在實(shí)踐中學(xué)習(xí)概率與排列組合

蔣麗

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐是高效課堂中最重要的環(huán)節(jié)之一。在教學(xué)實(shí)踐中嘗試設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在有趣的課堂活動(dòng)中更好更快地學(xué)習(xí)幾何概型，在親身實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)其中的原理;另外還運(yùn)用了角色扮演，讓學(xué)生在面對(duì)抽象的排列組合問題時(shí)能夠融入角色，在互相討論中分析并解決問題。這種課堂活動(dòng)是教學(xué)過程中的一點(diǎn)創(chuàng)新嘗試，它不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情的積極性，還潛移默化地使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目標(biāo)是活用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞：幾何概型;模擬實(shí)驗(yàn);排列組合;角色扮演

“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！蓖瑯?，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，也需要實(shí)踐。然而，由于課時(shí)緊張，大多數(shù)一線老師忙于趕進(jìn)度，只重視課本理論的教學(xué)，輕視一些有助于學(xué)生理解知識(shí)開發(fā)思維的實(shí)踐活動(dòng)的開展。我個(gè)人認(rèn)為在時(shí)間允許的情況下有必要在課堂上開展一些小型寓教于樂的活動(dòng)，讓學(xué)生親身參與到這些活動(dòng)中。

一、幾何概型的模擬實(shí)驗(yàn)

在投硬幣問題中，我們既可以直接準(zhǔn)備一枚硬幣進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，也可以用隨機(jī)數(shù)表法來模擬試驗(yàn)，旨在用頻率估計(jì)概率。但是，前者比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力，后者卻有易于實(shí)現(xiàn)的好處。用模擬方法可以在短時(shí)間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗(yàn)。模擬方法尤其在幾何概型中應(yīng)用頗為廣泛，這是由幾何概型中樣本的無窮性和等可能性決定的。下面我以課本上的問題為例，具體說明我的模擬方法。

例1.小明家的晚報(bào)在下午5：30～6：30之間的任何一個(gè)時(shí)刻被隨機(jī)地送到，小明一家人在下午6：00～7：30之間的任何一個(gè)時(shí)刻隨機(jī)地開始晚餐。則晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少？

1.仔細(xì)審題

先由學(xué)生審題，從這兩個(gè)已知時(shí)間段入手，了解這是一個(gè)幾何概型的問題，可能要用到xOy平面上的面積之比來解題。

2.轉(zhuǎn)換題目

在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生的興趣，我們先不說本題的精確解法，而是將這種解法轉(zhuǎn)換為模擬實(shí)驗(yàn)：準(zhǔn)備兩個(gè)等分為60份的轉(zhuǎn)盤，分別代表晚報(bào)和晚餐的時(shí)間。轉(zhuǎn)動(dòng)每個(gè)轉(zhuǎn)盤若干次，并記錄每次轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果。由于時(shí)間有限，我們用隨機(jī)數(shù)表法來代替轉(zhuǎn)盤法。現(xiàn)在要求全體同學(xué)用自己的方法在隨機(jī)數(shù)表中找出10個(gè)兩位數(shù)（樣本在00～60之間，不滿足要求的數(shù)直接刪除，找滿10個(gè)為止），把這10個(gè)數(shù)按順序?qū)懺诩埳?。然后讓同桌兩人一組，右邊的學(xué)生找的隨機(jī)數(shù)代表晚餐開始時(shí)間（例如其中一個(gè)數(shù)為20，就代表晚餐開始時(shí)間為6：20），左邊的學(xué)生找的隨機(jī)數(shù)代表晚報(bào)送來時(shí)間（需要進(jìn)行處理，例如25代表5：55，41代表6：11），把兩個(gè)人的數(shù)據(jù)按順序匹配起來，比對(duì)時(shí)間的早晚。統(tǒng)計(jì)出每一組晚報(bào)送來時(shí)間比晚餐時(shí)間早的個(gè)數(shù)，并匯總?cè)嗟慕Y(jié)果，以此來估計(jì)晚報(bào)在晚餐開始之前送到的概率。

3.解決問題

這時(shí)學(xué)生開始活動(dòng)，大家都熱火朝天、有條不紊地進(jìn)行著分工與合作，積極性得到極大的提高。不一會(huì)，大家都完成了任務(wù)，每個(gè)小組把自己的結(jié)果上報(bào)給所在大組的組長(zhǎng)，每個(gè)大組的組長(zhǎng)又把結(jié)果報(bào)了上來，經(jīng)過匯總之后得到所求的頻率約為0.870，與精確值0.875非常接近。

接下來我詳細(xì)地講解了本題的標(biāo)準(zhǔn)解法，用幾何概型的原理，在xOy平面上表示出樣本點(diǎn)的定義域G以及滿足要求的區(qū)域G1，得出所求概率P=

學(xué)生興趣濃厚，專注度在這次活動(dòng)后得到巨大的提高，仔細(xì)認(rèn)真地聽完了這個(gè)解法。

4.學(xué)生小結(jié)

這個(gè)活動(dòng)得到了大家的一致好評(píng)，都認(rèn)為，這個(gè)活動(dòng)活躍了課堂氣氛，增強(qiáng)了自己的動(dòng)手實(shí)踐能力，使自己快速又深刻地掌握了幾何概型的解法的探索過程。不少學(xué)生感慨道：實(shí)踐出真知，以這種方法學(xué)到的東西要比傳統(tǒng)的方法多得多。

5.老師總結(jié)

雖然這是本書的最后一節(jié)內(nèi)容，有很多老師都會(huì)因?yàn)檫@不算高考重點(diǎn)環(huán)節(jié)而直接跳過這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)，但是我認(rèn)為這個(gè)實(shí)驗(yàn)有必要進(jìn)行。它的好處正如之前學(xué)生所說，活躍氣氛，增強(qiáng)動(dòng)手能力，團(tuán)隊(duì)合作能力，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性，有助于學(xué)生更深入地掌握本節(jié)知識(shí)。

二、排列組合中的角色扮演

排列組合作為高中數(shù)學(xué)課本的一章內(nèi)容，因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”的難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目老師很難用比較清晰簡(jiǎn)潔的語言講給學(xué)生聽，有的即使老師覺得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平、思維能力在一定程度上受到限制，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”。下面我將以排列組合中平均分組問題為例說明我在這一部分的教學(xué)過程。

例2.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有幾種分法？

1.仔細(xì)審題

學(xué)生先審題，明確這是一個(gè)分組問題，但每一組沒有編號(hào)，則屬于平均分組問題（需要在分組問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行消序）。

2.轉(zhuǎn)換題目

在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5、6的學(xué)生到前面來，兩人一組，共分為3組，問有多少種分法？

3.解決問題

這時(shí)我選另一名學(xué)生來安排這6位學(xué)生分組，班上其他同學(xué)也都積極思考，努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時(shí)間，學(xué)生有了2種看法：

第一種看法是先安排兩個(gè)同學(xué)到第一組，共有C62=15種分法，再安排兩個(gè)到第二組，共有C42=6種分法，最后兩個(gè)直接進(jìn)入第三組，由乘法原理，共有15×6=90種分法。

第二種看法在第一種的基礎(chǔ)上考慮到了組序問題，例如把1、2號(hào)放在第一組，3、4號(hào)放在第二組，和把1、2號(hào)放在第二組，3、4號(hào)放在第一組的效果是一樣的，需要消去組序，在之前算出結(jié)果的基礎(chǔ)上除以3的全排，即90÷3！=15

經(jīng)過激烈的討論之后，大家一致認(rèn)為第二種思路考慮得更加周到，把第二個(gè)結(jié)果作為本題的答案。

4.老師總結(jié)

平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以n！（n為均分的組數(shù)）避免重復(fù)計(jì)數(shù)。