生的視野、激發(fā)學(xué)生的情趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，并能使學(xué)生舉一反三、事半功倍。

高中數(shù)學(xué)教材的習(xí)題大部分都較為基礎(chǔ)，與高考有一定的距離，頗有拓展、開(kāi)發(fā)與挖掘的余地和空間。例如，例題“已知a，b，m是正數(shù)并且aa/b”介紹了比較法的證明方法。但事實(shí)上教師也可以強(qiáng)調(diào)綜合法和分析法；另外，還可以將不等式問(wèn)題置于函數(shù)問(wèn)題中，將a，b視為常數(shù)，把m當(dāng)做變量構(gòu)造函數(shù)f（m）=（a+m）/（b+m），通過(guò)判斷它在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)而得到，這樣將不等式拓展上升到函數(shù)的思想高度，強(qiáng)化了不等式的結(jié)論。因此，在教學(xué)中，教師要注意對(duì)習(xí)題的總結(jié)提煉和靈活應(yīng)用，從而大大拓寬數(shù)學(xué)例題的教學(xué)功能，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。

四、注意對(duì)課本習(xí)題開(kāi)展變式研究

課本習(xí)題由于受篇幅與精華性的影響，不可能出現(xiàn)足夠多的數(shù)量，但我們可以通過(guò)研究課本習(xí)題的變式來(lái)彌補(bǔ)。課本習(xí)題多數(shù)具有可變性和可研究性，而且如果僅就題論題，無(wú)疑會(huì)浪費(fèi)寶貴的課程資源。高考命題的原則之一是源于課本而高于課本，這也要求我們能對(duì)課本習(xí)題開(kāi)展變式研究。

近年來(lái)，幾乎每年的高考數(shù)學(xué)試題中都有一些來(lái)源于教材的“變題”。這就要求教師在理解課本內(nèi)容的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)載體——例題、習(xí)題進(jìn)行多層次、多方位的變式，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生形成完整的知識(shí)系統(tǒng)，以“一斑”窺“全豹”。例如在選修一“導(dǎo)數(shù)的計(jì)算”中，已知曲線的方程為y=x3-4，求過(guò)點(diǎn)（2，4）且與曲線相切的直線的方程。這是一道考查曲線、切線、切點(diǎn)之間關(guān)系的問(wèn)題，通過(guò)這幾個(gè)條件的內(nèi)在聯(lián)系即可解決問(wèn)題。但為了使學(xué)生得心應(yīng)手，教師可給出以下的變式訓(xùn)練：

變式一：已知曲線方程為y=x2， 其中一條切線的方程為4x-y-4=0，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。

變式二：已知過(guò)拋物線y=ax2+bx+c（a ≠ 0） 上一點(diǎn)（2，4）的切線方程為4x-y-4=0，求拋物線的方程。

變式三：過(guò)點(diǎn)（-1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，求切線的方程。顯然，例題和前兩個(gè)變式中的點(diǎn)均在曲線上，即為切點(diǎn)。通過(guò)訓(xùn)練，教師可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)y=f（x） 在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線的斜率f ′（x0），切線方程為y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），即引出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，形成一定的思維模式，在以后遇到此類型題時(shí)，學(xué)生便能夠快速解決。但變式三（下轉(zhuǎn)第159頁(yè)）（上接第155頁(yè)）中的點(diǎn)是在曲線外的而非切點(diǎn)，如此峰回路轉(zhuǎn)提醒學(xué)生解有關(guān)切線的題目前應(yīng)先判斷點(diǎn)是否在曲線上，不能莽下定論，造成錯(cuò)解。此變式訓(xùn)練既總結(jié)了知識(shí)點(diǎn)，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的慎密性，還避免了思維定勢(shì)。

對(duì)課本習(xí)題作相應(yīng)的變式引申，在比較中進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生容易搞清相似的概念、方法，或者對(duì)原方法有更透徹的認(rèn)識(shí)。變式可以比較有效地解決慣性思維的負(fù)遷移，起到事半功倍的效果，體現(xiàn)“源于課本而高于課本”的思想，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

五、重視一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

有的教師不注重一題多解的訓(xùn)練，認(rèn)為“通法”才是最重要的，不必過(guò)多地探索其他解法，這是十分片面的。事實(shí)上，一題多解，不僅可以通過(guò)少量的問(wèn)題溝通各部分知識(shí)間的聯(lián)系、拓寬解題的思路，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。如必修四第101頁(yè)的第3題：已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（1，2），B（3，1），C（5，6），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。很多學(xué)生都是機(jī)械地模仿前面例5中的兩種方法，即使有其他解法，大部分學(xué)生還是擺脫不了用向量的方法去思考的定勢(shì)思維，這時(shí)，教師應(yīng)正確地引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生在稿紙上畫(huà)圖，觀察平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線交點(diǎn)既是線段AC的中點(diǎn)又是線段BD的中點(diǎn)，只要由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。這種方法從幾何的特征出發(fā)，解題的切入點(diǎn)與用向量的方法就有區(qū)別。通過(guò)啟發(fā)，另一位學(xué)生想出用直線斜率相等與兩點(diǎn)間的距離公式聯(lián)立方程來(lái)解決問(wèn)題，學(xué)生可以通過(guò)比較幾種方法選擇最優(yōu)解法，在發(fā)現(xiàn)新解法時(shí)，也是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)的鞏固。

六、通過(guò)例題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一是表層知識(shí)，包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能；二是深層知識(shí)，主要是指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容貫穿兩條主線，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是明線，直接用文字形式寫(xiě)在教材里，反映著知識(shí)間的縱向聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想方法則是暗線，反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識(shí)的背后，需要數(shù)學(xué)教師加以分析、提煉才能使之顯露出來(lái)。數(shù)學(xué)教材的每一章節(jié)乃至每一道例題，都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合?！皵?shù)學(xué)思想是靈魂”，在新教材中數(shù)學(xué)思想大多以隱蔽的形式存在于字里行間。因此，需要教師的有效發(fā)掘指點(diǎn)、化隱為顯，學(xué)生才能領(lǐng)悟、掌握。除此之外，面對(duì)一道道數(shù)學(xué)題，我們可以對(duì)它進(jìn)行簡(jiǎn)單化、特殊化、一般化變形，以尋找解題思路，進(jìn)行知識(shí)和技能的遷移與拓展。在例題教學(xué)后，教師總結(jié)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，可起到以一代十的效果，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和高度有重要意義。

在日常教學(xué)中，教師可將課本例習(xí)題充分挖掘，巧妙加工、變換、伸延，學(xué)生利用這些習(xí)題進(jìn)行自主或合作探究。這樣，學(xué)生才會(huì)真正從題海戰(zhàn)術(shù)中脫出身來(lái)，感受到學(xué)習(xí)的輕松愉快，同時(shí)，也培養(yǎng)了他們的思維能力。

（作者單位：山西省晉中市祁縣第二中學(xué)校 030900）