【關(guān)鍵詞】"f(n)的極限是A""f(n)無縫隙地靠近于A""｜f(n)-A｜＜ε有形如N＜n＜+∞之類的項(xiàng)數(shù)解"

【中圖分類號】G633.66 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）2-0011-02

關(guān)于數(shù)學(xué)極限定義的發(fā)展歷史，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院一年級目前使用的課本數(shù)學(xué)分析（第一冊）的31面這樣寫道："……，其實(shí)，給出其精確的定義并非一件易事，經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家的不懈努力和不斷探索，直到19世紀(jì)才有了數(shù)學(xué)上的如下定義："這里所說的如下定義就是當(dāng)前世界上各大學(xué)理工師范財(cái)經(jīng)等專業(yè)所用的數(shù)學(xué)分析使用的極限定義。

從19世紀(jì)以來，在世界各大學(xué)已用了一、二百年了，對于這個(gè)傳統(tǒng)性定義，師生們都覺得難教難學(xué)。傳統(tǒng)性定義敘述詞句別扭。而今我用極限無縫隙論，引入極限概念，并形象的給出其定義。

請看如下：

（一）一個(gè)奇特而有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象

f(n)無限的靠近數(shù)A，而且無縫隙的靠近數(shù)A,但又不等于A,我們考查如下兩個(gè)數(shù)列：

1、數(shù)列f(n)＝｛3－■ ｝n∈N+，a1=2.9 , a2=2.99 , a3=2.999 , a4=2.9999, a5=2.99999,a6=2.999999……，變化趨勢是逐漸增大，無限制趨近于3，但不等于3，極大限制是3。

2、數(shù)列f(n)＝｛3+■ ｝，n∈N+ ，a1=3.1 , a2=3.01 , a3=3.001 , a4=3.0001 , a5=3.00001, a6=3.000001變化趨勢是逐漸減小、無限制逼近于3，但就是不等于3，極小限制是3。

以上兩數(shù)列之特點(diǎn)是：f(n)在變化過程中，

①f(n)越來越靠近某個(gè)數(shù)A 距離f(n)-A越來越?、趂(n)就是不能觸碰到A f(n)≠A

再考查下面的數(shù)列3：

3、數(shù)列f(n)＝｛■ ｝，a1=2 , a2=3.5 , a3=2.67 , a4=3.33 ,a5=2.8 , a6=3.17變化趨勢為時(shí)而大于3，時(shí)而小于3，這時(shí)你就不能說它的極大（極?。┫拗剖?了，但是它與前面兩個(gè)數(shù)列是有共同點(diǎn)的：

數(shù)列3顯然具有上述①之特點(diǎn)。

是否具有②之特點(diǎn)呢？且看若f(n)=3,即是｜f(n)-3｜=0,

|■-3 |=0,| ■-3 |=0, ■ |=0,1=0,矛盾。所以f(n)≠3,所以數(shù)列3具有②之特點(diǎn)。

數(shù)列f(n)= {■ }與數(shù)3是越來越靠近，但又不等于數(shù)3，它們之間好像應(yīng)該存在一個(gè)空隙吧？為了澄清這個(gè)問題，可任意給個(gè)距離，例如距離是■ ，看看這個(gè)■ 的距離里是否還有f(n),若一個(gè)f(n)也沒有，那便無疑地是空隙了，若有便不是空隙了。且看如下：

這就是｜f(n)-3｜=｜ ■-3 ｜＜ ■

｜■ ｜＜ ■

■｜＜■

1000＜n

∴1000＜n＜+∞

這就是說這個(gè)■ 距離里不但有f(n)的項(xiàng)，而且還是f(n)的無數(shù)多個(gè)項(xiàng)，而且還是從1000項(xiàng)起以后的所有各項(xiàng)都隱藏在這距離里。因而，■ 這個(gè)距離便不是空隙了。

把■ 改換成一個(gè)任意小的正數(shù)L＞0，就是如下：

｜f(n)-3｜＜L

｜ ■-3 ｜＜L

｜ ■｜＜L

■＜L

■＜n

所以[■ ]＜n＜+∞

所以第[■ ]項(xiàng)起以后所有各項(xiàng)皆隱藏在這個(gè)" ■"的距離里，因而"■ "不是空隙了。這樣f(n)與數(shù)3不存在什么空隙了。

現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論無縫隙靠近的情況。

我們可以再令L＝■ 、■ 、■ ……；代入到n＞[ ■]里去，就是n＞■，n＞■ ，n＞■ ……，分?jǐn)?shù)的母子一顛倒，搖身一變便成了n＞1000, n＞10000, n＞1000000，……了。

這就是說從第一千項(xiàng)起、第一萬項(xiàng)起、第一百萬項(xiàng)起……以后，所有一切的項(xiàng)都有｜ ■－3｜＜■ ，｜ ■－3｜＜ ■，｜ ■－3｜＜■ 成立……；

也就是說從第一千項(xiàng)起、第一萬項(xiàng)起、第一百萬項(xiàng)起……以后所有各項(xiàng)，所有的一切項(xiàng)都統(tǒng)統(tǒng)地有序地被逼近到直線y=3上、下身旁，但是就不能觸碰落到直線Y＝3上，（前面已證明）。數(shù)列f(n)之這些項(xiàng)被逼近在以直線y=3上、下旁，被逼近在一個(gè)以直線y=3為中軸線、向上、向下各延伸L個(gè)單位，總寬為2L，長度為足夠長的長方形、條帶形里，被覆蓋、被關(guān)閉在寬度為2L，寬度無限制地變窄的條形長帶里，f(n)被有序地，無限制地被逼近在直線y=3之上、下方，但又不能觸碰到直線y=3，就這樣被極其嚴(yán)格的限制著，這是一個(gè)非常奇怪而又有趣的景象，取這話前面的那個(gè)"極"字，取這句話后面的那個(gè)"限"字，故名曰"極限"，因而數(shù)3就是數(shù)列f(n)之極限。

以上若換成直線y=9,看看是否有上述之景象。

且看｜f(n)-9｜=｜■-9 ｜＜■

｜3+■-9 ｜＜■

｜-6+■-9 ｜＜ ■，就算-6+■ =-5，便有｜-5｜＜■ ，這怎么可能呢？矛盾，所以不等式｜-6+■-9 ｜＜ ■無解。把 ■換成更小的■ ……，更是無解，這就更是不含有f(n)的項(xiàng)了，所以得出f(n)與非極限數(shù)9之間存在一個(gè)大空隙。這樣就把"f(n)極限是3"、"f(n)無縫隙靠近于3"、"距離不等式｜f(n)-3｜＜L有形如N＜n＜+∞之解"三者聯(lián)系在一起了，我們問它們之間有什么關(guān)系呢？

（二）極限·無縫隙靠近·｜f(n)-3｜＜L有解，三者之間的關(guān)系是什么？

從以上研討可以得出如下關(guān)系：

"f(n)的極限是3" " f(n)是無縫隙的靠近于極限3"， "不等式｜f(n)-3｜＜L有N＜n＜+∞之類型的解"。它們?nèi)呤峭粋€(gè)意思，即是等同等價(jià)的關(guān)系。

從而得出數(shù)列f(n)極限定義

（三）數(shù)列f(n)梁齊天極限的（描述性）定義

一個(gè)數(shù)列f(n)隨著項(xiàng)數(shù)n的無限增大，無縫隙的靠近A，那么A就叫做數(shù)列f(n)之極限。

（四）數(shù)列f(n)梁齊天極限的（嚴(yán)密性）定義

已知數(shù)列f(n)，n∈N+，又已知一個(gè)常數(shù)A，若對于任意小的正數(shù)L，都能從f(n)與數(shù)A的距離|f(n)－A|小于L的不等式|f(n)－A|＜L，解出或存在形狀如N＜n＜+∞之類的項(xiàng)數(shù)解，在此解之下，f(n)無縫隙地靠近于常數(shù)A，那么A就叫做當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限制地增大時(shí)f(n)之極限，記為limf(n)=A（n→+∞）或……，（上面定義里的"在這些解之下f(n)無縫隙地靠近A，這些詞句太長，可以用一些特定的符號簡單方便寫成例如"在此解之下，｜f－A｜無限小，從而f→A"，或"在此解之下，n→∞，f→A"。箭頭符號"→"表示無縫隙地靠近。）

f(n)的極限是A，就稱數(shù)列f(n)收斂于A，若A不存在，則稱f(n)發(fā)散，或稱無極限。

例1：求證：lin■=■ n∈N+，

證明：令L為任意小正數(shù)，|f(n)－■ |＜L，

｜■-■|＜L，｜■ |＜L，■ ＜L， ■＜L，■ ＜L，■ ＜4n+2，■ －2＜4n，■ ＜n，所以解得[ ■]＜n＜+∞這樣的解，在此解之下，f無縫隙的靠近 ■，即是f→ ■，∴l(xiāng)im ■= ■（n→+∞ ）

例2：求證數(shù)列f(n)=｛■ ｝的極限不是8

證明：任意給定ε＞0，解不等式｜f(n)－8｜＜ε，

｜ ■-8｜＜ε，｜ 3n+■-8｜＜ε，｜-5 +■｜＜ε，因?yàn)棣牛?任意小，不防令ε＝ ■，代入到｜-5 +■ ｜＜■里去，顯然無解，再令ε等于比■ 還小的正數(shù)，同樣｜-5 +■ ｜＜ε也是無解，這就是不等式｜f(n)-8｜＜ε不存在f(n)的任何一項(xiàng)，也就是說f(n)與數(shù)8之間存在一個(gè)縫隙（空隙）了，根據(jù)極限定義，∴l(xiāng)imf(n)≠8(n→∞)。

（五）從以上可以看出f(n)是無縫隙地靠近極限A，那你就干脆把f(n)等于極限A不就好了嗎？這么一來，f(n)=A那就一點(diǎn)距離也沒有了，那就什么縫隙也沒有了。但從以上接觸看來，f(n)是不能等于極限A的，例如數(shù)列f(n)=｛■ ｝是不能等于極限3的。這真是個(gè)奇特而又有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。不要小看了這個(gè)"極限"，它給數(shù)學(xué)開辟了一個(gè)廣闊的新天地。小到設(shè)計(jì)制造一個(gè)機(jī)器，大到衛(wèi)星上天、人類登月、飛登其他星球都是要用"極限"這個(gè)知識的。

至于其他類型的極限定義可以同理同方法處理之。

（六）梁氏極限定義與傳統(tǒng)極限定義的對比

①從極限的幾何解釋講起著重闡述"f(n)的極限是A""f(n)無縫隙地靠近于A""距離不等式｜f(n)-A｜＜ε有形如N＜n＜+∞之類的項(xiàng)數(shù)解"，三者關(guān)系等同等價(jià)關(guān)系，從而用"無縫隙的靠近"，這個(gè)純樸而通俗的詞語形象的講明了極限這個(gè)概念，而傳統(tǒng)性定義里就沒有形象的講明極限的概念。

②現(xiàn)在使用的傳統(tǒng)性極限定義是"……，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n＞N時(shí)不等式｜f(n)－A｜＜ε都成立……"。這里的大N怎么確定存在呢？怎么找呢？原傳統(tǒng)定義里沒有說明。而梁齊天極限定義開門見山地明白指出從解｜f(n)－A｜＜ε著手，去解這個(gè)不等式，"解"被解出來了，那大N就自然而然地跳出來了，這多么順暢和輕松呀，而解不等式又是學(xué)生們在此前經(jīng)常接觸和熟練使用的解算工具，從而使"極限"變成了一個(gè)通俗易懂易操作的課題。