鄧愛平，馬紅彩

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

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數(shù)學(xué)專業(yè)“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)探討

鄧愛平，馬紅彩

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

摘要：“離散數(shù)學(xué)”作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，在一些高校的數(shù)學(xué)系也單列開設(shè)。數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)“離散數(shù)學(xué)”課程，其教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)方法的應(yīng)用顯然不同于計(jì)算機(jī)專業(yè)。因此，有針對(duì)性、有成效地提高數(shù)學(xué)專業(yè)“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的選擇和學(xué)習(xí)，以及對(duì)今后的科研或就業(yè)都具有現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)專業(yè)；計(jì)算機(jī)專業(yè)；教學(xué)探討

“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)專業(yè)的重要基礎(chǔ)理論課程之一，它不僅為許多計(jì)算機(jī)專業(yè)課程奠定必要的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理能力起著重要的作用。此外，隨著計(jì)算機(jī)軟件及硬件的迅猛發(fā)展，人們對(duì)數(shù)據(jù)的處理和計(jì)算能力快速提高，能夠處理的信息量也呈爆炸式增長(zhǎng)，這不僅使離散數(shù)學(xué)涉及的學(xué)科范圍不斷擴(kuò)大，也擴(kuò)大了離散數(shù)學(xué)可處理的實(shí)際問題的多樣性。這為離散數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用提供了良好的契機(jī)，其重要性也與日俱增。

基于離散數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展中的重要性，在一些高校的數(shù)學(xué)系也單列開設(shè)了“離散數(shù)學(xué)”課程，為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)課程方面提供基礎(chǔ)的理論連接，同時(shí)也能提高數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題時(shí)的獨(dú)立分析能力、數(shù)學(xué)建模能力和利用計(jì)算機(jī)解決問題的能力。對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生講授離散數(shù)學(xué)，其教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)方法的應(yīng)用顯然不同于對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)。因此，有針對(duì)性、有成效地提高數(shù)學(xué)專業(yè)“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的選擇和學(xué)習(xí)，以及對(duì)今后科研方向的確定或就業(yè)的選擇都具有現(xiàn)實(shí)意義。筆者結(jié)合多年來從事數(shù)學(xué)專業(yè)“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)的實(shí)踐，在教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等方面進(jìn)行了初步的探討。

一、 明確教學(xué)任務(wù)和教學(xué)目的

對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，基礎(chǔ)課程基本上都是涉及對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的研究，因此，學(xué)生在處理連續(xù)性問題方面已經(jīng)具備了一定的知識(shí)和能力，他們?cè)谶壿嬐评?、空間想象力、理論分析與聯(lián)系上具有一定的優(yōu)勢(shì)。離散數(shù)學(xué)則架構(gòu)起連接數(shù)學(xué)理論知識(shí)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用的一座橋梁，通過對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以充分發(fā)揮并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理的能力，更可以提高學(xué)生分析問題、建立數(shù)學(xué)模型和解決實(shí)際問題的能力。對(duì)實(shí)際問題的提煉、分析和解決的鍛煉，能幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、縝密、求實(shí)、規(guī)范的科學(xué)態(tài)度，為將來從事科研或者應(yīng)用等工作夯實(shí)基礎(chǔ)。從連續(xù)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，需要讓學(xué)生明確“離散數(shù)學(xué)”課程的研究對(duì)象，知道離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科的聯(lián)系，掌握離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，清楚離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，了解離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用。

1. 離散數(shù)學(xué)的研究對(duì)象

“離散數(shù)學(xué)”課程教授學(xué)生如何處理離散結(jié)構(gòu)，這些離散結(jié)構(gòu)是用來表示離散對(duì)象及其之間關(guān)系的抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括集合、置換、關(guān)系、圖、樹和有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)。實(shí)際上，數(shù)字電子計(jì)算機(jī)就是一個(gè)離散結(jié)構(gòu)，它所處理的對(duì)象是離散的或離散化了的數(shù)據(jù)和關(guān)系，所以計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心就是對(duì)離散對(duì)象的處理。因此計(jì)算機(jī)科學(xué)本身，以及與其密切相關(guān)的現(xiàn)代科學(xué)各研究領(lǐng)域，都面臨著如何將已建立了連續(xù)數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型離散化，以及如何對(duì)離散結(jié)構(gòu)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而可將離散數(shù)據(jù)交由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。而研究有離散結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)數(shù)學(xué)分支恰恰就是離散數(shù)學(xué)。所以有學(xué)者說，離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，具有能充分描述計(jì)算機(jī)只能處理離散的或離散化了的數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)。

在離散數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有一個(gè)著名的例子——四色定理，在得到證明前一直稱為四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。該定理說的是：每幅地圖都可以只用四種顏色著色，并且使得具有共同邊界的國(guó)家可以著不同的顏色。這是1852年由英國(guó)繪圖員弗南西斯·格思里提出的。而該問題的最后解決是在100多年后的1976年，由肯尼斯·阿佩爾(Kenneth Appel)和沃爾夫?qū)す?Wolfgang Haken)通過計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算來完成。他們的證明簡(jiǎn)略表述為：第一步證明了每個(gè)平面三角剖分必須至少含有1 482個(gè)“不可避免構(gòu)型”中的一個(gè)；第二步用計(jì)算機(jī)證明每個(gè)上述構(gòu)型是“可約化的”，即通過粘合更小的四著色的平面三角剖分，可得到任一含有上述之一構(gòu)型的平面三角剖分的一個(gè)四著色。綜合這兩步，利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，所有的平面三角剖分，乃至所有的平面圖都可以四著色。這一問題的解決是離散數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)處理離散且大量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)問題的范例。

2. “離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)的基本內(nèi)容

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也日益廣泛，作為其基礎(chǔ)學(xué)科的離散數(shù)學(xué)，其內(nèi)容也由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展而不斷得到擴(kuò)充和更新?！半x散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)通常涉及的領(lǐng)域包括：數(shù)理邏輯、集合論(包括函數(shù)和關(guān)系)、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、數(shù)論基礎(chǔ)、組合分析等。

離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的核心，是計(jì)算機(jī)專業(yè)許多后續(xù)課程的重要理論基礎(chǔ)。作為其主要內(nèi)容之一的數(shù)理邏輯是研究推理的邏輯學(xué)科，在計(jì)算機(jī)硬件設(shè)計(jì)中的應(yīng)用也極為突出。如計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)重要理論數(shù)字邏輯，很大程度上起源于數(shù)理邏輯中的邏輯命題和布爾運(yùn)算。而集合論作為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，有著舉足輕重的作用，在很多學(xué)科里都會(huì)先介紹集合論的基礎(chǔ)。代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)容主要是抽象代數(shù)，在數(shù)學(xué)系一般都開有專門的抽象代數(shù)或近世代數(shù)課程，這部分內(nèi)容對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和歸納分析能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)觀察力具有重要作用。而作為數(shù)字邏輯理論基礎(chǔ)的布爾運(yùn)算，則是布爾代數(shù)里的一個(gè)基本運(yùn)算。通過應(yīng)用代數(shù)系統(tǒng)的理論方法構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型對(duì)程序理論、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語言與自動(dòng)機(jī)、容錯(cuò)診斷、編碼理論機(jī)、邏輯電路設(shè)計(jì)等研究具有重要的指導(dǎo)意義。圖論不僅在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，如形式語言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、分布式系統(tǒng)、操作系統(tǒng)等方面扮演著重要角色，而且在數(shù)學(xué)的其他分支和其他應(yīng)用學(xué)科中，如控制論、博弈論，乃至社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域起著越來越重要的作用。而數(shù)論作為數(shù)學(xué)中最古老的分支，也在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛而深入的應(yīng)用，如涉及到計(jì)算機(jī)算術(shù)、可計(jì)算性理論、計(jì)算復(fù)雜性理論以及計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中，都離不開數(shù)論知識(shí)的應(yīng)用。如正則引擎與編譯器的詞法分析中的DFA(確定性有窮自動(dòng)機(jī))或NFA(不確定性有窮自動(dòng)機(jī))都用到圖論，而其發(fā)現(xiàn)過程正是用數(shù)論推導(dǎo)出來的。組合分析的主要研究?jī)?nèi)容是計(jì)數(shù)和枚舉方法與理論，而對(duì)算法所需計(jì)算量及存儲(chǔ)單元數(shù)的估算，都是關(guān)于計(jì)數(shù)的問題，算法研究與計(jì)算機(jī)軟件密切相關(guān)，因此，組合分析對(duì)計(jì)算機(jī)軟件的重要意義不言而喻。

3. 離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法

學(xué)好離散數(shù)學(xué)，除了要了解上述的離散數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、基本內(nèi)容，還需要了解其特點(diǎn)和難點(diǎn)，總結(jié)適合學(xué)生自己的學(xué)習(xí)方法。

“離散數(shù)學(xué)”課程的特點(diǎn)是：涉及學(xué)科多、概念多，但內(nèi)容較松散；對(duì)涉及的每門學(xué)科沒有作深入探討，所以理論性雖強(qiáng)，但都是基礎(chǔ)理論，較易理解。

由于“離散數(shù)學(xué)”課程涉及多學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)，所以即使是簡(jiǎn)單講授各學(xué)科的基礎(chǔ)理論，也需要介紹大量的基本概念。但是相關(guān)的理論都是建立在基本概念基礎(chǔ)上的，而概念具有一定的抽象性，對(duì)概念的理解程度直接影響對(duì)相關(guān)理論的理解。在很多情況下，面對(duì)問題無從下手、無法解決，往往是因?yàn)閷?duì)概念理解得不夠深刻。所以，花費(fèi)充分的時(shí)間去理解概念，才能事半功倍地正確利用概念理解理論。一個(gè)最基本的辦法，就是每學(xué)到一個(gè)新概念，利用例子來加深理解。比如學(xué)到格這個(gè)概念，格是一個(gè)偏序集，且其中任兩個(gè)元素都有最大下界和最小上界?？梢苑智闆r自己舉例，或?qū)峡吹降睦影床煌闆r分類：是格的有限偏序集，是格的無限偏序集；是偏序集但有兩個(gè)元素沒有最大下界(或最小上界)，是偏序集但有兩個(gè)元素有兩個(gè)最大下界(或最小上界)。結(jié)合偏序集的哈斯圖，很容易就掌握了格這一概念。

“離散數(shù)學(xué)”課程內(nèi)容松散是因?yàn)樗婕暗臄?shù)理邏輯、代數(shù)結(jié)構(gòu)、組合分析、圖論的基礎(chǔ)知識(shí)并無明顯關(guān)聯(lián)，具有相對(duì)的獨(dú)立性。所以，當(dāng)完成一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)后，進(jìn)行下一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)，如果不進(jìn)行及時(shí)的復(fù)習(xí)，很容易把前一部分的內(nèi)容忘掉，等到學(xué)期末再回頭復(fù)習(xí)，花的時(shí)間和精力都要翻倍。這就要求學(xué)生養(yǎng)成良好的復(fù)習(xí)習(xí)慣，如學(xué)到第二部分內(nèi)容時(shí)，每周一、三、五花5～10分鐘時(shí)間溫習(xí)第一部分的內(nèi)容，喚起記憶中的知識(shí)；學(xué)到第三部分內(nèi)容時(shí)，添加每周二、四、六來溫習(xí)第二部分的內(nèi)容；依此類推，這樣，知識(shí)總在被喚起，也就記得牢固。所以，可以和同學(xué)結(jié)成小組，互相監(jiān)督，互相提問復(fù)習(xí)。另外，離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度并不大，學(xué)生在學(xué)習(xí)中也容易自我放松。因此，同學(xué)間互相提醒、互相學(xué)習(xí)非常有必要。

“離散數(shù)學(xué)”課程的理論具有很強(qiáng)的邏輯性和抽象性，因此，在學(xué)習(xí)中要注意推理、分析的嚴(yán)謹(jǐn)性，落實(shí)到每一個(gè)證明的敘述上，就是要嚴(yán)格按照推理步驟，每一步給出詳盡的過程，前因后果要一目了然。對(duì)每步推導(dǎo)的嚴(yán)肅和嚴(yán)謹(jǐn)性的要求不可降低，因?yàn)檫@將直接影響到后面步驟的進(jìn)行。筆者在課堂教學(xué)時(shí)就有過這種情況，學(xué)生在黑板上演算時(shí)進(jìn)行到一半，寫不下去了，因?yàn)樵谄渲械囊徊桨殃P(guān)鍵條件“對(duì)任意元素”漏寫了。事實(shí)上，在演算到那一步時(shí)學(xué)生是知道這個(gè)條件的，但是卻省略了，到若干步后需要用到這個(gè)條件時(shí)找不到了，造成演算失敗。所以，推理的嚴(yán)謹(jǐn)性要求也是幫助學(xué)生養(yǎng)成縝密思維、規(guī)范求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，對(duì)今后的學(xué)習(xí)和工作都大有裨益。

二、 教學(xué)內(nèi)容的選擇

離散數(shù)學(xué)涉及的學(xué)科領(lǐng)域較多，但是對(duì)于總共56學(xué)時(shí)，甚至只有48學(xué)時(shí)的課程來說，顯然不可能完成所有內(nèi)容的講授；再加上數(shù)學(xué)專業(yè)通常開設(shè)“抽象代數(shù)”課程，以及數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生對(duì)集合論的熟悉和掌握程度，需要適當(dāng)?shù)剡x擇教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)習(xí)效率最大化。另一方面，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生一部分今后可能傾向于科學(xué)理論研究，另一部分則可能傾向于實(shí)際技術(shù)應(yīng)用，這兩部分學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的要求顯然不同，所以在教學(xué)中要做到兩者兼顧，適當(dāng)?shù)剡x擇教學(xué)內(nèi)容。

以我院(東華大學(xué)理學(xué)院)為例，因?yàn)椤半x散數(shù)學(xué)”課程只有48學(xué)時(shí)，還開設(shè)有“抽象代數(shù)”課程，所以在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中，重點(diǎn)是數(shù)理邏輯、集合論中的二元關(guān)系、代數(shù)結(jié)構(gòu)中的格與布爾代數(shù)、組合數(shù)學(xué)中的遞推方程與生成函數(shù)，以及圖論中的最短路問題等。

數(shù)理邏輯一般包括命題邏輯和一階邏輯兩部分。這兩部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)無論對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)還是數(shù)學(xué)專業(yè)都是非常有必要的。數(shù)學(xué)專業(yè)沒有開設(shè)專門的邏輯課程，所以數(shù)理邏輯的教學(xué)涵蓋了命題邏輯的基本概念、等值演算和推理理論，以及一階邏輯的基本概念、等值演算和推理理論。而集合運(yùn)算和函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)有些在中學(xué)階段已經(jīng)介紹過，在簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)、強(qiáng)調(diào)運(yùn)用文氏圖進(jìn)行有窮集合的計(jì)數(shù)后，即可開始對(duì)二元關(guān)系的講授，重點(diǎn)放在關(guān)系的運(yùn)算、性質(zhì)、閉包的概念和計(jì)算，以及等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系的理解上；函數(shù)部分需強(qiáng)調(diào)雙射、強(qiáng)化對(duì)函數(shù)基數(shù)的認(rèn)識(shí)。代數(shù)結(jié)構(gòu)部分，因?yàn)椴紶栠\(yùn)算是計(jì)算機(jī)的基本運(yùn)算，所以這部分內(nèi)容必不可少；而為引進(jìn)布爾代數(shù)，也必須對(duì)格這一類代數(shù)進(jìn)行較完整的介紹。組合數(shù)學(xué)中的排列組合也是中學(xué)階段學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，所以重點(diǎn)放在遞推公式的實(shí)例和解法，以及生成函數(shù)及其應(yīng)用。圖論部分有許多著名的寓意深刻的有趣問題，如哥尼斯堡七橋問題、周游世界問題、四色猜想等，且運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及編碼理論中很多問題都可以轉(zhuǎn)化為圖論問題，值得好好鉆研，但限于時(shí)間，不可能在課程教學(xué)中介紹所有的內(nèi)容，只能講授圖的基本概念、連通性、歐拉圖和哈密爾頓圖及其應(yīng)用、最短路問題、生成樹、平面圖的歐拉公式等。

三、 教學(xué)方法的應(yīng)用

“離散數(shù)學(xué)”課程具有概念多、內(nèi)容散、較抽象、理論性強(qiáng)的特點(diǎn)，要求有較強(qiáng)的抽象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰ΑＨ绻谡n時(shí)一味強(qiáng)調(diào)知識(shí)的灌輸、理論的講解，看似在有限時(shí)間內(nèi)教授了較多內(nèi)容，但會(huì)導(dǎo)致一定程度上學(xué)習(xí)的枯燥無味，而且會(huì)使學(xué)生對(duì)該課程的應(yīng)用性缺乏明確的認(rèn)識(shí)，以為離散數(shù)學(xué)只是純理論的數(shù)學(xué)學(xué)科。如果教師正確而積極地引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那么學(xué)生就愿意自發(fā)地去學(xué)習(xí)、去看書、去尋求解決問題的方法。因此，通過改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)在理論和實(shí)際應(yīng)用上的魅力，是任課教師的教學(xué)追求。

1. 理論聯(lián)系實(shí)際

“離散數(shù)學(xué)”課程的實(shí)際應(yīng)用背景很強(qiáng)，在教學(xué)中選擇有趣且與教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系密切的實(shí)例，能起到良好的教學(xué)效果。如在數(shù)理邏輯部分，可以通過土耳其帽子的推理故事和羅素的經(jīng)典理發(fā)師悖論引入。在講授命題概念時(shí)，就可以拿理發(fā)師的那句話問學(xué)生：我給且只給鎮(zhèn)上所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)，是不是命題？既活躍了課堂氣氛，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也傳授了知識(shí)，讓學(xué)生對(duì)命題這一概念認(rèn)識(shí)深刻。在學(xué)到命題邏輯的推理理論時(shí)，可以再次提到土耳其帽子的故事，讓學(xué)生將之符號(hào)化，給出推理過程。這樣的理論聯(lián)系實(shí)際，并且注重前后呼應(yīng)，能讓學(xué)生注意到基本概念和基本理論的密切聯(lián)系，拓寬了學(xué)生的視野，增強(qiáng)了學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

2. 溫故而知新

著名教育學(xué)家蘇霍姆林斯基曾說過：“在我看來，教給學(xué)生能借助已有知識(shí)去獲取知識(shí)，這是最高的教學(xué)技巧之所在。 ” 因此，在給數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生講授離散數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)盡可能地聯(lián)系他們最近學(xué)過的數(shù)學(xué)分析或者高等代數(shù)中的相關(guān)概念。如在學(xué)習(xí)一階邏輯命題符號(hào)化時(shí)，可以舉數(shù)學(xué)分析中的極限定義條件：任給ε>0，存在δ>0，如果|x-a|<δ，那么|f(x)-b|<ε讓學(xué)生將其符號(hào)化。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)對(duì)極限概念非常熟悉，所以借助已有的知識(shí)來學(xué)習(xí)新知識(shí)，是學(xué)生樂意接受的挑戰(zhàn)，雖然最后的表達(dá)式略復(fù)雜，但通常學(xué)生都能完成得較好。又如在講到等價(jià)關(guān)系時(shí)，可以聯(lián)系到高等代數(shù)中學(xué)過的矩陣的若干等價(jià)關(guān)系，采用提問的方式喚起學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的記憶，引導(dǎo)學(xué)生答出矩陣的相抵關(guān)系、相似關(guān)系、合同關(guān)系等，并由此進(jìn)一步鞏固等價(jià)關(guān)系的定義。在學(xué)習(xí)等價(jià)類、商集的概念時(shí)，可以再次以矩陣為例，讓學(xué)生思考這三類等價(jià)關(guān)系之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及能否進(jìn)一步給出它們各自的商集。這既檢驗(yàn)并鞏固了學(xué)生對(duì)矩陣的理解，也加深了他們對(duì)新知識(shí)的認(rèn)知，消除了對(duì)這一新學(xué)科的陌生感，提高了對(duì)離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

3. 背景知識(shí)的融入

“離散數(shù)學(xué)”課程中無論是數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)容，還是圖論和組合分析的知識(shí)，都是非常抽象的，在上面兩種方法都不適用的時(shí)候，可以考慮增加背景知識(shí)的介紹，融入數(shù)學(xué)史的知識(shí)。數(shù)學(xué)文化的融入能淡化離散數(shù)學(xué)理論的枯燥性，讓學(xué)生在學(xué)到理論知識(shí)的同時(shí)擴(kuò)大視野，提升數(shù)學(xué)人文素養(yǎng)。

例如，在講授集合基數(shù)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，可以利用希爾伯特旅館問題來引入自然數(shù)集的基數(shù)的神奇運(yùn)算。進(jìn)而在給出自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間的關(guān)系后，引出德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托(G. Cantor)在1878年提出的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：在自然數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間不存在其他的基數(shù)。在1900年希爾伯特(Hilbert)提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)排在第一位。1938年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾(K. Godel)證明了“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)決不會(huì)引出矛盾”，即“標(biāo)準(zhǔn)集合論與不存在中介的基數(shù)假設(shè)是一致的”。1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩(P. J. Cohn)證明了“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的”，即“假定存在中介基數(shù)，也不與集合論矛盾”，并且連續(xù)統(tǒng)假設(shè)根本不可能被證明。這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)界激起了強(qiáng)烈的震動(dòng)，“可證的一定是真的，但真的不一定可證”，這粉碎了數(shù)學(xué)家們兩千年來的信念?？贫饕惨虼顺蔀?966年的菲爾茲獎(jiǎng)得主。數(shù)學(xué)家外爾感嘆道：“上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種相容性?！边@一背景介紹激起了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無限熱情，也讓學(xué)生強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)的博大精深。有學(xué)生說：原來菲爾茲獎(jiǎng)得主的工作離我們不是那么遙遠(yuǎn)，也是我們可以理解的，數(shù)學(xué)竟然這么神奇。可見，數(shù)學(xué)史知識(shí)的適時(shí)穿插，收到了良好的教學(xué)效果。

四、 結(jié)語

本文從教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等方面對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)進(jìn)行了探討。此外，在教學(xué)手段上，我們結(jié)合多媒體教學(xué)，加強(qiáng)平時(shí)測(cè)驗(yàn)。一方面要求學(xué)生自覺學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固，另一方面通過離散數(shù)學(xué)每一部分內(nèi)容的測(cè)驗(yàn)，來督促學(xué)生的學(xué)習(xí)，保持學(xué)生學(xué)習(xí)效果的持續(xù)性。另外，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生講授“離散數(shù)學(xué)”課程，除了對(duì)理論知識(shí)的講解外，更要注重理論的實(shí)際應(yīng)用和建模能力。本文只是對(duì)近幾年“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)的思考和總結(jié)，如何更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，在今后的教學(xué)中需要教師不僅加強(qiáng)數(shù)學(xué)和人文素養(yǎng)，還要加強(qiáng)計(jì)算機(jī)修養(yǎng)，善于聯(lián)系實(shí)際，為培養(yǎng)優(yōu)秀人才而更加努力。

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作者簡(jiǎn)介：鄧愛平(1973—)，女，湖北恩施人，副教授，博士，研究方向?yàn)榻M合與圖論。 E-mail:apdeng@dhu.edu.cn

中圖分類號(hào)：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-3860(2016)02-0148-05