丁杰,戚建明,朱泰英

(1.太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西太原030024;2.上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部上海201306)

關(guān)于整函數(shù)超級的進(jìn)一步結(jié)果

丁杰1,戚建明2,朱泰英2

(1.太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西太原030024;2.上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部上海201306)

運(yùn)用正規(guī)族理論研究了整函數(shù)與其高階導(dǎo)數(shù)分擔(dān)無窮級函數(shù)增長級與超級的相關(guān)結(jié)果.從亞純函數(shù)超級大于零而使球面導(dǎo)數(shù)無界的角度出發(fā),然后綜合運(yùn)用Pang-Zaclman引理,數(shù)學(xué)歸納法和Nevanlinna理論等方法證明了該結(jié)果,推廣和改進(jìn)了已有的結(jié)果.

亞純函數(shù);正規(guī)族;增長級;超級

1 引言與主要結(jié)果

設(shè)C為整個(gè)復(fù)平面.設(shè)D為C上的一區(qū)域并且F為D上的一族亞純函數(shù).如果F在D上正規(guī),以Montel的定義,當(dāng)且僅當(dāng)任給{fn}?F,有一子序列{fnj}在D上按球面距離局部一致收斂于一亞純函數(shù)或者∞(見文獻(xiàn)[1-2]).

設(shè)f(z)和g(z)為復(fù)平面C上的兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)并且設(shè)P(z)為一函數(shù)或者一有窮復(fù)數(shù).如果f(z)?P(z)=0能推出g(z)?P(z)=0,記f(z)=P(z)?g(z)=P(z).如果f(z)=P(z)?g(z)=P(z)且g(z)=P(z)?f(z)=P(z),記f(z)=P(z)?g(z)=P(z)并且稱f(z)和g(z)分擔(dān)P(z)IM(不計(jì)重?cái)?shù)).如果f(z)?P(z)和g(z)?P(z)有相同的零點(diǎn)和相同的重?cái)?shù),記f(z)=P(z)?g(z)=P(z),并且稱f(z)和g(z)分擔(dān)P(z)CM(計(jì)重?cái)?shù))(參見文獻(xiàn)[3]).另外,用符號ρ(f),σ(f)分別記函數(shù)f(z)的級和超級,這里

另外假定讀者熟悉Nevanlinna理論的標(biāo)準(zhǔn)記號.

1982年,文獻(xiàn)[4]研究了微分方程的解并且得到如下的結(jié)果:

定理A設(shè)A(z)為一次數(shù)為n的非常數(shù)的多項(xiàng)式,并且設(shè)=0兩個(gè)線性無關(guān)的解.則至少f1和f2中的某一個(gè)的零點(diǎn)收斂指數(shù)為

此后,微分方程解的級和超級成為很多學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題[5-6].

2008年,文獻(xiàn)[7]得到了如下結(jié)果:

定理B設(shè)Q1和Q2為兩個(gè)非零多項(xiàng)式,并且設(shè)P為一多項(xiàng)式.如果f是下面方程的一非常數(shù)解:

則σ(f)=n,這里n記為P的次數(shù).

眾所周知微分方程與亞純函數(shù)分擔(dān)值問題密切相關(guān),因此在亞純函數(shù)分擔(dān)值的問題下研究亞純函數(shù)級與超級的關(guān)系應(yīng)該是比較有趣的問題.

2009年,文獻(xiàn)[8]得到如下結(jié)果:

定理C設(shè)f為一非常數(shù)的亞純函數(shù),有有窮多個(gè)極點(diǎn),并且設(shè)Q1,Q2(?=Q1)為兩多項(xiàng)式.如果

f(z)=Q1?f′(z)=Q1且f(z)=Q2?f′(z)=Q2,

則f是有窮級.

從定理C看出f和f′分擔(dān)有窮級函數(shù).自然的問可否分擔(dān)無窮級函數(shù)?

最近,文獻(xiàn)[9]研究了如上的問題得到了如下結(jié)果:

定理D設(shè)Q1?=0和Q2為兩個(gè)不同的多項(xiàng)式,設(shè)f,γ為兩個(gè)整函數(shù).如果

f(z)=α(z)?f′(z)=α(z)且f(z)=β(z)?f′(z)=β(z),

這里α=Q1eγ,β=Q2eγ,并且α?α′或者β?α′有至多有限多個(gè)零點(diǎn),則σ(f)≤σ(α)=ρ(γ).

在定理D中,可否研究更高階的導(dǎo)數(shù)f(k)?

研究這個(gè)問題并得到如下結(jié)果:

定理1.1設(shè)Q1?=0和Q2為兩個(gè)不同的多項(xiàng)式,設(shè)f,γ為兩個(gè)整函數(shù).如果

f(z)=α(z)?f(k)(z)=α(z)且f(z)=β(z)?f′(z)=β(z),

且f?α的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少為k(k為一大于等于2的自然數(shù)),這里α=Q1eγ,β=Q2eγ,則σ(f)≤σ(α)=ρ(γ).

2 引理

為了證明本文的結(jié)果,需要如下引理.

著名的Pang-Zalcman引理是研究正規(guī)族的一個(gè)重要的工具,

引理2.1[10-11]設(shè)F為單位圓盤△上的一族亞純函數(shù)并且對每一個(gè)f∈F,所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少是k.假定存在一數(shù)A≥1滿足當(dāng)任意的f∈F的零點(diǎn)z處有|f(k)(z)|≤A.如果F不在?上正規(guī),則對0≤α≤k,存在:

1.一數(shù)r∈(0,1);2.一列復(fù)數(shù)zn,|zn|

注2.1在引理2.1中,特別地,g的級至多是2.而且取wn和ρn,有

這里,M是一與n無關(guān)的常數(shù),一般情形,

是球形導(dǎo)數(shù).對0≤α

引理2.2[9]設(shè)f為一超級為σ(f)>0的亞純函數(shù).則對于任何σ>0,則存在一序列zn→∞(n→∞),滿足

3 定理的證明

證明記α=Q1eγ,因此σ(α)=ρ(γ).因此僅需得到σ(f)≤ρ(γ).運(yùn)用反證法,假定σ(f)=d>c=ρ(γ).取H=f?α.則

(I)

H(z)=0?H(k)(z)=α(z)?α(k)(z);

(II)

H(z)=β(z)?α(z)?H′(z)=β(z)?α′(z).

記P=β?α有至多有限多個(gè)零點(diǎn),則存在一正數(shù)r,滿足F在D={z:|z|>r}上無極點(diǎn).

當(dāng)n→∞時(shí),wn→∞,不失一般性,假定對所有的n有|wn|≥r+1.定義:則每個(gè)Fn都在D1上解析且當(dāng)n→∞時(shí),F?n(0)→∞n→∞.由Marty′s定則得到(Fn)n不在z=0處正規(guī).

因此,運(yùn)用引理2.1,選擇一合適的子序列(Fn)n,假定存在序列(zn)n和(ρn)n,并且, |zn|

這里M為一正數(shù).

由(1)式有

記P=α?β=Qeγ,這里Q=Q1?Q2是一非零多項(xiàng)式,

從級的定義看出:

從(4)式和(5)式,得到

當(dāng)n充分大時(shí),有

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,上面已經(jīng)證明(7)式對k=1成立,假設(shè)當(dāng)k=s時(shí),(7)式成立,即令

成立.下證結(jié)論對k=s+1成立.

從(8)式有

類似于(4)式和(5)式,得到

由此即得(8)式成立.

斷言

(1)g(ζ)=0?g(k)(ζ)=0且

(2)g(ζ)=1?g′(ζ)=0.

假定g(ζ0)=0,則由Hurwitz′s定理這里存在ζn,ζn→ζ0,有(對n充分大)

由假設(shè)(I),有

經(jīng)簡單計(jì)算得到

這里P(Q,γ)是關(guān)于的微分多項(xiàng)式,類似于(4)式,有

則

因此

(1)得證.類似地,可以證明(2).證明了斷言.由斷言(1)知道g(ζ)的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是k+1,由斷言(2)知道g(ζ)?1的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是2.

運(yùn)用Nevanlinna第二基本定理,得到

矛盾.

因此σ(f)≤ρ(γ).定理1.1的證明完成了.

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Further results about hyper order of entire functions

Ding Jie1,Qi Jianming2,Zhu Taiying2

(1.Department of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan030024,China;2.Department of Mathematics and Physics,Shanghai Dianji University,Shanghai201306,China)

In this paper,by means of the normal family theory,we study the growth order and hyper order of some entire functions that share in fi nite order functions with their derivative of higher order.We start from the hyper order whose greater than zero,it leads to spherical derivative unbounded,using the Pang-Zaclman Lemma, mathematical induction and Nevanlinna theory,we prove our result.This result improves and generalizes the obtained results.

meromorphic function,normal family,growth order,hyper order

O174.5

A

1008-5513(2014)01-0021-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.004

2013-12-11.

山西省回國留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(2013-045);國家自然科學(xué)基金天元青年基金(11326083);

上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新項(xiàng)目(14YZ164);上海市教育委員會(huì)青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃(ZZSDJ12020);上海電機(jī)學(xué)院重點(diǎn)培育學(xué)科(13XKJC01).

丁杰(1986-),博士,講師,研究方向:復(fù)分析.

2010 MSC:30D35