分解因式的PCK解析

崔紅霞

摘 要：分解因式是初中數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容之一，從分解因式的內(nèi)容及其教育價值，與分解因式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式已有的經(jīng)驗和可能出現(xiàn)的困難，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式教學(xué)策略這四個方面談?wù)剬Ψ纸庖蚴降恼J(rèn)識。

關(guān)鍵詞：分解因式；教育價值；教學(xué)策略

一、初中數(shù)學(xué)分解因式的內(nèi)容及其教育價值

1.內(nèi)容

能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。

2.教育價值

在分解因式的教學(xué)中，注意揭示數(shù)學(xué)中的可逆關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的可逆聯(lián)想能力，有助于學(xué)生把新舊知識有機(jī)地聯(lián)系起來，便于學(xué)生理解和記憶，同時還有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。本章的教育價值還體現(xiàn)在使學(xué)生接受對立統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于分析、正確預(yù)見、解決問題的能力。

二、與初中數(shù)學(xué)分解因式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)內(nèi)容

1.縱向聯(lián)系

小學(xué)數(shù)學(xué)主要以數(shù)的計算為主，涉及簡單的數(shù)的恒等變形，主要代表：分解質(zhì)因數(shù)、乘法對加法的分配率逆運用（簡便運算）。進(jìn)入中學(xué)后不但增加了負(fù)數(shù)（從而增加了符號運算），還引入了字母表示數(shù)或事件，式的恒等變形就成為中學(xué)教材中的一個重要而且難學(xué)的內(nèi)容之一了，式的變形已經(jīng)貫穿于整個后續(xù)數(shù)學(xué)的全體，掌握好式的各種變形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。分解因式作為多項式乘法的逆向變形，其作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了逆向變形這個看似作用不大的變形，它在后續(xù)學(xué)習(xí)中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的運算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、解析幾何中二次曲線與直線的位置關(guān)系、判別一個多項式的正負(fù)符號（比較兩式的大小、探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等）等。

2.橫向聯(lián)系

分解因式是代數(shù)式的一種重要恒等變形?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》雖然降低了分解因式的特殊技巧要求，也對分解因式常用的四種方法減少為兩種，且公式法的應(yīng)用中，也減少為兩個公式，但絲毫沒有否定分解因式的教育價值及其在代數(shù)運算中的重要作用。本章教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式運算的基礎(chǔ)上提出來的，事實上，它是整式乘法的逆向運用，與整式乘法運算有密切的聯(lián)系。分解因式的變形不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想，而且也是解決后續(xù)—分式的化簡、解方程等—恒等變形的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)交流提供了有效的途徑。分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式已有的經(jīng)驗和可能出現(xiàn)的困難

1.只進(jìn)行了部分分解，結(jié)果沒有化成積的形式

例：a2-a-2=a（a-1）-2

2.分解結(jié)果不徹底，還有因式可以分解

例：a3-a=a（a2-1）

3.提公因式法丟項

例：a2b-2ab2+ab=ab（a-2b）

4.分解時變形不恒等

例：-3ma3+6ma2-12ma=-3ma（a2-2a+4）=-3ma（a-2）2

四、幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式教學(xué)策略

1.理解分解因式的意義，區(qū)分整式的乘法與分解因式

分解因式，就是把一個多項式化成幾個整式的積的形式。分解因式和整式的乘法剛好相反，整式的乘法是把幾個因式化成一個多項式，而分解因式是把一個多項式變成幾個因式的積。分解因式常用的方法都是從乘法法則、乘法公式反過來應(yīng)用得出來的；分解因式是否正確，可以用整式乘法來檢驗。只有理解分解因式的意義，才能正確分解因式。

2.掌握分解因式的基本方法

提公因式法是分解因式最基本的方法，也是最常用的方法，它的理論依據(jù)是乘法分配律。在講解時可以先復(fù)習(xí)單項式除以單項式，然后練習(xí)尋找公因式，提出公因式后再用多項式除以單項式的方法就是提公因式法。如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式相乘的形式，這與乘法結(jié)合律十分相似，運用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵在于找到各項的公因式。對于字母，要將各項中都含有的字母（指數(shù)取最低的）提出來作為公因式，如果含有整數(shù)系數(shù)，需要提取其最大公約數(shù)，運用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點。對初學(xué)者來說，如何根據(jù)要分解的多項式的形式特點（項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)）來選擇用什么公式，往往不是很容易，這也是運用公式的難點。因此在教學(xué)中應(yīng)注意分析實例，指明思路、交代方法，以便克服難點。能運用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）分解的多項式，必須是二項式或視作二項式的多項式，且這兩項的符號相反，a，b可表示數(shù)，也可表示字母或代數(shù)式，每項都寫成數(shù)（或式）的完全平方的形式；能運用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2分解的多項式，必須是三項式或視作三項式的多項式，且其中兩項符號相同并都能寫成數(shù)（或式）的完全平方，而余下的一項是這兩個數(shù)（或式）乘積的2倍。若三項中的兩個完全平方項都有負(fù)號，則應(yīng)選提負(fù)號，再運用完全平方公式分解因式；如果多項式第一項系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正數(shù)。在提出“-”號后，多項式的各項都要變號。

3.分解因式的一般步驟

如果多項式的各項有公因式，那么，先提公因式；如果各項沒有公因式，那么，可以嘗試運用公式法來分解；分解因式必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

摘 要：分解因式是初中數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容之一，從分解因式的內(nèi)容及其教育價值，與分解因式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式已有的經(jīng)驗和可能出現(xiàn)的困難，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式教學(xué)策略這四個方面談?wù)剬Ψ纸庖蚴降恼J(rèn)識。

關(guān)鍵詞：分解因式；教育價值；教學(xué)策略

一、初中數(shù)學(xué)分解因式的內(nèi)容及其教育價值

1.內(nèi)容

能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。

2.教育價值

在分解因式的教學(xué)中，注意揭示數(shù)學(xué)中的可逆關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的可逆聯(lián)想能力，有助于學(xué)生把新舊知識有機(jī)地聯(lián)系起來，便于學(xué)生理解和記憶，同時還有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。本章的教育價值還體現(xiàn)在使學(xué)生接受對立統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于分析、正確預(yù)見、解決問題的能力。

二、與初中數(shù)學(xué)分解因式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)內(nèi)容

1.縱向聯(lián)系

小學(xué)數(shù)學(xué)主要以數(shù)的計算為主，涉及簡單的數(shù)的恒等變形，主要代表：分解質(zhì)因數(shù)、乘法對加法的分配率逆運用（簡便運算）。進(jìn)入中學(xué)后不但增加了負(fù)數(shù)（從而增加了符號運算），還引入了字母表示數(shù)或事件，式的恒等變形就成為中學(xué)教材中的一個重要而且難學(xué)的內(nèi)容之一了，式的變形已經(jīng)貫穿于整個后續(xù)數(shù)學(xué)的全體，掌握好式的各種變形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。分解因式作為多項式乘法的逆向變形，其作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了逆向變形這個看似作用不大的變形，它在后續(xù)學(xué)習(xí)中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的運算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、解析幾何中二次曲線與直線的位置關(guān)系、判別一個多項式的正負(fù)符號（比較兩式的大小、探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等）等。

2.橫向聯(lián)系

分解因式是代數(shù)式的一種重要恒等變形?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》雖然降低了分解因式的特殊技巧要求，也對分解因式常用的四種方法減少為兩種，且公式法的應(yīng)用中，也減少為兩個公式，但絲毫沒有否定分解因式的教育價值及其在代數(shù)運算中的重要作用。本章教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式運算的基礎(chǔ)上提出來的，事實上，它是整式乘法的逆向運用，與整式乘法運算有密切的聯(lián)系。分解因式的變形不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想，而且也是解決后續(xù)—分式的化簡、解方程等—恒等變形的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)交流提供了有效的途徑。分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式已有的經(jīng)驗和可能出現(xiàn)的困難

1.只進(jìn)行了部分分解，結(jié)果沒有化成積的形式

例：a2-a-2=a（a-1）-2

2.分解結(jié)果不徹底，還有因式可以分解

例：a3-a=a（a2-1）

3.提公因式法丟項

例：a2b-2ab2+ab=ab（a-2b）

4.分解時變形不恒等

例：-3ma3+6ma2-12ma=-3ma（a2-2a+4）=-3ma（a-2）2

四、幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式教學(xué)策略

1.理解分解因式的意義，區(qū)分整式的乘法與分解因式

分解因式，就是把一個多項式化成幾個整式的積的形式。分解因式和整式的乘法剛好相反，整式的乘法是把幾個因式化成一個多項式，而分解因式是把一個多項式變成幾個因式的積。分解因式常用的方法都是從乘法法則、乘法公式反過來應(yīng)用得出來的；分解因式是否正確，可以用整式乘法來檢驗。只有理解分解因式的意義，才能正確分解因式。

2.掌握分解因式的基本方法

提公因式法是分解因式最基本的方法，也是最常用的方法，它的理論依據(jù)是乘法分配律。在講解時可以先復(fù)習(xí)單項式除以單項式，然后練習(xí)尋找公因式，提出公因式后再用多項式除以單項式的方法就是提公因式法。如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式相乘的形式，這與乘法結(jié)合律十分相似，運用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵在于找到各項的公因式。對于字母，要將各項中都含有的字母（指數(shù)取最低的）提出來作為公因式，如果含有整數(shù)系數(shù)，需要提取其最大公約數(shù)，運用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點。對初學(xué)者來說，如何根據(jù)要分解的多項式的形式特點（項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)）來選擇用什么公式，往往不是很容易，這也是運用公式的難點。因此在教學(xué)中應(yīng)注意分析實例，指明思路、交代方法，以便克服難點。能運用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）分解的多項式，必須是二項式或視作二項式的多項式，且這兩項的符號相反，a，b可表示數(shù)，也可表示字母或代數(shù)式，每項都寫成數(shù)（或式）的完全平方的形式；能運用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2分解的多項式，必須是三項式或視作三項式的多項式，且其中兩項符號相同并都能寫成數(shù)（或式）的完全平方，而余下的一項是這兩個數(shù)（或式）乘積的2倍。若三項中的兩個完全平方項都有負(fù)號，則應(yīng)選提負(fù)號，再運用完全平方公式分解因式；如果多項式第一項系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正數(shù)。在提出“-”號后，多項式的各項都要變號。

3.分解因式的一般步驟

如果多項式的各項有公因式，那么，先提公因式；如果各項沒有公因式，那么，可以嘗試運用公式法來分解；分解因式必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

摘 要：分解因式是初中數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容之一，從分解因式的內(nèi)容及其教育價值，與分解因式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式已有的經(jīng)驗和可能出現(xiàn)的困難，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式教學(xué)策略這四個方面談?wù)剬Ψ纸庖蚴降恼J(rèn)識。

關(guān)鍵詞：分解因式；教育價值；教學(xué)策略

一、初中數(shù)學(xué)分解因式的內(nèi)容及其教育價值

1.內(nèi)容

能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。

2.教育價值

在分解因式的教學(xué)中，注意揭示數(shù)學(xué)中的可逆關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的可逆聯(lián)想能力，有助于學(xué)生把新舊知識有機(jī)地聯(lián)系起來，便于學(xué)生理解和記憶，同時還有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。本章的教育價值還體現(xiàn)在使學(xué)生接受對立統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于分析、正確預(yù)見、解決問題的能力。

二、與初中數(shù)學(xué)分解因式有聯(lián)系的數(shù)學(xué)內(nèi)容

1.縱向聯(lián)系

小學(xué)數(shù)學(xué)主要以數(shù)的計算為主，涉及簡單的數(shù)的恒等變形，主要代表：分解質(zhì)因數(shù)、乘法對加法的分配率逆運用（簡便運算）。進(jìn)入中學(xué)后不但增加了負(fù)數(shù)（從而增加了符號運算），還引入了字母表示數(shù)或事件，式的恒等變形就成為中學(xué)教材中的一個重要而且難學(xué)的內(nèi)容之一了，式的變形已經(jīng)貫穿于整個后續(xù)數(shù)學(xué)的全體，掌握好式的各種變形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。分解因式作為多項式乘法的逆向變形，其作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了逆向變形這個看似作用不大的變形，它在后續(xù)學(xué)習(xí)中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的運算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、解析幾何中二次曲線與直線的位置關(guān)系、判別一個多項式的正負(fù)符號（比較兩式的大小、探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等）等。

2.橫向聯(lián)系

分解因式是代數(shù)式的一種重要恒等變形?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》雖然降低了分解因式的特殊技巧要求，也對分解因式常用的四種方法減少為兩種，且公式法的應(yīng)用中，也減少為兩個公式，但絲毫沒有否定分解因式的教育價值及其在代數(shù)運算中的重要作用。本章教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式運算的基礎(chǔ)上提出來的，事實上，它是整式乘法的逆向運用，與整式乘法運算有密切的聯(lián)系。分解因式的變形不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想，而且也是解決后續(xù)—分式的化簡、解方程等—恒等變形的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)交流提供了有效的途徑。分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式已有的經(jīng)驗和可能出現(xiàn)的困難

1.只進(jìn)行了部分分解，結(jié)果沒有化成積的形式

例：a2-a-2=a（a-1）-2

2.分解結(jié)果不徹底，還有因式可以分解

例：a3-a=a（a2-1）

3.提公因式法丟項

例：a2b-2ab2+ab=ab（a-2b）

4.分解時變形不恒等

例：-3ma3+6ma2-12ma=-3ma（a2-2a+4）=-3ma（a-2）2

四、幫助學(xué)生學(xué)習(xí)分解因式教學(xué)策略

1.理解分解因式的意義，區(qū)分整式的乘法與分解因式

分解因式，就是把一個多項式化成幾個整式的積的形式。分解因式和整式的乘法剛好相反，整式的乘法是把幾個因式化成一個多項式，而分解因式是把一個多項式變成幾個因式的積。分解因式常用的方法都是從乘法法則、乘法公式反過來應(yīng)用得出來的；分解因式是否正確，可以用整式乘法來檢驗。只有理解分解因式的意義，才能正確分解因式。

2.掌握分解因式的基本方法

提公因式法是分解因式最基本的方法，也是最常用的方法，它的理論依據(jù)是乘法分配律。在講解時可以先復(fù)習(xí)單項式除以單項式，然后練習(xí)尋找公因式，提出公因式后再用多項式除以單項式的方法就是提公因式法。如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式相乘的形式，這與乘法結(jié)合律十分相似，運用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵在于找到各項的公因式。對于字母，要將各項中都含有的字母（指數(shù)取最低的）提出來作為公因式，如果含有整數(shù)系數(shù)，需要提取其最大公約數(shù)，運用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點。對初學(xué)者來說，如何根據(jù)要分解的多項式的形式特點（項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)）來選擇用什么公式，往往不是很容易，這也是運用公式的難點。因此在教學(xué)中應(yīng)注意分析實例，指明思路、交代方法，以便克服難點。能運用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）分解的多項式，必須是二項式或視作二項式的多項式，且這兩項的符號相反，a，b可表示數(shù)，也可表示字母或代數(shù)式，每項都寫成數(shù)（或式）的完全平方的形式；能運用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2分解的多項式，必須是三項式或視作三項式的多項式，且其中兩項符號相同并都能寫成數(shù)（或式）的完全平方，而余下的一項是這兩個數(shù)（或式）乘積的2倍。若三項中的兩個完全平方項都有負(fù)號，則應(yīng)選提負(fù)號，再運用完全平方公式分解因式；如果多項式第一項系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正數(shù)。在提出“-”號后，多項式的各項都要變號。

3.分解因式的一般步驟

如果多項式的各項有公因式，那么，先提公因式；如果各項沒有公因式，那么，可以嘗試運用公式法來分解；分解因式必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止。