汪國山

【分類號】G420

摘要：知識學習是學生必要的基礎學習，能力培養(yǎng)是學生的提高學習和根本目的。注意用腦學習及在學習過程中即時用腦調(diào)控學習任務、目標、方法、手段等，才是能力提高的關鍵。本文通過一道具體的數(shù)學題讓讀者體驗、思考、感悟其中的道理，從而獲得這種獲得能力。

關鍵詞：用腦學習? 過程調(diào)控? 培養(yǎng)能力

有這樣一道數(shù)學題：兩條線段集一點組成一個角（圖1所示），若在角內(nèi)向頂點引一條線段可組成幾個角？向頂點引兩條、三條線段又可分別組成多少個角？若引出N條線段又可組成多少個角？請你實際畫一畫找出其中的規(guī)律。

我們通過實際畫發(fā)現(xiàn)：引出一條線段（圖2）可以組成3個角;引出二線段（圖3）可以組成6個角;引出三條線段（圖4）可以組成10個角;引出四條線段（圖5）可以組成15個角。若要回答引出N條線段可以組成多少個角，就必然要找出它的規(guī)律。對此，我們參照它們組成的角度，試圖找到它們的通項，可寫了很多個都不合適。它們的通項是什么呢？究竟怎樣才能找到它們的規(guī)律呢？于是我們按照題目的要求再實際畫每一種情況組成的角度數(shù)，并認真分析它們的單角數(shù)，跨一條線段組成的角度數(shù)，跨兩條線段組成的角度數(shù)，跨三條線段組成的角度數(shù)，以此類推，結(jié)果它們的規(guī)律自然就顯露出來了，現(xiàn)將分析過程及數(shù)據(jù)列表如下。（見下頁）

由表可知一個角內(nèi)引出N條線段可以組成一個首項為N+1、尾項為1、等差為1、共有N+1項的遞減數(shù)列，求它一共可組成多少個角的數(shù)量，也即求這個數(shù)列的和?？捎袃煞N方法：一是將首項與尾項相加，次項與次尾項相加，類推，這樣可得到（N+1）÷2項、每一項大小為（N+2）÷2的數(shù)，其和為（N+1）*（N+2）÷2。另一方法是將這一遞減數(shù)列之和轉(zhuǎn)化為求一個底邊為N+1、上底為1、高為N+1的等腰梯形的面積，即（上底+下底）*高÷2，即有[（N+1）+1]*（N+1）÷2。題解完畢。

引出的

線段數(shù)

單

角

數(shù)

跨一條

線段的

角度數(shù)

跨二條

線段的

角度數(shù)

跨三條

線段的

角度數(shù)

跨四條

線段的

角度數(shù)

······

······

······

跨N條

線段的

角度數(shù)

總計的

角度數(shù)

1

2

1

3

2

3

2

1

6

3

4

3

2

1

10

4

5

4

3

2

1

15

··

··

··

··

··

··

··

··

N

N+1

N

N-1

N-2

N-3

····

1

（N+1）（N+2）

2

（上頁表格）

然而同樣是畫出角來，計算總計的角度為什么就寫不出通項，即找不出它的規(guī)律呢？這就是當我們解題（或解決其他問題）遇到困難或障礙時，要及時調(diào)整思路，轉(zhuǎn)換解題方法，否則一條道走到底也許要花費更大精力和更多時間，也許是方法根本性的錯誤，用之無法來解決問題。像本題這樣只考察總計角度，如果花足夠深的功夫也許能找到通項，但事倍功半，得不償失。元認知理論告訴我們?nèi)藗冊诮鉀Q問題時，必須時時對認知（解決問題是實踐過程同時也是認知過程）結(jié)果進行反省、監(jiān)控、以致調(diào)整，直至達到最終目標。本題即是對解題過程反思、監(jiān)控、調(diào)整的典型案例。

其次，不僅在方法上知道轉(zhuǎn)換思路調(diào)整方法，而且要從解題的具體過程中落實轉(zhuǎn)換思路，將軟方法轉(zhuǎn)化為解決具體問題的硬方法，注重解題過程分析與研究，從而達到目的。像上述這道數(shù)學題若不從畫角入手，并在畫的過程中列出單角數(shù)、跨一條線段組成的角度數(shù)、跨二條線段組成的角度數(shù)、以此類推，直至跨N條線段組成的角度數(shù)，就不能發(fā)現(xiàn)當一個角被N條線段分割時，單角數(shù)和跨各線段角數(shù)及它們之間的關系，也即上述表格中最下面一行的數(shù)據(jù)就無從可得，因而本題無從求解?？梢娊忸}或解決實際問題，關注過程落實，注重過程分析是至關重要的。

上述在解題或解決實際問題過程中的適時監(jiān)控、反思、調(diào)整是充分發(fā)揮主觀能動性的體現(xiàn)，是自主解決問題的關鍵;也是學生提升自己分析和解決問題能力的必要手段;還是學會學習、養(yǎng)成愛動腦習慣的重要途徑。而注重分析具體問題，具體應用方法是解題的實際過程和內(nèi)容，沒有它就無從談對解題過程的監(jiān)控調(diào)整，也無從談達到最終的解題目的。這是解本題的二點重要啟示。