周艷

摘 ? ?要： 既沒(méi)有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，又沒(méi)有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí);想讓學(xué)生真正達(dá)到既掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，又能逐步領(lǐng)悟其中思想方法的精髓，就需要我們盡可能地在課堂教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法;在教學(xué)過(guò)程中我們要有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)的是漸進(jìn)性和長(zhǎng)期性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 ? ?數(shù)學(xué)課堂教學(xué) ? ?滲透策略

初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容實(shí)質(zhì)上是由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法這兩個(gè)基本部分組成的。教材的每一章節(jié)都能尋找到這兩個(gè)基本內(nèi)容有機(jī)結(jié)合的身影，也就是說(shuō)沒(méi)有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，也沒(méi)有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)。傳統(tǒng)的教育觀念只重視基礎(chǔ)知識(shí)卻忽視了思想方法，也就忽視了素質(zhì)教育的本質(zhì)，《新課標(biāo)》中“四基”的提出正是體現(xiàn)了這種現(xiàn)代教育的思想。要想讓學(xué)生真正達(dá)到既掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，又能逐步領(lǐng)悟其中思想方法的精髓，就需要我們盡可能地在課堂教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法。之所以用“滲透”描述，是因?yàn)樵诮虒W(xué)過(guò)程中要把知識(shí)和思想方法有機(jī)結(jié)合在一起，不能采用簡(jiǎn)單、生硬的灌輸方式，所以在教學(xué)過(guò)程中我們要有目的、有意識(shí)、有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)的是漸進(jìn)性和長(zhǎng)期性。下面就談?wù)劰P者在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法思考。

1.在概念引入過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可以分為兩種基本形式：一是概念形成;二是概念同化。

概念形成是從外部的、比較具體的非本質(zhì)特征到內(nèi)部的、比較抽象的本質(zhì)特征的不斷深化的過(guò)程。到邏輯定義階段，概念才最終形成。所以，我們通常在教學(xué)中會(huì)從大量的具體例子出發(fā)，讓學(xué)生從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證，歸納方法中概括出一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，在此過(guò)程中可以適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在講解一元二次方程概念時(shí)，先給出已經(jīng)得出的一些具體的方程，分析其特征，抽象出一般形式ax+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）。為了進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵和明確概念的外延，需要再舉出概念的否定例證和肯定例證，包括各種“變式”，如：x-x-6+0，x=0，3x-4=0，x+y=5，2x-x=0，-3=0等。這個(gè)過(guò)程就是從特殊到一般，再由一般到具體的思想的體現(xiàn)。教師也可以適時(shí)介紹歸納思想。在給出的各種變式中，毫無(wú)疑問(wèn)會(huì)有各種需要化簡(jiǎn)整理之后變成一般形式的一元二次方程，這就是我們通常所講的“化歸思想”。

概念同化是指用定義的方式直接向?qū)W習(xí)者呈現(xiàn)一類(lèi)事物的關(guān)鍵特征，學(xué)習(xí)者利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系、相互作用，以領(lǐng)會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念的方式。在同化新概念時(shí)，往往伴隨著某些數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。

例如，在講解反比例函數(shù)時(shí)，直接給出定義，并與“正比例函數(shù)定義”進(jìn)行類(lèi)比，將兩者的一般形式、圖像及其性質(zhì)都可以一一做比較。在這里使用類(lèi)比的思想可以更好地突破難點(diǎn)，使學(xué)生更容易且更深刻地理解新概念和舊概念，促進(jìn)學(xué)生概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，反之也有利于學(xué)生接受這些重要的數(shù)學(xué)思想方法。

2.在定理學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

初中數(shù)學(xué)中有大量定理需要學(xué)生掌握，很多教師并不注重定理的獲得過(guò)程，而只是單方向地強(qiáng)調(diào)定理的使用，這顯然讓學(xué)生失去了很多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)，應(yīng)該加深學(xué)生對(duì)定理的由來(lái)與定理的論證學(xué)習(xí)。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書(shū)上的結(jié)論。”可以說(shuō)定理是壓縮了的知識(shí)鏈，教學(xué)中應(yīng)該遵循“過(guò)程教學(xué)原則”，我們應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生感受、體驗(yàn)，弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，教師也應(yīng)該利用這個(gè)機(jī)會(huì)采用適當(dāng)?shù)姆绞綕B透數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在講解勾股定理時(shí)，可以用邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形引入新課內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生猜想勾股定理的內(nèi)容，再通過(guò)多種方式證明定理，其中涉及公理化思想、轉(zhuǎn)化思想、割補(bǔ)轉(zhuǎn)換思想方法等。然后，適時(shí)利用多媒體展示勾股定理的文化價(jià)值，如：中國(guó)古代的陳子定理、趙爽的代數(shù)方法證明、華羅庚等建議采用勾股定理的名稱(chēng)、古希臘《幾何原本》中的證明、2002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)、和外星人通訊使用的圖案等。這些數(shù)學(xué)文化的欣賞可以極大地提高學(xué)生的興趣，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的理解。數(shù)學(xué)文化的欣賞，是數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)文化的欣賞能揭示數(shù)學(xué)思想的本源及數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的社會(huì)背景，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

3.在問(wèn)題解決學(xué)習(xí)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生離不開(kāi)解題，數(shù)學(xué)教師離不開(kāi)指導(dǎo)學(xué)生怎樣解決問(wèn)題，解題教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的組成部分。但是加強(qiáng)解題教學(xué)，不是搞題型訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)。要想避免題海戰(zhàn)，一方面，需要我們?cè)诮忸}的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納方法，并將之上升到思想的高度。另一方面，在解題活動(dòng)中，應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)意義，加快和優(yōu)化問(wèn)題解決的過(guò)程，突出數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的統(tǒng)攝和指導(dǎo)作用。用“不變”的數(shù)學(xué)思想方法解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣才可以達(dá)到會(huì)一題而明一路、明一路而通一類(lèi)的效果，打破“一把鑰匙只開(kāi)一把鎖”的個(gè)別處理模式，進(jìn)而將學(xué)生從浩瀚的題海中解放出來(lái)。

例如，在講解一元二次方程的應(yīng)用一課時(shí)，有這樣一道例題：“某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，椐市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出500千克;銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10千克。針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況，要使月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少？”經(jīng)過(guò)分析利潤(rùn)、成本及銷(xiāo)售量之間的關(guān)系后，學(xué)生基本能列出一元二次方程解決這道題，但是在碰到下面兩道題目的時(shí)候，學(xué)生就又犯難了。題目1：某商場(chǎng)禮品柜臺(tái)購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可銷(xiāo)售500張，每張盈利0.3元。為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)拇胧?。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天多售出300張。商場(chǎng)要想平均每天盈利160元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？題目2：某商店進(jìn)了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷(xiāo)售800件;如果每件提價(jià)5元出售，其銷(xiāo)售量就將減少100件。如果商店銷(xiāo)售這批服裝要獲利潤(rùn)12000元，那么這種服裝售價(jià)應(yīng)定為多少元？該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝多少件？這兩題分別難在這兩句話上：“每降低0.1元，那么商場(chǎng)平均每天多售出300張”和“每件提價(jià)5元出售，其銷(xiāo)售量就將減少100件”。學(xué)生覺(jué)得列代數(shù)式的時(shí)候一會(huì)乘一會(huì)除，暈乎乎的。有的老師也覺(jué)得題目一直在變，遇見(jiàn)一道再講解一道，其實(shí)完全不必如此。初中數(shù)學(xué)中最常用的轉(zhuǎn)化化歸思想在這里滲透就很有必要。我們應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生將這兩句話轉(zhuǎn)化為我們已會(huì)的形式，如“每降低0.1元那么商場(chǎng)平均每天多售出300張”等價(jià)于“每降低1元那么商場(chǎng)平均每天多售出3000張”，同樣“每件提價(jià)5元出售其銷(xiāo)售量就將減少100件”等價(jià)于“每件提價(jià)1元出售其銷(xiāo)售量就將減少20件”。教會(huì)學(xué)生將問(wèn)題這樣一轉(zhuǎn)化，相信學(xué)生以后再遇到類(lèi)似題目的時(shí)候就能主動(dòng)運(yùn)用化歸思想，輕松解決這類(lèi)問(wèn)題。

再如，很多學(xué)生愛(ài)玩的“一筆畫(huà)”智力游戲其實(shí)就和數(shù)學(xué)上經(jīng)典的“七橋問(wèn)題”一樣，這是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)的好例子。學(xué)生反復(fù)嘗試，有成功也有失敗。圖形是變化無(wú)窮的，而我們無(wú)需掌握所有的圖形。就像“七橋問(wèn)題”那樣抽象出基本要素，我們先探索簡(jiǎn)單圖形的規(guī)律，然后再用較復(fù)雜的圖形驗(yàn)證。這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生自己觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證和使用。我們只需了解：凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫(huà)成。畫(huà)時(shí)可以將任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫(huà)完此圖;凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫(huà)成。畫(huà)時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)則是終點(diǎn);其他情況的圖都不能一筆畫(huà)出。掌握了基本的數(shù)學(xué)思想方法，我們就可以以不變應(yīng)萬(wàn)變了。

在解題教學(xué)中，還應(yīng)適時(shí)采用一題多解、多題一解的教學(xué)方法，將蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法明確化，使學(xué)生掌握其中規(guī)律，進(jìn)而使學(xué)生的能力得到提高。

4.在基本技能訓(xùn)練中滲透數(shù)學(xué)思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，一些基本技能的訓(xùn)練是必不可少的，思想方法的指導(dǎo)不僅有利于學(xué)生熟練解決各種問(wèn)題，更能引導(dǎo)他們從教師指導(dǎo)的各種方法中“悟”出其一般性，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)會(huì)解決一個(gè)問(wèn)題過(guò)渡到解決一類(lèi)問(wèn)題，進(jìn)而理解解題方法的實(shí)質(zhì)，也就是我們的目的——滲透數(shù)學(xué)思想。

基本技能訓(xùn)練主要是針對(duì)一些基礎(chǔ)的知識(shí)和技能的練習(xí)，其主要目的是幫助學(xué)生鞏固舊知。在練習(xí)課和復(fù)習(xí)課中，很多教師把基礎(chǔ)練習(xí)只作為引入的部分，而把“滲透”的重點(diǎn)放在后面的題組上，這樣做無(wú)疑降低了基礎(chǔ)練習(xí)的功能?；A(chǔ)練習(xí)除了回顧舊知外，還應(yīng)該激發(fā)學(xué)生思維，為數(shù)學(xué)思想方法的“滲透”進(jìn)行預(yù)設(shè)。

例如，在講解因式分解一課時(shí)，需要訓(xùn)練學(xué)生將代數(shù)式進(jìn)行“和差化積”的基本技能。這項(xiàng)技能很難引入“實(shí)際情景”加以詮釋?zhuān)矝](méi)有方法在一開(kāi)始就闡明因式分解的意義和價(jià)值（往往到一元二次方程求解時(shí)才顯出其作用），完全是為以后的代數(shù)方程的求解做準(zhǔn)備的。但是，如何進(jìn)行因式分解，則與數(shù)學(xué)思想方法緊密相關(guān)。李庾南老師設(shè)計(jì)了3個(gè)嘗試題：（1）ab+ab，（2）x-4，（3）m-m+。讓學(xué)生嘗試將這些具體的代數(shù)式設(shè)法進(jìn)行“和差化積”。學(xué)生可能成功也可能失敗。于是李庾南教師進(jìn)行啟發(fā)誘導(dǎo)：我們能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”運(yùn)用平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？經(jīng)過(guò)點(diǎn)撥，學(xué)生恍然大悟，將這3個(gè)嘗試題中的多項(xiàng)式化成了兩個(gè)單項(xiàng)式的相乘。有了“公式和規(guī)律”逆向使用的基本數(shù)學(xué)方法作為指導(dǎo)，因式分解的本質(zhì)就顯得十分簡(jiǎn)單了。以后的任務(wù)便是大量地變式練習(xí)、學(xué)習(xí)技巧，形成熟練的因式分解運(yùn)算能力。因式分解模塊，技能訓(xùn)練為主，點(diǎn)睛之筆是“逆向思維”方法，在課堂上只有幾分鐘，意義非凡。

實(shí)踐證明，要使學(xué)生提高解題技能，讓學(xué)生掌握一定的指導(dǎo)解題的思想方法是非常必要的。

5.在實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法不僅是在探索推演中形成的，還需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累基礎(chǔ)上形成。因?yàn)閿?shù)學(xué)源于生活，而生活中處處有數(shù)學(xué)，我們必須結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)，設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在生活實(shí)例中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、感悟數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生深切地感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系。《新課標(biāo)》就專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了“綜合與實(shí)踐活動(dòng)”的課程內(nèi)容，有了多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)才能避免空洞的說(shuō)教。在設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，并將之應(yīng)用到實(shí)踐中，逐步達(dá)到自覺(jué)熟練的程度，以此提高自己的數(shù)學(xué)能力。

6.在階段復(fù)習(xí)的過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

復(fù)習(xí)課需要整體梳理基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生了解知識(shí)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成。只有讓學(xué)生建立了自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體統(tǒng)，吸收新知識(shí)的時(shí)候才能更迅速、有效。數(shù)學(xué)思想方法正是知識(shí)間相互聯(lián)系、相互溝通中的紐帶，可幫助學(xué)生合理構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。反之，在梳理知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)思想方法的作用進(jìn)行歸納、整理和提高，能促使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到系統(tǒng)掌握的目標(biāo)。

例如，在進(jìn)行初三總復(fù)習(xí)時(shí)，可以有目的地開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)思想方法的專(zhuān)題復(fù)習(xí)講座，以初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法（如：數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸）為主線，把中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)科中的支撐和統(tǒng)帥作用，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

7.通過(guò)考試檢測(cè)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)效果

考試對(duì)教學(xué)有引導(dǎo)的作用。近幾年的高考和中考都將數(shù)學(xué)思想方法列入考核的范圍，可見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法的掌握越來(lái)越受到重視，所以我們平時(shí)在考試時(shí)也要考慮到對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的檢測(cè)。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中。因此，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查需要和數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合起來(lái)，通過(guò)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握和應(yīng)用的狀況了解考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握的程度和水平?？疾闀r(shí)，要從學(xué)科整體意義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。根據(jù)這一思路，我們關(guān)鍵是要做好考試題目的設(shè)計(jì)、搭配，考卷的批改和講評(píng)。

總之，要想貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，我們首先要把握教材的全部?jī)?nèi)容及蘊(yùn)含在其中的基本數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)要事先考慮，在哪些知識(shí)點(diǎn)、哪些環(huán)節(jié)可以運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)思想方法，以及哪個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些知識(shí)點(diǎn)中進(jìn)行滲透。這樣才能有計(jì)劃、有步驟地將滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略落到實(shí)處。

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