初中學(xué)生建立一次、二次函數(shù)模型解決代數(shù)實(shí)際問題中最值問題的研究

陸賓清

【摘 要】最值問題是中考考綱的考點(diǎn)之一，對(duì)于利用一次函數(shù)和二次函數(shù)解決最值問題也是初中階段需要學(xué)習(xí)和研究的主要問題，本文即針對(duì)利用一次函數(shù)和二次函數(shù)來求解最值的問題進(jìn)行研究，以幫助解決初中數(shù)學(xué)中的最值問題。

【關(guān)鍵詞】初中 一次函數(shù) 二次函數(shù) 最值

初中數(shù)學(xué)中，最值問題是重要考點(diǎn)之一，由于在最值問題中涉及的知識(shí)面較廣，綜合性較強(qiáng)，因此是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，本文主要針對(duì)一次函數(shù)和二次函數(shù)的基本性質(zhì)解決代數(shù)問題中的最值問題，以下將進(jìn)行具體分析。

一、利用一次函數(shù)求最值

利用二元一次函數(shù)模型求解實(shí)際問題中最值，是初中數(shù)學(xué)比較常見的題型，通常是根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程，在題目給定區(qū)間范圍內(nèi)求出最值，利用一次函數(shù)求解最值涉及最多的是二元一次方程，通常利用其在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性進(jìn)行最值分析，其單調(diào)性表現(xiàn)為：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)k的絕對(duì)值越大，則函數(shù)的增減幅度越大，這些都是在題型中求最值的基本性質(zhì)。如難度加大，則會(huì)涉及多元一次方程，此時(shí)要對(duì)其進(jìn)行消元，化成二元一次方程，利用題目中給定的條件，判斷未知數(shù)的取值范圍，最終求得最值。以下將就常見的題型進(jìn)行分析。

例題1：某種商品，月初出售，獲利15%，所獲的成本進(jìn)行二次投資，月末可獲利10%，若月末再行出售，則可獲利30%，但需要付700元倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)，問哪種銷售手段可以獲利最多？

解析：通過題意可知，投入同樣的資金用采取不同的銷售策略，可以獲得不同的利潤(rùn)，所獲利潤(rùn)的多少與投入資金的數(shù)量有很大的關(guān)系，設(shè)資金總量為x元，根據(jù)題意可以建立兩種利潤(rùn)y關(guān)于資金x的二元一次方程，分別如下：

y1=15%x+10%（15%x+x）=26.5%x

y2=30%x-700

二者均為單調(diào)遞增，函數(shù)y1的系數(shù)要小于函數(shù)y2，即其在增幅上要小于函數(shù)y2，因此只需得出y1=y2時(shí)，x的取值，即可判斷出最佳的銷售方案。聯(lián)立等式得到x=20000，所以當(dāng)x>20000時(shí)，選擇方案二，當(dāng)x<20000時(shí)，選擇方案一。

其次，當(dāng)遇到多元一次方程求解最值時(shí)，需要進(jìn)行消元，例如以下題型。

例題2：已知x、y、z均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足以下條件，x+2y+z=5，x+y-z=3，s=2x+y+3z的最小值和最大值。

解析：遇到這種題型，首先是進(jìn)行消元，將三個(gè)未知數(shù)用同一個(gè)未知數(shù)進(jìn)行表示，得到x=（8-3y）/2，z=（2-y）/2；其次是判斷y的取值范圍，由于x、y、z都是非負(fù)實(shí)數(shù)，所以x=（8-3y）/2》0，z=（2-y）/2》0，y》0求得y=[0，2]；最后，帶入函數(shù)s得s=11-7/2y，單調(diào)遞減，所以smax=11，smin=4。

二、利用二次方程求最值問題

對(duì)于代數(shù)實(shí)際問題中的最值問題，有些關(guān)于二次函數(shù)的問題，可以通過將實(shí)際問題抽象為二次函數(shù)模型，進(jìn)而通過二次函數(shù)的性質(zhì)來解決問題。

例題1：某商品成本價(jià)為40元，若定價(jià)為50元，則能售出500個(gè)，在此基礎(chǔ)上，每漲價(jià)1元，銷量減少10個(gè)，求其定價(jià)多少時(shí)能達(dá)到最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少。

解析：這是最為典型的利用一元二次方程模型求解最值的例題，根據(jù)題意，可以設(shè)漲價(jià)x元，則對(duì)應(yīng)的銷量為（500-10x），成本價(jià)為40（500-10x），最終利潤(rùn)y=（50+x）（500-10x）-40（500-10x），即y=-10x2+400x+5000，利用配方法得y=-10（x-20）2+9000即當(dāng)x=20時(shí)，獲得最大利潤(rùn)y=9000元，即當(dāng)售價(jià)為70元時(shí)，獲得最大利潤(rùn)9000元。

以上是簡(jiǎn)單的二次函數(shù)求實(shí)際問題中最值的問題，另外在最值問題中，除了上述利用單一二次函數(shù)模型進(jìn)行解題以外，可能會(huì)涉及到多個(gè)函數(shù)模型，即在實(shí)際問題中需要根據(jù)不同區(qū)間的不同要求抽象出不同的函數(shù)模型，即分段函數(shù)的應(yīng)用，以下是分段函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用。

例題2：某服裝褲子進(jìn)價(jià)40元/條，售價(jià)60元/條，每周銷量300條，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每條褲子價(jià)格上漲1元，每周銷量減少10條；每條褲子價(jià)格下降1元，周銷量增加18件.問該褲子定價(jià)多少可使該店獲得最大的利潤(rùn)？

上述題目是典型的最值問題，根據(jù)題意（漲價(jià)和降價(jià)時(shí)褲子銷量增減數(shù)量不同）可以列出分段函數(shù)，即漲價(jià)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)和降價(jià)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)。

（1）當(dāng)褲子售價(jià)增長(zhǎng)x元時(shí)，每周的銷量為（300-10x），則每周的銷售總額為（60+x）（300-10x），總成本為40（300-10x），則銷售利潤(rùn)y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x），即y=-10x2+100x+6000（0≤x≤30）。

得出一元二次方程后，即是求最值的問題，求二元一次方程的最值可以利用配方法和判別式法，配方法：y=-10（x-5）2 +6250，即當(dāng)x=5時(shí)，達(dá)到最大利潤(rùn)y=6250；

判別式法：則當(dāng)x=-b/2a，同樣得到x=5時(shí)，達(dá)到最大利潤(rùn)y=6250。

（2）當(dāng)褲子售價(jià)下降x元，每周的銷量為（300+18x），則每周的銷售總額為（60-x）（300+18x），總成本為40（300+18x），則銷售利潤(rùn)y=（60-x）（300+18x）-40（300+18x），即y=-18x2+60x+6000（0≤x≤20）。

利用判別式，則當(dāng)x=-b/2a，即當(dāng)x=5/3時(shí)，利潤(rùn)ymax=6050。

通過上述解答，可以判斷當(dāng)漲價(jià)5元，即褲子定價(jià)為65元時(shí)，該店可以達(dá)到利潤(rùn)最大這，為6250元。綜上，該九分褲每條定價(jià)為65元時(shí)，可使利潤(rùn)最大。

以上二次函數(shù)求最值當(dāng)中，都是頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)的情況，接下來需要探究的是在不同區(qū)間范圍內(nèi)，函數(shù)最值的求法，此時(shí)即需要判斷函數(shù)在區(qū)間范圍內(nèi)的增減性，例如y=x2+8x+3，求其x在[4，8]范圍內(nèi)的最值。首先，利用判別式，得：x=-4時(shí)，y有最小值，x的取值不在區(qū)間范圍內(nèi)，在x取值范圍內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此，當(dāng)x=4時(shí)，ymin=51，當(dāng)x=8時(shí)，ymax=131.

最后，針對(duì)二次函數(shù)中含有字母的情況進(jìn)行最值的探討，例如二次函數(shù)y=-x2+ax（-1≤x≤1），求當(dāng)a=[-2，2]時(shí)，函數(shù)的最大值。首先利用判別式，得知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（a/2，a2/4），由此判斷，當(dāng)xa/2，函數(shù)單調(diào)遞減。當(dāng)a=[-2，2]時(shí)，a/2=[-1，1]，恰好在x取值范圍之內(nèi)，因此其最大值是a2/4。

根據(jù)上述例題延伸，當(dāng)a<-2時(shí)，則a/2<-1，不在x的取值范圍內(nèi)，同時(shí)x的取值在頂點(diǎn)的左側(cè)，函數(shù)在x取值范圍內(nèi)單調(diào)遞減，所以，ymax=-1-a。同理，當(dāng)a>2時(shí)，x取值范圍內(nèi)，函數(shù)遞增，所以ymax=-1+a。

以上為二次函數(shù)求最值的一些典型例題，利用二次函數(shù)求最值的問題還有很多，例如定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)間的最短路線等，由于涵蓋的知識(shí)面比較廣，且容易出現(xiàn)綜合性很高的題型，例如可以與圖形結(jié)合等，需要仔細(xì)揣摩、研究。

三、總結(jié)

一般來說，關(guān)于一次函數(shù)的最值問題的求解在難度上要低于二次函數(shù)，其在單調(diào)性的判斷上是較為簡(jiǎn)單的，涉及的相關(guān)問題也比較容易，對(duì)于二次函數(shù)，首先在單調(diào)性上較之復(fù)雜，其次在具體題型上更為復(fù)雜，是中考中容易出難題的考點(diǎn)，需要更為認(rèn)真的揣摩和分析。

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