呂 驥

(鄂南高級中學，湖北 咸寧 437100)

關于函數定義域求法的探析報告

呂 驥

(鄂南高級中學，湖北 咸寧 437100)

毫無疑問，函數是中學階段最重要的一個知識點，也是高中數學學習的一道分水嶺。函數的基礎知識在現實生活、社會、經濟及其他學科中有著廣泛的應用；函數概念及其反映出的數學思想方法已廣泛滲透到數學的各個領域，是進一步學習數學的重要基礎。而函數的定義域又是函數中重要的“三要素”之一，如何準確地求出函數的定義域，自然就成為了重中之重。在學習過程中，老師們應當講解清楚定義域的常見求法。

函數；定義域；常見方法

函數在高考和各類數學競賽中都有廣泛的應用，屬于必考內容，既是重點內容又是難點內容。想要攻克這一重難點，必須探析清楚定義域的常見求法。以下分具體函數和抽象函數兩大類型來介紹定義域求法。

一、具體函數求定義域

已知函數的解析式求定義域，一般有以下幾種情況：

(1)分式中的分母不為零；

(2)偶次方根下的數(或式)大于或等于零；

(3)零指數冪的底數不等于零；

(4)指數式的底數大于零且不等于一；

(5)對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。

當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。

例1：求下列函數的定義域：

∴x<-2且x≠-4，故其定義域為{x<-2且x≠-4}。

∴x≤-3且x≠-11或x>5,故其定義域為 {x|x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}

∴-4

(1) 求A；

(2) 若B?A,求實數a的取值范圍。

∴A=(-∞,-1)∪[1,+∞)。

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得

(x-a-1)(x-2a)<0。

∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a,a+1)，

a≤-2.又a<1，

解得1

綜上所述，使得函數的定義域為R的a的取值范圍是[1,9]。

小結：會求函數的定義域是正確求解一切函數問題的基礎，求解時要注意找全找準限制條件，并正確找到公共部分，且最后定義域一定要寫成集合或區(qū)間的形式。

二、抽象函數求定義域

抽象函數是指沒有明確給出具體解析式的函數，解決其有關問題是具有一定難度的，特別是求其定義域時，會令許多學生感到迷惑。

下面結合實例介紹抽象函數定義域問題的幾種題型及求法：

1.已知f(x)的定義域，求f[g(x)]的定義域。

求解思路：若f(x)的定義域為m≤x≤n，則在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，解得x的取值范圍構成的集合，即為f[g(x)]的定義域。

例4：已知函數f(x)的定義域為[-2，3]，求函數f(x2-1)的定義域。

解：令-2≤x2-1≤3，得-1≤x2≤4，解得-2≤x≤2，

故函數的定義域是[-2,2]。

2.已知f[g(x)]的定義域，求f(x)的定義域。

求解思路：若f[g(x)]的定義域為a≤x≤b，則由a≤x≤b確定的g(x)的范圍構成的集合，即為f(x)的定義域。

例5：已知函數f(x2-2x+3)的定義域為[-1,3]，求函數f(x)的定義域。

解：由-1≤x≤3，得2≤x2-2x+3≤6，

令u=x2-2x+3，則f(x2-2x+3)=f(u),2≤u≤6，

故f(x)的定義域為[2,6]。

3.已知f[g(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域。

求解思路：可先由f[g(x)]定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求得f[h(x)]的定義域。

例6：已知f(2x-1)的定義域為[1，2]，求

f(x2)的定義域。

解：由1≤x≤2，得1≤2x-1≤3，

故φ(x)的定義域為[-4,0]。

小結：求抽象函數的定義域最主要的還是要掌握函數定義域的實質，其操作要領總結起來就是兩點：一是什么是函數的定義域(即自變量x取值范圍的集合，函數f(x)的自變量是x，函數f[g(x)]的自變量也是x；二是同一個對應法則下代數式的取值范圍一致(即f[g(x)]中的g(x)和 f[h(x)]中的h(x)取值范圍一致。

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2016-11-06

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