廣東廣雅中學(xué)(510160) 黃淑珍

利用變式教學(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力的范例設(shè)計(jì)—以《拋物線(xiàn)定義及其幾何性質(zhì)》為例

廣東廣雅中學(xué)(510160) 黃淑珍

一、反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與動(dòng)力

世界著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育大師荷蘭的弗賴(lài)登塔爾教授精辟指出:“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”,“通過(guò)反思才能使(學(xué)生)的現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”,“沒(méi)有反思,學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:“教師應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí),要不斷的運(yùn)用直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表現(xiàn)、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與構(gòu)建等思維過(guò)程.”課標(biāo)還指出,評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否能夠?qū)ψ约旱臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不斷進(jìn)行反思,能夠及時(shí)有效地調(diào)整學(xué)習(xí)方法.在此基礎(chǔ)上教師要合理的利用教材,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行教材整合,使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠獨(dú)立自主的進(jìn)行觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、反思.教師要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的空間.由此可見(jiàn),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).

事實(shí)上,反思是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要途徑.費(fèi)賴(lài)登塔爾的觀點(diǎn):數(shù)學(xué)直覺(jué)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中,需要分析直覺(jué),并且要對(duì)推理過(guò)程做出判斷和確認(rèn),表達(dá)出推理的過(guò)程.因此,教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思,能夠思考自己的判斷與經(jīng)歷的活動(dòng),能夠主動(dòng)挖掘隱含在思維深處的實(shí)質(zhì)問(wèn)題,深入理解并努力證實(shí)數(shù)學(xué)化的過(guò)程,從而借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法,創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.在現(xiàn)實(shí)中,反思能力強(qiáng)的學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往表現(xiàn)出強(qiáng)烈的探究精神,并時(shí)時(shí)有意識(shí)的在“反省”中探究問(wèn)題和答案,重構(gòu)自己的理解,激活個(gè)人的智慧,并超越已有信息,使創(chuàng)新意識(shí)和能力得以形成和發(fā)展.

可見(jiàn),培養(yǎng)學(xué)生的反思能力是十分必要的,在高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)反思能力是對(duì)學(xué)生終身發(fā)展的人文關(guān)懷,有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考并作出判斷.

二、變式教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)反思能力的重要手段

著名教育學(xué)家顧泠沅先生有一句樸素而富有哲理的名言:“聽(tīng)懂的東西做出來(lái),做出來(lái)的東西說(shuō)出來(lái).”在數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣才能完成顧先生所提出的“聽(tīng)懂—做出—說(shuō)出”的過(guò)程呢?顧泠沅教授提出了變式過(guò)程模式,它是實(shí)施課堂有效教學(xué)的有效手段.在新課程背景下數(shù)學(xué)變式問(wèn)題設(shè)計(jì)的實(shí)踐與研究,應(yīng)是課堂有效教學(xué)的策略和方法的優(yōu)先選項(xiàng).

數(shù)學(xué)變式教學(xué),是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷的變化數(shù)學(xué)概念中非本質(zhì)特征、變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問(wèn)題的形式或內(nèi)容,誘發(fā)學(xué)生從不同角度、不同位置、不同方法去思考問(wèn)題,培養(yǎng)創(chuàng)新思維,抑制或削弱定勢(shì)思維的一種教學(xué)方法.

通過(guò)變式教學(xué),使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題理解與解決時(shí)設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行多角度、多層次、多形式的理性思考:通過(guò)變式教學(xué)揭示問(wèn)題的本質(zhì),化繁為簡(jiǎn),顯示出高層次的思維活動(dòng):通過(guò)變式教學(xué)體現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)辨析、拓展、再創(chuàng)造的思維特質(zhì)與習(xí)慣.因此變式教學(xué)有利于提升反思能力,而反思能力是學(xué)生綜合素質(zhì)發(fā)展的重要標(biāo)志.

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式,學(xué)生缺少自主探究,自我反思和獨(dú)立獲取知識(shí)的機(jī)會(huì).事實(shí)上,教學(xué)的本質(zhì)是正確的引導(dǎo)學(xué)生,教師的角色不能掩蓋學(xué)生的主體性反思的過(guò)程匯總,學(xué)生不僅能對(duì)學(xué)到的知識(shí)回顧和重復(fù),而且還可以研究數(shù)學(xué)活動(dòng)所涉及的知識(shí)方法和思路等.

變式教學(xué)是廣大教師在課堂實(shí)踐中經(jīng)常使用的教學(xué)方式之一,變式、反思這兩個(gè)詞對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生,但要做到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生能自覺(jué)反思、主動(dòng)變式,還需要教師來(lái)培養(yǎng).筆者通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐,探究如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、變式,使學(xué)生逐步獲取核心要素,形成反思能力,把握概念、原理、性質(zhì)、問(wèn)題的本質(zhì),促進(jìn)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高.

三、利用變式教學(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力的范例設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,常規(guī)的課堂有:概念課、規(guī)則課、解題課等.下面以人教版A版教材選修1-1中2.3《拋物線(xiàn)定義及其幾何性質(zhì)》為例,通過(guò)各種課型范例設(shè)計(jì)談?wù)勅绾卫米兪浇虒W(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力.

1.概念課范例

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程,就是不斷的建立各種數(shù)學(xué)概念的過(guò)程”.由此可見(jiàn),深刻理解并準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念是何等重要.從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求來(lái)看,形成數(shù)學(xué)概念、揭示其內(nèi)涵與外延,比數(shù)學(xué)概念的定義本身更為重要.在形成概念的過(guò)程中,可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極參與形成概念的全過(guò)程,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,通過(guò)多樣化的變式,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及概括能力.

例如拋物線(xiàn)的定義:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn).這個(gè)概念的形成,我們可以這樣操作:橢圓、雙曲線(xiàn)第一定義引入,變換表述得到橢圓、雙曲線(xiàn)第二定義,兩者的第二定義中缺少了e=1的情況,通過(guò)幾何畫(huà)板演示可以得到拋物線(xiàn)的概念:

變式1:從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象引入,將圖象旋轉(zhuǎn)90°后思考:還是拋物線(xiàn)嗎?不難得到,還是拋物線(xiàn),只是開(kāi)口方向變了,本質(zhì)沒(méi)變:

變式2: 二次函數(shù)圖象引入,圖象對(duì)稱(chēng)又美觀,可是它是如何形成的呢?通過(guò)幾何畫(huà)板設(shè)置參數(shù)形成動(dòng)畫(huà),讓學(xué)生反思得到拋物線(xiàn)形成需要滿(mǎn)足的條件:

概念形成之后我們可以引導(dǎo)學(xué)生反思做出變式:

變式3:抓住字眼“相等”,反思,如果兩距離不相等,則兩者比例大于1或小于1,此時(shí)軌跡分別是什么呢?橢圓、雙曲線(xiàn)的第二定義與拋物線(xiàn)定義有啥區(qū)別與聯(lián)系呢?

變式4:抓住字眼“定點(diǎn)”“定直線(xiàn)”,反思點(diǎn)和直線(xiàn)位置關(guān)系,則應(yīng)考慮點(diǎn)在直線(xiàn)上或點(diǎn)不在直線(xiàn)上,此時(shí)軌跡分別是什么呢?

此時(shí),聯(lián)系我們剛學(xué)完的常用邏輯用語(yǔ),可以引導(dǎo)學(xué)生反思得到下面的范例:

變式5:在平面內(nèi),“點(diǎn)P到某定點(diǎn)的距離等于其到某定直線(xiàn)的距離”是“點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)”的___條件:

前面變式范例是抽象定義,我們反思,如何用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示呢?由此得到:

變式6:過(guò)點(diǎn)A(1,0),且與直線(xiàn)l:x=-1相切的圓的圓心的軌跡是___:

對(duì)于平行于y軸的直線(xiàn)系,點(diǎn)到這些直線(xiàn)的距離有什么特點(diǎn)呢?這些直線(xiàn)之間的距離又有什么特點(diǎn)呢?由此得到:

變式7: 已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)l:x=-5的距離小1,點(diǎn)M的軌跡方程是____:

改變數(shù)學(xué)語(yǔ)言,用距離公式來(lái)表示定義,不難得到:

變式8:若則動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡___;

概念教學(xué)的同時(shí),也要明確概念的應(yīng)用,通過(guò)設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練,從多角度強(qiáng)化概念的實(shí)踐應(yīng)用,進(jìn)一步鞏固概念.

變式9:設(shè)拋物線(xiàn)y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離是____:

變式10:設(shè)拋物線(xiàn)y2=8x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離為6,則點(diǎn)P坐標(biāo)是___.

在這里,我們運(yùn)用變式教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反思,每個(gè)變式都有差異,但萬(wàn)變不離其宗,都是為了深入理解和揭示拋物線(xiàn)的定義.

概念型變式范例的設(shè)計(jì),一般可以引導(dǎo)學(xué)生從以下方面反思:

(1)概念的形成過(guò)程:(2)概念中的規(guī)定和限制,定義中關(guān)鍵的字眼:(3)涉及的點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系、幾何圖形關(guān)系:(4)概念的名稱(chēng)、數(shù)學(xué)表述方式:(5)邏輯推理過(guò)程演變:(6)概念是否有等價(jià)條件?(7)新舊概念聯(lián)系、類(lèi)比、遷移:(8)抽象定義的形成可通過(guò)聯(lián)系實(shí)際設(shè)置問(wèn)題:

利用變式教學(xué)模式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,通過(guò)探究和變式來(lái)理解數(shù)學(xué)概念,打破了以前只注重做題不注重概念形成過(guò)程的學(xué)習(xí)方式,學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力得到了很好的培養(yǎng).

2.規(guī)則課范例

以高中數(shù)學(xué)的公理、定理、公式、法則、性質(zhì)等規(guī)則的教學(xué)為主要任務(wù)的課,稱(chēng)為高中數(shù)學(xué)規(guī)則課.例如《拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》一節(jié)中,講授焦點(diǎn)弦的性質(zhì)時(shí),我們可以用課本例題引入.如課本61頁(yè)例4:斜率為1的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn),且與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).

結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)時(shí)處理弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法,引導(dǎo)學(xué)生一題多解,得到:

解法1:直接聯(lián)立方程,解出兩根,兩點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)距離公式求解:

解法2: 聯(lián)立方程,得到一元二次方程,用弦長(zhǎng)公式求解:

解法3: 聯(lián)立方程,得到一元二次方程,應(yīng)用拋物線(xiàn)定義,|AB|=x1+x2+p求解.

通過(guò)一題多解,讓學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用定義的幾何法的簡(jiǎn)便,引導(dǎo)學(xué)生反思:為什么可以應(yīng)用拋物線(xiàn)的定義?拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦這個(gè)公式能通用嗎?關(guān)注弦長(zhǎng)、坐標(biāo)和作圖變化,可以拓展得到以下的變式.

變式1: 經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F任作一條直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|=x1+x2+p.

變式2:焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)有最小值嗎?

變式3:焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的關(guān)系

變式4:

變式5:以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切:

變式6:以AF及BF為直徑的圓與y軸相切:

變式7:分別作AA1⊥準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)A1,BB1⊥準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)B1,則∠A1FB1=90°:

變式8:BC//x軸,則直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O;反之,通過(guò)點(diǎn)A和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)D,直線(xiàn)DB平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.即過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的一端,作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),那么垂足、原點(diǎn)以及弦的另一個(gè)端點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn):

變式9:過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線(xiàn)互相垂直:

變式10:拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡:

對(duì)于焦點(diǎn)弦問(wèn)題,變式9是容易證明的.按照從特殊到一般的原則,結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,可以證明.焦點(diǎn)能否換成對(duì)稱(chēng)軸上的其他點(diǎn)呢?

事實(shí)上,直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)M(a,0),D在直線(xiàn)x=-a上且A,O,D三點(diǎn)共線(xiàn),BD//x軸,這三個(gè)條件中,以任兩個(gè)為條件,就能推導(dǎo)出第三個(gè).

規(guī)則課變式的設(shè)計(jì),一般可以引導(dǎo)學(xué)生從以下方面反思: (1)特殊性質(zhì)的證明方法:(2)一題多解:(3)特殊性質(zhì)到一般規(guī)律:(4)點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系:(5)三角形、梯形、圓等幾何圖形關(guān)系:(6)題設(shè)與結(jié)論互換:(7)代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀結(jié)合,數(shù)形結(jié)合:

通過(guò)變式反思,不僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和原理的掌握,還有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力.

3.解題課范例

解題教學(xué)應(yīng)以知識(shí)獲得為基礎(chǔ),以方法訓(xùn)練為途徑,以思維發(fā)展為主線(xiàn),以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和解題能力為重點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力和探究意識(shí),發(fā)展學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生的自我評(píng)價(jià)水平,提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),優(yōu)化學(xué)生的個(gè)性品質(zhì).解題課是規(guī)則課的拓展或綜合,它用來(lái)展示一類(lèi)問(wèn)題的解決思路或過(guò)程.為得到有效的遷移效果,可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生反思過(guò)程,實(shí)施合理變式.

如關(guān)于拋物線(xiàn)的最值問(wèn)題,從“將軍飲馬問(wèn)題”引入:唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng),請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短?

“將軍飲馬問(wèn)題”在橢圓最值、雙曲線(xiàn)最值時(shí)曾經(jīng)接觸過(guò),也清楚求解過(guò)程中需要靈活運(yùn)用定義轉(zhuǎn)換兩條焦半徑,這類(lèi)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生反思:在拋物線(xiàn)中能夠用它來(lái)求最值呢?深入分析可知,拋物線(xiàn)的最值問(wèn)題離不開(kāi)焦半徑和準(zhǔn)線(xiàn).

例如:改編課本61頁(yè)例4,已知P為拋物線(xiàn)y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

變式1:求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線(xiàn)x=-1的距離之和的最小值:

反思:此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)怎么求出?A點(diǎn)位置一定要在準(zhǔn)線(xiàn)上嗎?

變式2:若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值:

變式3: 已知P為拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),B(3,2)為拋物線(xiàn)內(nèi)一定點(diǎn), |PB|+|PF|的最小值為4,求拋物線(xiàn)方程:

反思:具備定義背景的最值問(wèn)題,根據(jù)拋物線(xiàn)的定義轉(zhuǎn)為幾何問(wèn)題來(lái)處理,將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離互相轉(zhuǎn)化,看到準(zhǔn)線(xiàn)聯(lián)想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)聯(lián)想準(zhǔn)線(xiàn).將軍飲馬問(wèn)題的本質(zhì)是,同側(cè)差最大,兩側(cè)和最小.

類(lèi)比橢圓,最值問(wèn)題最基本的題型有:(1)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線(xiàn)(準(zhǔn)線(xiàn)或平行于準(zhǔn)線(xiàn)的直線(xiàn))的距離之和: (2)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)(非準(zhǔn)線(xiàn))的距離:于是還可以得到下面的變式:

變式4:則點(diǎn)P到直線(xiàn)x-y+3=0的距離的最小值為_(kāi)__,點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)__;

變式5:點(diǎn)P到直線(xiàn)l1:x-y+3=0的距離為d1,點(diǎn)P到直線(xiàn)l2:x=-1的距離為d2,則d1+d2的最小值是___:其中準(zhǔn)線(xiàn)也可以換車(chē)平行于準(zhǔn)線(xiàn)的其他直線(xiàn):

反思:變式4可以用兩種方法來(lái)解決.圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種:一是代數(shù)法,通過(guò)建立函數(shù)、不等式模型,利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值:二是幾何法,從圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)出發(fā),根據(jù)幾何意義求最值.

前面兩組變式均是從定義出發(fā),解決了最基本的最值問(wèn)題.變式4、5的代數(shù)法可以轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系.此外,再進(jìn)一步挖掘代數(shù)式的幾何意義,同樣可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是一致的.例如:

變式6: 已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足方程y2=4x,則函數(shù)的最值是多少?

反思上例,聯(lián)系線(xiàn)性規(guī)劃最值題型,學(xué)生容易得到:

變式7: 點(diǎn)(x,y)在拋物線(xiàn)y2=4x上運(yùn)動(dòng),求函數(shù)z=x-y的最值.

變式8: 已知P為拋物線(xiàn)y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),A(-1,0)是一個(gè)定點(diǎn),則的最小值是____:

反思第三組變式,我們可以發(fā)現(xiàn)只要清晰代數(shù)式的幾何意義,問(wèn)題本質(zhì)就是一致的,依然是研究直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系,也可用設(shè)點(diǎn)代入消元法來(lái)求解.

前三組變式中題干中的點(diǎn)都是定點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生反思,能否把定點(diǎn)改成動(dòng)點(diǎn)呢?我們常見(jiàn)的動(dòng)點(diǎn)軌跡有哪些呢?圓的最值問(wèn)題我們是怎么解決的呢?于是得到:

變式9:Q為圓x2+(y-4)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值是____:

引導(dǎo)學(xué)生反思,在變式范例中,我們實(shí)現(xiàn)了定點(diǎn)換成動(dòng)點(diǎn)出題,那么直線(xiàn)能作一些變式嗎?教師可以給出范例:

變式10:已知定長(zhǎng)為5的線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離是____;

反思變式10,發(fā)現(xiàn)最短距離出現(xiàn)在直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的時(shí)候,并不是直線(xiàn)AB垂直x軸.那么直線(xiàn)AB移動(dòng)過(guò)程中,中點(diǎn)M的軌跡能夠求出呢?

變式11:已知定長(zhǎng)為5的線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上移動(dòng),求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

我們還可以引導(dǎo)學(xué)生課后用幾何畫(huà)板畫(huà)出了中點(diǎn)M的軌跡,會(huì)發(fā)現(xiàn),直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn),中點(diǎn)在x軸上方、下方各出現(xiàn)一次最值.為什么不是在垂直x軸時(shí)候呢?這跟給定弦長(zhǎng)5有密切關(guān)系.最短的通徑是4,所以把弦長(zhǎng)5改成3,這時(shí)最值、中點(diǎn)軌跡又會(huì)怎么樣呢?

變式12:已知定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的兩端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上移動(dòng),求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

至此,我們已經(jīng)把拋物線(xiàn)最值問(wèn)題從基本題型反思變式引出許多與拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)和其圖形本質(zhì)特質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題結(jié)論和解決方法.事實(shí)上,我們可以繼續(xù)變式,如:

變式13:直線(xiàn)y=x+b被拋物線(xiàn)y2=4x截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為5,求直線(xiàn)方程:

變式14:求直線(xiàn)y=x+b被拋物線(xiàn)y2=4x截得的線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程:

變式15:拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,A、B是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足∠AFB=120°,設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N,則的最大值是____.

變式16: 已知P為拋物線(xiàn)y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A(-2,0),B(-4,0),求取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo):

變式17: 已知P為拋物線(xiàn)y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q(a,0)都滿(mǎn)足|PQ|≥|a|,則a的最大值為_(kāi)___:

綜合以上變式,可以回到最初的問(wèn)題:“將軍飲馬問(wèn)題”在解決直線(xiàn)、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的最值問(wèn)題中是如何應(yīng)用的?圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題有哪些類(lèi)型和解法?

每一步的反思聯(lián)想,都會(huì)有新的變式,每一步解決新的變式,我們應(yīng)該有進(jìn)一步的反思.反思、變式就這樣交替出現(xiàn),問(wèn)題引領(lǐng),激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,這樣的課堂就是一個(gè)無(wú)限延展無(wú)限發(fā)散的舞臺(tái),學(xué)生的反思能力得到進(jìn)一步的提升,進(jìn)而思維品質(zhì)也得到發(fā)展.

解題課變式范例的設(shè)計(jì),一般可以引導(dǎo)學(xué)生從以下方面反思:(1)一題多解:(2)改變題目條件如數(shù)據(jù)衍變等:(3)變換數(shù)學(xué)描述語(yǔ)言:(4)融合知識(shí)點(diǎn)變換題型:(5)定點(diǎn)、定直線(xiàn)等改成動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線(xiàn):(6)特殊結(jié)論到一般結(jié)論:(7)條件和結(jié)論互換:(8)類(lèi)型題變式,多題通法:

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象的指出:“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周?chē)乙徽?很可能附近就有好幾個(gè).”變式教學(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力,就是一題多用,一題多變,多題重組,借題發(fā)揮,讓學(xué)生理解新知把握本質(zhì),主動(dòng)反思主動(dòng)變式,主動(dòng)聯(lián)想主動(dòng)發(fā)現(xiàn),使知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通,從一個(gè)例題引出一系列問(wèn)題,提高課堂效率,讓學(xué)生思維得到充分的鍛煉和發(fā)展.

四、變式教學(xué)培養(yǎng)高中生反思能力的實(shí)踐成效與思考

利用變式教學(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力中,關(guān)鍵步驟就是如何抓住本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生不斷變式,變式后繼續(xù)反思,反思后繼續(xù)變式.以上幾種課型的范例設(shè)計(jì),旨在給學(xué)生提供一些可以思考的方向與范式,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)定義、性質(zhì)、命題、方法時(shí)能夠形成“反思—變式—反思”的習(xí)慣.在實(shí)際教學(xué)中,“變式教學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)反思能力”的新課堂模式給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)注入了新動(dòng)力.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,筆者任教的高二兩個(gè)平行班中的一個(gè)班進(jìn)行試驗(yàn),通過(guò)每月的月考,期中考試,期末考試等多次考試,對(duì)測(cè)試后的兩個(gè)班成績(jī)進(jìn)行差異顯著性檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)班的差異性越來(lái)越明顯.說(shuō)明變式教學(xué)對(duì)于提高整體數(shù)學(xué)成績(jī)方面是有效的.在訪談學(xué)生中發(fā)現(xiàn),大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)能自覺(jué)反思、自主探究,也能自覺(jué)進(jìn)行問(wèn)題變式,說(shuō)明學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力提到了提升.學(xué)生學(xué)習(xí)效率提高了.

通過(guò)兩年的變式教學(xué)實(shí)踐,筆者有幾點(diǎn)思考:1.變式教學(xué)課堂比較開(kāi)放發(fā)散,思維能力強(qiáng)的學(xué)生較快就能形成反思習(xí)慣,提高反思能力,成績(jī)進(jìn)步顯著,而基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生則不注意反思其認(rèn)知活動(dòng)過(guò)程與結(jié)果的因素,只是一味追求解答出問(wèn)題答案,這點(diǎn)需要教師多加引導(dǎo):2.要讓有限的課堂時(shí)間更有效率,變式教學(xué)需要把握度,同時(shí)要注意課堂節(jié)奏,真正有時(shí)間讓學(xué)生反思:3.現(xiàn)階段我們只能通過(guò)了解學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)成績(jī)來(lái)評(píng)價(jià)他的數(shù)學(xué)反思能力,如何更科學(xué)地評(píng)價(jià)高中生數(shù)學(xué)反思能力值得繼續(xù)研究.