曲面上曲率線與測地線的積分算法

霍云娟

摘 要 本文首先給出了曲率線和測地線的基本概念和幾何性質(zhì)，揭示了曲率線和測地線之間的關(guān)系，以計(jì)算不同曲面的曲率線和測地線來分析其積分算法，為深入研究NURBS曲面上曲率線和測地線的積分算法奠定了一定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 曲率線 測地線 曲率 積分 NURBS曲面

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1 曲率線和測地線的基本概念

1.1 曲率線

曲面上一點(diǎn)的兩個方向，如果它們既正交又共軛，則稱為曲面在點(diǎn)的主方向。

設(shè)這兩個方向是（） = ：，（） = ：，由于正交性，，即 + （ + ） + = 0。

曲率線：曲面上的一條曲線，如果其上每一點(diǎn)的切向正好時曲面在該點(diǎn)的主方向，這條曲線就是曲率線。

由定義可知，對于已給曲面 = （）上的曲率線由

或者微分方程

（） + （） + （） = 0

（1.1）

決定，這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。

其中 （1.2）

是曲面 = （）的第一基本量，

是曲面 = （）的第二基本量。

1.2 測地線

給出一個曲面：，（）是曲面上的一條曲線：

其中是（）的自然參數(shù)。設(shè)是（）上一點(diǎn)，是（）在點(diǎn)的單位切向量，是主法向量，是副法向量。再設(shè)是曲面在點(diǎn)的單位法向量，%z是與的夾角，則曲面在點(diǎn)的切方向上的法曲率是。

命，則是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成右手系。

曲線（）在點(diǎn)的曲率向量在上的投影，

，稱為曲線在點(diǎn)的測地曲率。

曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測地曲率為零，則稱該曲線為測地線。測地線的微分方程是

2 曲率線與測地線的幾何性質(zhì)

2.1 曲率線的幾何性質(zhì)

定理1 曲面上一曲率線為平面曲線的充要條件是沿%<的法線曲面為柱面。

證明：設(shè)，%< ： = （）， = （）（為的弧長），

則沿%<的法線曲面方程為：。

因?yàn)橹娴某湟獥l件是，即常矢，有，所以。即%<為平面曲線。

定理2 若沿曲率線%<的發(fā)現(xiàn)曲面1是一條曲線%<1的切線曲面，則%<1的方程為：，其中（）為在點(diǎn)處的主曲率。

證明：因?yàn)?是%<1的切線曲面，所以

%<11，又1是沿%<的法線曲面，所以%<1，且于是存在一數(shù)量函數(shù)（）使。

對求導(dǎo)，

而，所以

由于，所以 = 0，即= 1 /

故。

2.2 測地線的幾何性質(zhì)

曲面上的一條曲線，如果它的每一點(diǎn)處的測地曲率為零，則稱該曲線為測地線。測地線的微分方程是：

曲面上上的坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)時，曲面上測地線方程為：

由于曲面上的法曲率和側(cè)地?fù)下实扔嘘P(guān)概念都是由曲面在中的形狀決定的，所以漸近線和曲率線等有關(guān)概念都不是曲面上內(nèi)蘊(yùn)幾何的概念，但是測地曲率是曲面在保長變換下的不變的量，所以測地曲率 = 0的曲線是內(nèi)蘊(yùn)幾何的概念。

2.3 測地線的存在性

由測地線的定義，我們可以知道，平面曲線的測地曲率就是它的相對曲率，所以平面上的測地線就是直線。測地線的概念是平面上的直線的概念在曲面上的推廣，下面我們就來說明這種推廣的含義。

曲面上一條去現(xiàn)實(shí)測地線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線，或者它的主法向量處處是曲面的法向量。

證明：我們知道其中是曲線的次法向量和曲面的法向量的夾角由此可見 = 0的條件是 = 0或者。若 ≡ 0，則該曲線是直線，若≠0則，于是即曲線的主法向量是曲面的法向量?，F(xiàn)在我們考慮測地線的微分方程。由學(xué)過的知識我們可知。

因此≡0的充要條件是

（1）

這就是測地線所滿足的微分方程。

若引進(jìn)新的未知函數(shù)，則方程組（1）便降價成為一階常微分方程組：

這是擬線性常微分方程組，根據(jù)常微分方程組的理論，對于任意給定的初值，必有>0，使得方程組上述方程組有定義在區(qū)間（-，）上的唯一解 = ，滿足初條件

如果初值（，）滿足條件 （，） = 1

則上面給出的解 = 是曲面上以為弧長參數(shù)的一條曲線。實(shí)際上，如果命= （，）

則

并且 （0）≡0，所以 ≡0

即是曲線 = 的弧長參數(shù)。

3 曲面上曲率線與測地線的積分算法

3.1 曲面上的曲率線求法

3.1.1 雙曲面的曲率線

我們對雙曲面 = 進(jìn)行積分算法求出曲率線

= ， = ， = ， = 0， = ， = 0， = 1 + = 1 + ， = = ， = 1 + ， = 0， = 0。

曲率線的微分方程為

化簡得 = 積分得

即

故所求曲率線為

3.1.2 螺旋面的曲率線

螺旋面上的曲率線

由題可知 = 1， = 0， = + ， = 0，， = 0，

曲率線的微分方程為，

即 + （ + ） = 0，化簡得，積分得即

故所求曲率線為

3.2 曲面上的測地線求法

3.2.1 NURBS曲面上測地線算法

曲面上的曲線C可以用參數(shù)方程

來表示，這里的是曲線參數(shù)?；￠L的微分形式如下：

= + 2 +

于是曲面上一條曲線的長度可知，為

（1.4）

這里、是參數(shù)、分別對的偏導(dǎo)。，，是曲面的第一基本量

，是曲面對參數(shù)、的偏導(dǎo)數(shù)。

在局部范圍內(nèi)，測地線是連接兩點(diǎn)曲線中弧長最短的曲線。尋找一條曲線，構(gòu)造，，使得（1.4）式中的L最小。這樣我們就得到了一條測地線。函數(shù)，應(yīng)該滿足

（1.5）

這里

上式中我們選擇弧長s作為參數(shù)，（1.5）式可由以下一對非線性微分方程的形式表達(dá)

其中

式中是曲面在點(diǎn)（u，v）的單位法向量

是曲面方程對，的二次混合偏導(dǎo)，測地線軌跡可用以下四個一次微分方程

在過點(diǎn)（，）以及有初切向的初始條件下，通過Rung-Kutta法迭代求出唯一解，給定曲面上一點(diǎn)和方向，通過自適應(yīng)迭代步長的選擇，可自動求解出一條測地線。

3.2.2 求圓柱面的測地線

解：在圓柱面

= + ，測地線的方程量： = 0， = ， =

故 = + ，為常數(shù)，為積分常數(shù)，對應(yīng)的向量式參數(shù)方程量。

3.2.3 求球面上的測地線

解：對于半徑為的球面上的大圓弧，熟知： = ，法曲率 = ？，于是測地曲率 = ？= 0，從而球面上的大圓弧是測地線。

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