陳榮輝

【摘要】如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、提高教學(xué)質(zhì)量首當(dāng)其沖成了高中數(shù)學(xué)教師的一大挑戰(zhàn).各式各樣的數(shù)學(xué)思想貫穿著整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程，其中數(shù)形結(jié)合是最為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，它使“形”和“數(shù)”互相聯(lián)系，從不同角度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)又靈活便捷地為我們解決了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的各種難題.本文將通過(guò)闡述數(shù)形結(jié)合思想方法的相關(guān)理論，就其“以數(shù)化形”、“以形變數(shù)”、“形數(shù)互變”三種應(yīng)用方法在高中人教A版數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實(shí)踐作一探討，以期達(dá)到理想的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；以數(shù)化形；以形變數(shù)；形數(shù)互變

我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老、最基本的研究對(duì)象，同時(shí)也反映了事物的兩面性.數(shù)形結(jié)合，主張的是數(shù)學(xué)世界中數(shù)與形有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系、直觀的幾何圖形、位置關(guān)系等等數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維和具體思維的結(jié)合，從而達(dá)到復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化、解題最優(yōu)化的目的.數(shù)學(xué)的種種知識(shí)都離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合思想的影子，所以高中數(shù)學(xué)教師如何在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)思維方式，顯得尤為重要.下文，筆者將結(jié)合人教A版高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勔恍┮?jiàn)解.

一、以“數(shù)”化“形”的應(yīng)用，使抽象數(shù)據(jù)具體化

數(shù)學(xué)語(yǔ)言中處處體現(xiàn)著數(shù)量，但是有些數(shù)量是比較抽象，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難以掌握.像上文說(shuō)道，“數(shù)”與“形”是有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的，教師們可以利用“形”的形象性、直觀性把“數(shù)”表達(dá)出的“形”找出來(lái)，從題目的情境中分析出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)理論“模式”，然后構(gòu)建對(duì)應(yīng)的圖形來(lái)解決問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)中，平面幾何知識(shí)、立體幾何知識(shí)、解析幾何知識(shí)等章節(jié)的教學(xué)都可以從“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”問(wèn)題.

例如，在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)人教A版必修2 直線的點(diǎn)斜式方程時(shí)，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生思考一個(gè)問(wèn)題：對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線，它的位置由哪些條件確定？學(xué)生知道“兩點(diǎn)確定一條直線”，在認(rèn)識(shí)到可以用直線與坐標(biāo)軸的位置確定后，筆者在與同學(xué)們一同用代數(shù)方法表示直線的“傾斜程度”，引入斜率概念.最后，通過(guò)教材引導(dǎo)語(yǔ)：“在直角坐標(biāo)系中，給定一點(diǎn)P0（x0，y0）和斜率k，就能唯一確定一條直線，即平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)在不在這條直線上，完全由點(diǎn)P0（x0，y0）和斜率k確定.也就是說(shuō)，直線上任意一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)完全由P0的坐標(biāo)x0，y0和k確定.那么這種關(guān)系的代數(shù)表達(dá)式是什么呢？”引出本章節(jié)的主要知識(shí)——點(diǎn)斜式方程，筆者將引導(dǎo)語(yǔ)中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言在黑板上用坐標(biāo)系把點(diǎn)斜式方程推導(dǎo)了出來(lái)，以“數(shù)”輔“形”，完整地表述了“平面幾何語(yǔ)言——解析幾何語(yǔ)言——坐標(biāo)關(guān)系”的轉(zhuǎn)化.實(shí)踐表明，這樣的以“數(shù)”化“形”教學(xué)，不僅促進(jìn)了學(xué)生對(duì)點(diǎn)斜式方程推導(dǎo)過(guò)程的理解，更提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

二、以“形”變“數(shù)”的應(yīng)用，使圖形變化公式化

雖然形具有形象性、直觀性的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還要借助各種代數(shù)公式的計(jì)算，在遇到比較復(fù)雜 的“形”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)正確地將圖形數(shù)字化，細(xì)心觀察圖形的變化特點(diǎn)，研究題目中所給出的條件，通過(guò)圖形的性質(zhì)或幾何意義，用已學(xué)過(guò)的相應(yīng)公式或定理正確地將題目中的圖形用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，得出計(jì)算公式的條件和結(jié)論等.

新人教版A版高中數(shù)學(xué)（必修5）3.4《基本不等式》教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容多為圖形引出數(shù)學(xué)公式為主，在課本110頁(yè)探究中，便要求利用教材圖形得出不等式的幾何意義，題目如下：如圖，AB是圓的直徑，O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD、OD.

①如何用a，b表示OD？OD=

②如何用a，b表示CD？CD=

③OD與CD的大小關(guān)系怎樣？ODCD

利用圖形直觀地表示定量的值，學(xué)生能在圖形結(jié)合中得到直觀理解，水到渠成地得到相應(yīng)解決問(wèn)題的方法.

三、“形”“數(shù)”互變的應(yīng)用，使形數(shù)共同作用

“形”“數(shù)”互變是指不僅只是簡(jiǎn)單地以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”就能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，而是需要“形”“數(shù)”互相變換，要在這兩者之間找到共同點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系互換.解決這類問(wèn)題往往需要同時(shí)從已知公式和結(jié)論出發(fā)，認(rèn)真分析題目中所給出的“形”“數(shù)”互變條件，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化.

在解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想方法在這章知識(shí)的教學(xué)中便顯得尤為重要.筆者在進(jìn)行y=Asin（wx+）+b的函數(shù)圖像變化的內(nèi)容教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生直觀地觀察此函數(shù)變量A，w，φ，b對(duì)函數(shù)圖像的影響，筆者利用幾何畫板對(duì)函數(shù)的各個(gè)變量變化進(jìn)行如下解析式的演示：（1）y=sinx，y=sin（x+1），y=2sin（x+1）+4.幾何畫板有著強(qiáng)大動(dòng)態(tài)展示動(dòng)能，只要輸入A，w，φ幾個(gè)變量數(shù)據(jù)，教師通過(guò)隨著鼠標(biāo)拖動(dòng)改變A、w、φ的值，幾個(gè)函數(shù)解析式的圖像就會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化.學(xué)生通過(guò)不同顏色的圖像變化進(jìn)行觀察，對(duì)探索圖像變化規(guī)律可謂一目了然.

數(shù)形結(jié)合的思想，其本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像聯(lián)系起來(lái)為數(shù)學(xué)服務(wù)，使代數(shù)問(wèn)題與圖形問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化.教師們要在漫長(zhǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)形結(jié)合思想滲入到學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，將其內(nèi)化為己有，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)縝密的數(shù)學(xué)邏輯思維，為數(shù)學(xué)領(lǐng)域打造新人才.

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