丁然

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種很重要的思想，本文主要通過對利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合、函數(shù)、方程等幾個典型例題的剖析，讀者便會發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想使得問題既降低了難度，又容易被理解.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)

高中作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要階段，而高中生對于解題研究的理論上還是缺乏全面性、系統(tǒng)性和針對性.數(shù)形結(jié)合，能夠加深對知識的理解，更加深刻認(rèn)識問題的本質(zhì).每年高考中都有一定量的考題采用此法解決，可起到事半功倍的作用.數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想可以解決以下問題.

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

例1 設(shè)A，B，I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是（ ）.

方法二 對這類全是字母描述的集合，我們可以在滿足條件的前提下，設(shè)出具體的集合，用于判斷選項的真假，令A(yù)={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，檢驗四個選項可知，B錯誤.

方法三 利用韋恩圖判定，先畫出滿足題意的韋恩圖（如圖所示），據(jù)圖可知B錯誤.

解題總結(jié)：通過三種方法進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，方法三利用數(shù)形結(jié)合作圖，更為簡單高效，教學(xué)中學(xué)生易于接受，方法一、二通過計算較為復(fù)雜.因此，在教學(xué)中，對于這種一題多解的情況，可以擇優(yōu)選擇方法.

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決方程問題

解決此類問題，需要構(gòu)造出函數(shù)，畫出函數(shù)圖像，找出交點的個數(shù)，即為原方程根的個數(shù).

例2 方程sinx=lgx的實根的個數(shù)有（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.無窮多個

解析 在同一平面直角坐標(biāo)系函數(shù)y=sinx和y=lgx兩圖像，交點的個數(shù)即為原方程根的個數(shù).

由圖中可看出兩函數(shù)圖像有三個交點，此方程共有三個解.

答案：C.

注意：用此法時作圖要精確，否則容易出現(xiàn)錯誤.

三、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

在中學(xué)我們學(xué)習(xí)函數(shù)時，研究函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、周期性、有界性、奇偶性等，函數(shù)的圖像是我們研究中最感興趣的部分之一，我們可以從直觀的圖形上認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì).從初中研究的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，到高中研究的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)時，都與圖形結(jié)合到一起研究.

例3 已知二次函數(shù)f（x）=x2+x+a（a>0），若f（m）<0，則f（m+1）的值是（ ）.

A.0 B.符號與a有關(guān)

C.負(fù)數(shù)D.正數(shù)

分析 先求出函數(shù)f（x）=x2+x與x軸的交點坐標(biāo)，確定小于零時的區(qū)間為（-1，0），區(qū)間長為1，而a>0，則f（x）圖像由函數(shù)f（x）=x2+x向上平移，則f（x）<0的區(qū)間長會小于1，再由f（m）<0，得m+1一定超出了小于零的區(qū)間得到結(jié)論.

解 由f（x）=x2+x=0，解得x=0或x=-1，即兩個零點之間的距離等于1.又因為a>0，所以f（x）圖像由函數(shù)f（x）=x2+x圖像向上平移，此時函數(shù)f（x）的兩個零點之間的距離小于1.因為m+1-m=1，f（m）<0，

所以m+1一定超出了小于零的區(qū)間.

根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知f（m+1）為正數(shù)，

故選D.

總結(jié)：本題不僅需要對二次函數(shù)的性質(zhì)能夠靈活運用，而且能將抽象的函數(shù)關(guān)系與具體的圖形性質(zhì)密切聯(lián)系起來進(jìn)行探究.

最后，希望工作在一線的高中教師在不斷提高專業(yè)知識水平的同時，也不斷提高教學(xué)水平，讓數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)的舞臺上綻放出耀眼的光芒.

【參考文獻(xiàn)】

[1]薛金星.高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識手冊[M].北京：北京教育出版社，2012.

[2]快樂考生·講練測[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2013.