呂翠華

摘要：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，這要求教師能夠找到好的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，引起學(xué)生認(rèn)知上的沖突，不斷地從一個(gè)問(wèn)題引申到另一個(gè)問(wèn)題。以“少教多學(xué)”的理念為指導(dǎo)，以一個(gè)例題為切入點(diǎn)，解析幾何中定值問(wèn)題的處理方法和思路，得到了處理該類問(wèn)題的一般性方法。

關(guān)鍵詞：解析幾何;定值問(wèn)題;少教多學(xué)

中圖分類號(hào)：G632 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）43-0260-02

一、引言

定值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中最普遍、最重要的題型之一，其表現(xiàn)形式與解決方法千變?nèi)f化。定值問(wèn)題覆蓋面廣、綜合性較強(qiáng)，滲透了化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，因此成為近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。以“少教多學(xué)”的理念為指導(dǎo)，本文從一個(gè)例題談起，引出了解析幾何中的定值問(wèn)題，探究在定值問(wèn)題上的處理思路和方法，為學(xué)生分析、解決該類問(wèn)題提供一定的借鑒和指導(dǎo)?；诒救四暇┦谢A(chǔ)教育教師示范課——解析幾何中的定值問(wèn)題整理而成的。下面摘錄其中的一些教學(xué)過(guò)程片段。

二、教學(xué)片斷

問(wèn)題（一）：已知過(guò)拋物線C：y= ?x ?的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x ?，y ?），B（x ?，y ?）兩點(diǎn)，求證：x ?x ?為定值。

注：三分鐘后同學(xué)們開(kāi)始交流思路。

S1：通過(guò)分析已知條件，過(guò)焦點(diǎn)F（0，1）的直線l的方程可以設(shè)為y=kx+1。由于直線l交拋物線于兩點(diǎn)A，B，故A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足y=kx+1y= ?x ?。由題目中所求的結(jié)果“x ?x ?”，聯(lián)想到韋達(dá)定理。

T：非常好！你抓住了最終的求解目標(biāo)！可是如果題目不是求x ?x ?， 而是求2x ?+x ?怎么辦呢？

S2：只要把上述方程組解出來(lái)就可以了！

T：下面請(qǐng)這兩位同學(xué)分別用剛才的分析思路給出該題目的完整過(guò)程。

S1：（解法一）設(shè)直線方程為y=kx+1，因?yàn)橹本€l交拋物線兩點(diǎn)，所以y=kx+1y= ?x

故，x ?-4kx-4=0，由韋達(dá)定理得：x ?x ?=-4。

S2：（解法二）由x ?-4kx-4=0解得x1=2k+2 ?，x2=2k-2 ?，故x ?x ?=-4。

T：其他的同學(xué)讓我們繼續(xù)思考！分析剛才這兩位同學(xué)的做法：通過(guò)認(rèn)真審題，從題目中所給的兩個(gè)條件中捕捉到了他們想要的信息順利解決了這個(gè)問(wèn)題。已知條件是我們解決問(wèn)題的前提，下面我們一起把題目重新解讀一遍，看能否嘗試著從另外一個(gè)角度解決這個(gè)問(wèn)題。比如：上述同學(xué)看到題目已知條件中的“過(guò)”就能想到寫(xiě)出直線的方程，看到“交”就能想到聯(lián)立方程組，他們直接把“幾何問(wèn)題代數(shù)化”，即從“數(shù)”的角度解決了這個(gè)問(wèn)題——體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

T：從“過(guò)拋物線C：y= ?x ?焦點(diǎn)F的直線”，能得到哪些信息？

S：點(diǎn)在直線上。

T：從“直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)”，能得到信息？

S：A，B兩點(diǎn)既在直線上，又在拋物線上。

T：綜合上述兩條我們是否可以得到A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線？有哪些方法可以刻畫(huà)“三點(diǎn)共線”？

S3：斜率相等，即：k ?=k ?。

S4：向量共線，即： ?與 ?共線。

S5：線段相等，即：AB=AF+BF。

S6：還可以設(shè)出AB的直線方程，然后代入F的坐標(biāo)。

T：好的，我們暫時(shí)交流到這里，接下來(lái)請(qǐng)選擇一種你最喜歡的方法把這個(gè)問(wèn)題解出來(lái)。（同時(shí)找學(xué)生板演）

S3：（解法三）由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可得

k ?=k ?，即： ?=

又因?yàn)閥 ?= ?x ? ?，y ?= ?x ? ?，所以 ?=

整理化簡(jiǎn)得（x ?-x ?）（x ?x ?+4）=0，

有x ?≠x ?知，x ?x ?=-4。

S4：（解法四）因?yàn)锳、F、B三點(diǎn)共線，所以 ?// ?。

又 ?=（x ?，y ?-1）， ?=（x ?，y ?-1），

∴x ?（y ?-1）=x ?（y ?-1）。

下面的步驟與解法三相同，限于篇幅，在此省略。

S5：（解法五）由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，可得AB=AF+BF，即

=

+

根據(jù)拋物線的第二定義得，

=（y ?+1）+（y ?+1）

整理化簡(jiǎn)上式得：

x ? ?-2x ?x ?+x ? ?=4y ?y ?+4y ?+4y ?+4，將y ?= ?x ? ?，y ?= ?x ? ?，代入上式得（x ?x ?） ?+8x ?x ?+16=0，所以x ?x ?=-4。

S6：（解法六） 直線AB的方程為y-y ?= ?（x-

x ?），點(diǎn)F（0，1）在直線AB上，即1-y ?= ?（0-x ?）.

將y ?= ?x ? ?，y ?= ?x ? ?，代入得1- ?x ? ?= ?（x ?+x ?），即x ?x ?=-4。

T：上面的4位同學(xué)已經(jīng)完成，下面看能否想個(gè)辦法來(lái)快速的檢驗(yàn)結(jié)果的正確性？

S：代特殊值。

T：嗯，很好！最后讓我們回顧一下，剛才我們解決了一個(gè)什么樣的問(wèn)題？

S：定值問(wèn)題。

T：同學(xué)們通過(guò)感受剛才解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，你都有哪些收獲？

同學(xué)們竊竊私語(yǔ)，認(rèn)真討論……

T：最后將學(xué)生合作交流的收獲總結(jié)如下：

1.解題思路：解題時(shí)首先要看清題目中的已知條件，明確每一個(gè)已知條件的含義，并會(huì)適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行轉(zhuǎn)化;即：明確“有什么”，要提高目標(biāo)意識(shí)，了解要“干什么”，最后結(jié)合著“有什么”和“干什么”來(lái)制定出解決問(wèn)題的方案，確定“怎么干”，這是我們處理一般性問(wèn)題的法寶！

2.知識(shí)層面：（1）要想得到圓錐曲線的某些基本量，一定先將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式才可以。（2）“交點(diǎn)”的代數(shù)意義——方程組的解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“x ?，x ?是消去y后的關(guān)于x的一元二次方程的解”。（3）處理A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線的方法。（4）x ?x ?是定值，說(shuō)明在某個(gè)運(yùn)動(dòng)變化中是不變的，此時(shí)要關(guān)注是什么在變？比如是斜率在變，只要說(shuō)明x ?x ?與斜率無(wú)關(guān)。

T：剩下的時(shí)間，我來(lái)考考同學(xué)們是否真正掌握了本節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)大家自己編個(gè)題試試。

同學(xué)們都躍躍欲試，編寫(xiě)了題目，并給出了解法，限于篇幅，此處省略。

老師根據(jù)剛才的題目，也編了一個(gè)例題。

問(wèn)題（二）：變式練習(xí)：

已知拋物線C：y= ?x ?上有A（x ?，y ?），B（x ?，y ?）兩點(diǎn)，滿足x ?x ?=-4。求證：經(jīng)過(guò)A，B的直線與y軸交于定點(diǎn)。分析：

T：“看到這個(gè)問(wèn)題你是怎么想的？”——我們研究的對(duì)象是誰(shuí)？

S：與y軸的交點(diǎn)，即縱截距。

T：所以若要說(shuō)明它是一個(gè)定值，首先應(yīng)該把這個(gè)量先表示出來(lái)，然后再證明即可。

S7：（解法一） 設(shè)定點(diǎn)為P（0，b），則 ?=（x ?，y ?-b）與 ?=（x ?，y ?-b）共線

即：x ?（y ?-b）=x ?（y ?-b），然后將

y ?= ?，y ?= ?代入，化簡(jiǎn)即得b=1.

S8：（解法二） 設(shè)直線AB的方程為：y- ?= ?（x-x ?），令x=0，得：y=- ?=1.

S9：（解法三） 設(shè)直線方程為y=kx+b由方程組x ?=4yy=kx+b，得：x ?-4kx-4b=0.

由韋達(dá)定理可得：x ?x ?=-4b，故b=1。

T：通過(guò)比較這兩個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)（0，1）時(shí)，x ?x ?=-4，難道直線經(jīng)過(guò)其他點(diǎn)的時(shí)候x ?x ?的值就不是-4了嗎？如果把直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)（0，1）改為過(guò)（0，2），的值還會(huì)是定值嗎？如果不是定值那應(yīng)該是多少呢？請(qǐng)同學(xué)們課下認(rèn)真思考，看看你會(huì)得到什么樣的結(jié)果。

課堂總結(jié)，布置作業(yè)（略）。

三、教學(xué)后記

本次公開(kāi)課，從一個(gè)典型例題出發(fā)，研究了解析幾何中的定值問(wèn)題，通過(guò)教師步步設(shè)問(wèn)，充分挖掘題目的條件，激發(fā)了學(xué)生發(fā)散性思維，拓寬了解題思路。得到了處理一般性問(wèn)題的法寶，即：明確“有什么”，要提高目標(biāo)意識(shí)，了解要“干什么”，最后結(jié)合著“有什么”和“干什么”來(lái)制定出解題方案，即確定“怎么干”。

參考文獻(xiàn)：

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[3]李昭平.處理解析幾何中定值問(wèn)題的幾種策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2003，（6）.