侯永康

【摘 要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)中最為重要的內(nèi)容之一，化歸思想是初中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想的基石。本文結(jié)合實(shí)例研究了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何把化歸思想落到實(shí)處，使學(xué)生真正理解并靈活運(yùn)用化歸思想。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；化歸思想；應(yīng)用分析

一、化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

1.化歸思想方法體現(xiàn)的結(jié)構(gòu)性

初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)和幾何，我們將這兩部分內(nèi)容教材知識(shí)進(jìn)行整理歸納，可以將蘊(yùn)含在其中的較為零散的化歸思想提煉，得到有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

代數(shù)部分分為數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算和方程三部分，數(shù)的運(yùn)算部分，利用化歸思想在小學(xué)加法基礎(chǔ)上使加、減法統(tǒng)一得到代數(shù)和的概念；利用化歸思想在乘法的基礎(chǔ)上使乘法、除法得到統(tǒng)一；利用化歸思想引入絕對(duì)值將有理數(shù)化為算術(shù)數(shù)的運(yùn)算。式的運(yùn)算部分，利用化歸思想用字母代替數(shù)，根號(hào)中含字母的無(wú)理式、根號(hào)中不含字母的有理式和分母中不含字母的整式均可通過(guò)已學(xué)知識(shí)掌握。而方程的運(yùn)算部分，等號(hào)連結(jié)代數(shù)式得到方程，不等號(hào)連結(jié)代數(shù)式得到不等式，利用化歸思想方法將其化為式的運(yùn)算，從而得到整式方程、分式方程和無(wú)理方程。利用化歸思想可對(duì)整個(gè)初中代數(shù)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的了解，有利于學(xué)生把握知識(shí)間的關(guān)系，更好地掌握代數(shù)知識(shí)。

2.化歸思想方法體現(xiàn)的條理性

初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中充分體現(xiàn)了化歸思想的條理性。例如，新人教版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)第一章中在小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上引入了負(fù)數(shù)，開(kāi)始進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算。第二章在第一章的基礎(chǔ)上利用字母表示數(shù)引入了代數(shù)式。此后，學(xué)習(xí)5x、-3a2b等數(shù)與字母的乘積的單項(xiàng)式，ab+3mn等單項(xiàng)式的和——多項(xiàng)式。只有學(xué)生明白字母代表數(shù)及代數(shù)式的意義后才能進(jìn)行整式的學(xué)習(xí)。隨后學(xué)習(xí)分式，而分式的運(yùn)算思路正是通過(guò)化歸思想把分式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為整式運(yùn)算。這樣一環(huán)接一環(huán)的條理性在教材中還有很多，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)充分整理幫助學(xué)生更好地理解化歸思想。

3.化歸思想方法體現(xiàn)的層次性

初中數(shù)學(xué)教材的安排體現(xiàn)了化歸思想方法的層次性。教材的最基礎(chǔ)內(nèi)容包括有理數(shù)、代數(shù)式、平面圖形及其位置關(guān)系和一元一次方程。平面圖形首先是三角形的學(xué)習(xí)，隨后學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)、平行四邊形，平行四邊形正是對(duì)三角形的進(jìn)一步拓展。式的運(yùn)算中，先是學(xué)習(xí)了整式，后又學(xué)習(xí)了分式，分式正是對(duì)整式的進(jìn)一步深化。隨后又學(xué)習(xí)了代數(shù)和幾何的結(jié)合——函數(shù)，學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這正是對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步延伸?？梢?jiàn)，化歸思想方法蘊(yùn)藏在教材中，我們應(yīng)該充分領(lǐng)會(huì)教材中的化歸思想，做到深入淺出，引領(lǐng)學(xué)生由簡(jiǎn)到繁領(lǐng)悟、掌握化歸思想。

二、化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)設(shè)計(jì)化歸思想方法的教學(xué)

我們?cè)S多教師認(rèn)為學(xué)生會(huì)做題就可以了，沒(méi)有特別注重?cái)?shù)學(xué)思想的教授和講解，只是教授學(xué)生具體的做題方法和步驟，這種做法影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知和理解，不利于學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維是一種不同于其他思維的抽象性思維，教師無(wú)法用直觀的圖形將其表示出來(lái)，因此，造成了教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想的忽視，也造成了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的困難。小學(xué)數(shù)學(xué)由于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，因而教材的安排和其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想停留在較為低級(jí)的階段，而初中數(shù)學(xué)由于學(xué)生具備一定的抽象思維能力，因而教材中初步安排了一些數(shù)學(xué)思想的教授，特別是此階段化歸思想具有一定的基礎(chǔ)性，需要教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和教材特點(diǎn)設(shè)計(jì)好課程，把原有知識(shí)和現(xiàn)有新知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，這是一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)、連續(xù)的規(guī)劃，要求教師從整體把握教材。

2.精心設(shè)計(jì)訓(xùn)練，提高化歸能力

教師不但要從思想上重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，更要從行動(dòng)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)思想的理解和掌握離不開(kāi)習(xí)題的練習(xí)。這就要求教師精心設(shè)計(jì)習(xí)題，使學(xué)生在練習(xí)題的訓(xùn)練過(guò)程中，培育、掌握化歸思想方法。例如，我們可以設(shè)計(jì)一些典型例題，讓學(xué)生運(yùn)用化歸思想解題，這對(duì)提升學(xué)生的化歸能力和創(chuàng)新思維起著十分重要的作用。

3.利用動(dòng)態(tài)思維，深化對(duì)化歸思想的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法是多元的，作為教師我們必須指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題本身，利用動(dòng)態(tài)思維，思考問(wèn)題的本質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生整理化歸過(guò)程，深化對(duì)化歸思想的認(rèn)識(shí)。

比如，圓周角定理的證明，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對(duì)于圓心在圓周角內(nèi)部和外部的一般情況都是轉(zhuǎn)化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來(lái)證明。

已知：在圓O中，弧BC所對(duì)的圓周角是∠BAC，圓心角是∠B0C，求證：∠BAC= 1-2∠B0C.

分析圓周角∠BAC與圓心0的位置關(guān)系有三種：

（1）圓心0在∠BAC的一條邊AB（或AC）上，

（2）圓心O在∠BAC的內(nèi)部，

（3）圓心0在∠BAC 的外部，

在第一種位置關(guān)系中，圓心角∠BOC恰為∠AOC的外角， ∠BOC =∠CAO +∠ACO （三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），而∠OAC是等腰三角形（OA=OC=半徑），即∠CAO =∠ACO，推出∠BOC =2∠CAO，也即∠BAC= 1-2∠B0C.這種情況很容易得到結(jié)論；在第二、三兩種位置關(guān)系中，我們均可作出過(guò)點(diǎn)A的直徑AD，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一種情況，證得結(jié)論。

以上的例題我們可以看出利用化歸思想解題時(shí)，具體方法不一定相同，但可以在待解決的問(wèn)題和已解問(wèn)題之間架起一個(gè)聯(lián)系的橋梁，這就是我們反思的關(guān)鍵。因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要不斷地構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

4.注重化歸思想與其它數(shù)學(xué)思想的結(jié)合

數(shù)學(xué)思想方法是相互依存的，化歸思想作為眾多數(shù)學(xué)思想中的一種需要其他數(shù)學(xué)思想方法的配合。例如化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，平面直角坐標(biāo)系充分體現(xiàn)了化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想。我們以下題為例，說(shuō)明化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)合。

例：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0）、B（0，6）、C（0，-2），連結(jié)AB，過(guò)C作直線l與AB交于P，與OA交于E，且OE∶OC=4∶5，求△PAC的面積。

解：由C（0，-2）得OC=2

OE∶OC=4∶5

OC= 8-5 ，E（8-5，0）

設(shè)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線AB的解析式為y=kx+b，則可得知

y=- 3-4 x+6

同理可求直線l的解析式為 y= 5-4 x-2

由AB直線和l直線可得P（4，3）

由此可求得AE= 32-5

S△PAC= S △PEA + S△ECA =1-2×32-5×3 +1-2× 32-5×2=16

學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)思想越多，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)越深刻，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的速度越快，為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們要運(yùn)用新課標(biāo)理念，認(rèn)識(shí)化歸思想在教學(xué)中的體現(xiàn)，通過(guò)對(duì)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和教材的分析，系統(tǒng)巧妙地探究化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張玉梅. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用探究[J].基礎(chǔ)教育，2012（4），163.

[2]袁健.化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].新課標(biāo)，2010（10），55-56.