盧鳳萍

【摘要】極限是微積分中的一條主線，是學(xué)好微積分的重要前提條件。而此問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)比較困難，要根據(jù)具體情況進(jìn)行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。故本文總結(jié)了《高等數(shù)學(xué)》中求極限的方法，主要列舉了幾種常用的求極限方法：1.由定義求極限；2.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；3.利用兩邊夾定理求極限；4.利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限；5.利用兩個(gè)重要極限求極限；6.利用單調(diào)有界原理求極限；7.利用洛必達(dá)法則求極限；8.利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限；9.利用泰勒展式求極限；10.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限。并通過(guò)例題解析了這些方法的使用技巧。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 求法

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）09-0146-02

極限是微積分的一個(gè)重要概念，是貫穿微積分的一條主線，極限的計(jì)算又是學(xué)好微積分的重要前提條件。正因?yàn)閿?shù)學(xué)之美妙不可言，數(shù)學(xué)中解題方法的多樣性更是引人入勝，許多人都在探索著高等代數(shù)中求極限的方法并有所成效。在前人的基礎(chǔ)之上我對(duì)求極限的方法作了進(jìn)一步的歸納總結(jié)，希望能讓讀者從中受益，能讓初學(xué)者懂得將靜態(tài)的、內(nèi)隱的教學(xué)規(guī)律轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的、外顯的探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)生一個(gè)“質(zhì)”的飛躍。

一、由定義求極限

極限的本質(zhì)——既是無(wú)限的過(guò)程，又有確定的結(jié)果。一方面可從函數(shù)的變化過(guò)程的趨勢(shì)抽象得出結(jié)論，另一方面又可從數(shù)學(xué)本身的邏輯體系下驗(yàn)證其結(jié)果。

然而并不是每一道求極限的題我們都能通過(guò)直觀觀察總結(jié)出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復(fù)雜的題。

二、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

此方法簡(jiǎn)單易行但不適合于f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，及f（x）在x0處無(wú)定義的情況。

三、利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限

極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，并非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使其符合條件后，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧如拆項(xiàng)，分子分母同乘某一因子，變量替換，分子分母有理化等等。

四、利用兩邊夾定理求極限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A

兩邊夾定理應(yīng)用的關(guān)鍵：適當(dāng)選取兩邊的函數(shù)（或數(shù)列），并且使其極限為同一值。

注意：在運(yùn)用兩邊夾定理求極限時(shí)要保證所求函數(shù)（或數(shù)列）通過(guò)放縮后所得的兩邊的函數(shù)（或數(shù)列）的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。

五、利用兩個(gè)重要極限求極限

六、利用單調(diào)有界原理求極限

單調(diào)有界準(zhǔn)則即單調(diào)有界數(shù)列必定存在極限。使用單調(diào)有界準(zhǔn)則時(shí)需證明兩個(gè)問(wèn)題：一是數(shù)列的單調(diào)性，二是數(shù)列的有界性；求極限時(shí)，在等式的兩邊同時(shí)取極限，通過(guò)解方程求出合理的極限值。

利用單調(diào)有界原理求極限有兩個(gè)難點(diǎn)：一是證明數(shù)列的單調(diào)性，二是證明數(shù)列的有界性，在證明數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的有界性時(shí)，我們通常都采用數(shù)學(xué)歸納法。

七、利用洛必達(dá)法則求極限

八、利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中利用等價(jià)無(wú)窮小代換法或與其它方法相結(jié)合，不失為一種行之有效的方法，但并非計(jì)算過(guò)程中所有的無(wú)窮小量都能用其等價(jià)的無(wú)窮小量來(lái)進(jìn)行計(jì)算。用等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。于是用等價(jià)無(wú)窮小代換的問(wèn)題便集中到對(duì)于分子、分母中的加減法因子如何進(jìn)行x的等價(jià)無(wú)窮小代換這一點(diǎn)上，在利用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法求極限時(shí)必須把分子（或分母）看作一個(gè)整體，用整個(gè)分子（或分母）的等價(jià)無(wú)窮小去代換。

九、利用泰勒展式求極限

運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計(jì)算量，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。但一般說(shuō)來(lái)，這種方法僅限于求兩個(gè)無(wú)窮小量是乘或除的極限，而對(duì)兩個(gè)無(wú)窮小量非乘或非除的極限，對(duì)于一些未能確定函數(shù)極限形態(tài)的關(guān)系式，不能用洛必達(dá)法則及等價(jià)無(wú)窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。

十、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

求極限的方法有很多種，在解題時(shí)，這些方法并不是孤立的，常常一個(gè)問(wèn)題需要用到幾種方法。根據(jù)題目給出的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ńY(jié)合使用，能使運(yùn)算更簡(jiǎn)捷，起到事半功倍的效果。同時(shí)又能加強(qiáng)對(duì)微積分知識(shí)整體上的深層次認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)好微積分是大有裨益的。

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