李建鋼

摘 要：隨著新一輪基礎(chǔ)教育改革工作的開(kāi)展，幾何教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，近年來(lái)隨著教育體制的不斷深入改革，傳統(tǒng)幾何的刪減與邏輯思維發(fā)生了很大變化，同時(shí)引起了社會(huì)的廣泛關(guān)注。人們對(duì)于幾何的學(xué)習(xí)變得更加重視，對(duì)幾何的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用更為廣泛。對(duì)幾何證明題的練習(xí)能很好地鍛煉學(xué)生的思維能力，是教材中的重要內(nèi)容，也是各地中考題的熱點(diǎn)。結(jié)合初中幾何題證明，對(duì)初中生幾何題證明問(wèn)題、困境現(xiàn)狀和應(yīng)對(duì)方式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析。

關(guān)鍵詞：幾何證明；書(shū)寫(xiě)問(wèn)題；教學(xué)困境；有效策略

作為整個(gè)初中教學(xué)的重要內(nèi)容，幾何證明一直被視為初中教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，它為高中立體幾何、解析結(jié)合的學(xué)習(xí)奠定了很好的基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的推理邏輯、語(yǔ)言組織能力具有重大影響。因此，在初中幾何教學(xué)中，必須正視初中生幾何題證明存在的問(wèn)題，通過(guò)分析問(wèn)題困境，改善教學(xué)途徑，提高教學(xué)質(zhì)量與效益。

一、初中生幾何題證明書(shū)寫(xiě)存在的問(wèn)題與教學(xué)困境

1.初中生幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

從初中數(shù)學(xué)教學(xué)反饋的信息來(lái)看，很多初中生并不喜歡幾何，而且很討厭復(fù)雜的幾何書(shū)寫(xiě)與證明。在被調(diào)查的初中生中，近一半的學(xué)生表示能夠證明幾何題，但是只會(huì)書(shū)寫(xiě)一部分，一旦難度上升，就會(huì)出現(xiàn)一籌莫展的局面。如：矩形四邊形中線與點(diǎn)相連構(gòu)成菱形，試想菱形的四條邊中點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么？敘述結(jié)論，并且證明。針對(duì)該題很多學(xué)生在仔細(xì)觀察后也能得出一部分矩形結(jié)論，但是卻很難給出精確的證明。即使寫(xiě)出了證明過(guò)程，由于書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，表達(dá)有誤，失分現(xiàn)象依然嚴(yán)重。25%左右的初中生不喜歡計(jì)算，特別是求圖形面積與勾股定理等內(nèi)容。

在幾何語(yǔ)言應(yīng)用中，只有少部分學(xué)生能用規(guī)范的語(yǔ)言表述解答過(guò)程。而在書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程時(shí)，受學(xué)習(xí)心理與答題時(shí)間影響，書(shū)寫(xiě)存在問(wèn)題。如：不知道怎樣正確表述角，將△ABC寫(xiě)成三角形ABC，將△AEB≌△ACD書(shū)寫(xiě)成△AEB全等于△ACD等。

總結(jié)起來(lái)看，初中生在幾何題證明書(shū)寫(xiě)中存在問(wèn)題的原因有：概念認(rèn)識(shí)模糊，還停留在理解上；不知道怎樣運(yùn)用幾何知識(shí)解答遇到的問(wèn)題，與已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)缺乏聯(lián)系；不適應(yīng)語(yǔ)言、應(yīng)用和圖像符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換，過(guò)于依賴邏輯思維，忽略了形象思維與常規(guī)推理等。

2.初中生幾何證明書(shū)寫(xiě)存在問(wèn)題的原因

（1）教師的問(wèn)題

很多幾何題都存在證明難度，一部分?jǐn)?shù)學(xué)老師為了讓學(xué)生能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣莆照Z(yǔ)言表述，剛進(jìn)初一就嚴(yán)格要求學(xué)生證明過(guò)程、書(shū)寫(xiě)嚴(yán)謹(jǐn)，從一開(kāi)始就過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象、嚴(yán)密的推理過(guò)程，這無(wú)意中增加了幾何學(xué)習(xí)與表述的門(mén)檻，讓入門(mén)語(yǔ)言變得更加艱難。由于沒(méi)有引導(dǎo)好學(xué)生，反讓學(xué)生不得已退至門(mén)外。加上很多數(shù)學(xué)老師不會(huì)聯(lián)系實(shí)際，對(duì)生活實(shí)例與幾何素材采取漠視的態(tài)度，從講臺(tái)到書(shū)本，學(xué)生缺乏將所學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際聯(lián)系的機(jī)會(huì)，這嚴(yán)重影響了學(xué)生空間理念、想象力的培養(yǎng)與完善。甚至還有一部分老師受教學(xué)設(shè)施與自身技能的約束，不會(huì)運(yùn)用多媒體課件，缺乏豐富多彩的教學(xué)活動(dòng)，教學(xué)過(guò)程過(guò)于死板、陳舊，講出的內(nèi)容缺乏生動(dòng)性與趣味性，都極大約束了學(xué)生思維的發(fā)展。

受應(yīng)試背景的影響，師生過(guò)于關(guān)注考試，忽略了學(xué)習(xí)能力的提高。很多數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中尊崇考什么教什么的原則。在課堂教學(xué)中經(jīng)常忽略不考試的內(nèi)容，這樣不僅放棄了很多應(yīng)該學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時(shí)極大影響了學(xué)生的興趣，使對(duì)這些內(nèi)容感興趣的學(xué)生開(kāi)始漠視幾何。另外，教學(xué)課堂公式化，老師為了迎合新課標(biāo)提出的小組討論、合作探究等教學(xué)要求，忽略了靈活掌控與應(yīng)用課堂等要求，很多學(xué)生為了活動(dòng)而活動(dòng)，在活動(dòng)與討論結(jié)束后，馬虎地寫(xiě)上證明過(guò)程，缺乏對(duì)證明思路的深入理解與探析，這也是幾何書(shū)寫(xiě)一直存在問(wèn)題的重要原因。

（2）學(xué)生的原因

從幾何答題不理想出現(xiàn)的原因來(lái)看，很多初中生在幾何認(rèn)圖上存在很?chē)?yán)重的問(wèn)題，由于過(guò)于依賴圖形，在解題時(shí)沒(méi)有認(rèn)真分析各種隱性條件。因?yàn)閷W(xué)生還不善于將題型中的圖形與教材圖形整合起來(lái)，所以很難正確運(yùn)用定理。一部分學(xué)生過(guò)于依賴圖形，如：看到兩個(gè)三角形形狀類(lèi)似，就開(kāi)始證明這兩個(gè)三角形全等；即使例題中的條件不夠，也會(huì)自己創(chuàng)設(shè)條件，將沒(méi)有關(guān)系的圖形拉到一塊。從學(xué)生的理解能力來(lái)看，很多學(xué)生過(guò)于依賴視覺(jué)感受，忽略了推理。如：在理解圖形特點(diǎn)時(shí)，要求用語(yǔ)言描述看到的圖形，很多學(xué)生卻將重點(diǎn)放在描述形狀上。

學(xué)生缺乏對(duì)入門(mén)問(wèn)題的正確理解，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中只是對(duì)簡(jiǎn)單圖形的認(rèn)識(shí)并且還會(huì)借助實(shí)驗(yàn)與觀察得到，即使研究圖形也只是側(cè)重于體積、面積計(jì)算。在思維上，形象思維成為主體。雖然老師在解題過(guò)程與書(shū)寫(xiě)證明中也有所要求，但是運(yùn)用到具體的題型中，學(xué)生明顯存在問(wèn)題。

幾何語(yǔ)言和文言文相似，幾何語(yǔ)言很有可能將通俗語(yǔ)言搞亂。如：怎樣比較兩線段的大??？常規(guī)做法人人都會(huì)，即一端對(duì)齊，往另一端看。幾何教科書(shū)上卻是：將線段a′b′移到ab上。讓a′和a重合，a′b′沿著ab飄下，如果b′位于a點(diǎn)與b點(diǎn)間，則說(shuō)明線段a′b′<線段ab，也可記作：a′b′

最后是定理多，記憶存在困難。例如，在平面幾何學(xué)習(xí)中，一旦學(xué)生不夠理解已有知識(shí)，沒(méi)有能力完善與開(kāi)發(fā)已有的學(xué)習(xí)策略，在死記硬背與生搬硬套中只會(huì)出現(xiàn)似懂非懂、一知半解的情形，從而在概括與感知中造成思維斷層。

二、改善初中生幾何證明書(shū)面表達(dá)的策略

1.重視概念，做好基本功練習(xí)

在幾何證明中，幾何中的定理、概念、公式作為論證推理的依據(jù)，為了規(guī)范初中生幾何證明的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，必須從提升學(xué)生的理解能力著手。在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)定理、概念一知半解時(shí)就去求證，結(jié)果在證明時(shí)亂碰胡套，使思維越來(lái)越混亂，解題能力沒(méi)有達(dá)到預(yù)想的目標(biāo)。針對(duì)這些問(wèn)題，在初中幾何教學(xué)中，可以先將起點(diǎn)降到已有知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活中，通過(guò)為其提供生動(dòng)、感性的知識(shí)，打好根基，充分發(fā)揮師生的主導(dǎo)作用與主體功能。在再現(xiàn)公式情境與定理的基礎(chǔ)上，根據(jù)事物規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。例如，在角的平分線定理中，可以設(shè)計(jì)成：什么是角的平分線？任意畫(huà)一個(gè)角，并且作出平分線；在平分線上任意選取兩點(diǎn)，作出到兩邊的距離，并且比較。從而讓學(xué)生將感性知識(shí)變成理性知識(shí)。這樣就能得出角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等。

首先，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，不僅要學(xué)會(huì)觀察，還要認(rèn)識(shí)與分析幾何圖形，既能識(shí)別簡(jiǎn)單圖形概念，又能從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出某個(gè)概念的圖形。畫(huà)圖是指獨(dú)立正確地展示各種圖形，根據(jù)圖形與例題的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓畫(huà)出的圖形滿足題意。

其次，幾何語(yǔ)言與做好幾何題證明也有很大關(guān)系，幾何語(yǔ)言作為幾何的專(zhuān)門(mén)性語(yǔ)言，具體包含圖形、符號(hào)和文字語(yǔ)言。運(yùn)用好幾何語(yǔ)言對(duì)幾何證明有很大影響。因此，在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，必須將符號(hào)、文字與圖形有機(jī)整合起來(lái)，這樣才能規(guī)范例題證明。

再次，確保每個(gè)推理都有因果與理由，并且因果關(guān)系合理。例如：①∵在△ABC中，∴∠A+∠B+∠C=180°；②∵△ABC≌△EFG，∴∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），AB=EF，BC=FG，BC=EG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。

最后，明確證明書(shū)寫(xiě)的層次關(guān)系。幾何證明由邏輯推理構(gòu)成，包含多個(gè)因果關(guān)系。

2.熟悉著眼點(diǎn)，更好地解決問(wèn)題

在某個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有切實(shí)解決前，必須捕捉有利于解決問(wèn)題的著眼點(diǎn)。如：△ABC為正三角形，三角形的內(nèi)部一點(diǎn)P，讓PA=3，PB=4，PC=5，試求∠APB的度數(shù)，該題中的3、4、5構(gòu)成了勾股數(shù)字，也就是說(shuō)需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)直角三角形。然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)知識(shí)把△ABP繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再連接PQ，得到△PBQ為正三角形，△PQC為直角三角形，即∠APB=150°。

另外，還需要正視常用的輔助線法。如：例題中出現(xiàn)圓切線，那么輔助線就是過(guò)切點(diǎn)的半徑、直徑出現(xiàn)的直角。反之，如果條件中的圓為半徑、直徑，輔助線就是過(guò)半徑、直徑端點(diǎn)的切線。也就是說(shuō)，直徑與切線互相為輔助線。作輔助線最主要的作用是幫我們找準(zhǔn)著眼點(diǎn)，在問(wèn)題簡(jiǎn)單化的前提下，確保證明書(shū)寫(xiě)和解題思路正確。

3.執(zhí)果索因，充分運(yùn)用分析

在幾何定理中，為了確保幾何題書(shū)寫(xiě)證明正確，必須遵循命題原則，在嚴(yán)格推理與分析的基礎(chǔ)上，辯證地轉(zhuǎn)化知識(shí)，鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這樣才有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和知識(shí)運(yùn)用能力。例如：AD為△ABC的高，AE為△ABC外接圓直徑，試證AB×AC=AE×AD。分析：AB×AC=AE×AD可以寫(xiě)成AB/AE=AD/AC，為了證明AB/AE=AD/AC，只要說(shuō)明該線段為兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)線段就可以。整合命題與圖形中已有的條件，只要說(shuō)明△AEB和△ADC相似，就能解決問(wèn)題。

在幾何教學(xué)中，規(guī)范學(xué)生解題證明作為一種課堂教學(xué)藝術(shù)，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)有效性具有重要作用。在書(shū)寫(xiě)上，除了規(guī)范解題證明過(guò)程，更多地需要深化知識(shí)結(jié)構(gòu)，鞏固已有知識(shí)和知識(shí)應(yīng)用能力。因此，在幾何證明中，必須從基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，整合學(xué)生的實(shí)際情況，使用多種教學(xué)方式提高學(xué)生技能，這樣才能快速培養(yǎng)學(xué)生的技能，拓展學(xué)生的視野。

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編輯 王夢(mèng)玉