初高等數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問題淺談

【摘 ? ?要】隨著《國家教育中長期改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》的推出實(shí)施，高中新課程改革的不斷深入推進(jìn)，縱觀近幾年各地高考試題的命制情況，越來越多的將一些基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)知識納入了考察范圍，特別是以數(shù)學(xué)分析的知識為命題背景，這就要求了我們授課教師應(yīng)該在新形勢下重新拾起高等數(shù)學(xué)，特別是數(shù)學(xué)分析的相關(guān)知識和思想方法，并運(yùn)用于分析和處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問題，突破初等數(shù)學(xué)知識的桎梏，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決相關(guān)問題的能力，為更好應(yīng)對高考和高等教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

本文旨在討論數(shù)學(xué)分析內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)系與區(qū)別，以翔實(shí)具體的教學(xué)案例為依據(jù)，充分說明數(shù)學(xué)分析方法在中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)問題中突出作用。

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)改革 ?數(shù)學(xué)分析 ?高中數(shù)學(xué) ?課堂教學(xué)

一、引言

1.1 ?問題提出

根據(jù)《國家教育中長期改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》，新課改的目標(biāo)旨在全面提高普通高中學(xué)生綜合素質(zhì)，而非簡單的應(yīng)付高考。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)的工具學(xué)科，本門課程的改革更是受到廣泛一線任課教師的高度關(guān)注，而且很多中學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)后，也暴露出了從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)，也就是極限思維建立的種種困難。對于高等數(shù)學(xué)，特別是分析學(xué)科需要很強(qiáng)的抽象思維能力和邏輯能力。中學(xué)數(shù)學(xué)大多按照高考要求，“要考才學(xué)，不考不學(xué)”，忽視了學(xué)生這兩項(xiàng)能力的訓(xùn)練，這也就是中學(xué)教育與高等教育“脫節(jié)”的癥結(jié)所在。因此對于即將走向教師崗位的師范畢業(yè)生們，應(yīng)該站在更高、更遠(yuǎn)的點(diǎn)，在平時的教學(xué)活動中教會學(xué)生如何真正的學(xué)好數(shù)學(xué)，擺脫“應(yīng)付高考”的固定思維。

在現(xiàn)今四川省大多數(shù)學(xué)校采用的人教版（A）數(shù)學(xué)選修教材中，加入了微積分等高等數(shù)學(xué)的知識，很多老師在上課時按照高考的要求做了講授，也就使得一些同學(xué)在大學(xué)學(xué)習(xí)的開始階段以為已經(jīng)學(xué)過，不重視基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)。并且研究發(fā)現(xiàn)高中微積分教學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)雖有聯(lián)系但也有很大區(qū)別，數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)建立在新的極限嚴(yán)格定義下，倚靠實(shí)數(shù)六大理論體系，和中學(xué)要求完全不同。所以很多同學(xué)在打基礎(chǔ)的時候不僅沒有認(rèn)真學(xué)習(xí)，而且沒有建立好極限思維。所以在未來的很長一段時間內(nèi)學(xué)習(xí)都有很大困難并且容易喪失信心。所以在中學(xué)階段進(jìn)行嚴(yán)密完整的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)知識講授是非常重要的。

1.2 ?研究現(xiàn)狀

1.2.1 ?教材選用

我國高等數(shù)學(xué)教育特別是師范類大學(xué)數(shù)學(xué)系普遍選用華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析（第四版）》，復(fù)旦大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》，北大張筑生教授《數(shù)學(xué)分析新講》等優(yōu)秀教材，國外教材出名的有菲赫金哥爾茨《微積分學(xué)教程》，卓里奇《數(shù)學(xué)分析》等，高中教材普遍使用人民教育出版社數(shù)學(xué)教材。

本文相關(guān)內(nèi)容主要參考華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析（第四版）》，華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析（第四版）》以及人民教育出版社數(shù)學(xué)A版教材。

1.2.2 ?已有研究結(jié)論簡述

隨著教育改革的不斷深入推進(jìn)，很多教育工作者越發(fā)重視初等教育改革問題。如李紅、李建民老師從三個方面對此進(jìn)行了分析探討：結(jié)合數(shù)學(xué)分析和中學(xué)教材內(nèi)容，討論它們的聯(lián)系和區(qū)別;給出了運(yùn)用數(shù)學(xué)分析“高觀點(diǎn)”方法解決中學(xué)問題的實(shí)例;分析了數(shù)學(xué)分析課程改革的方向。李祥、楊春華老師指出了高中生進(jìn)入大學(xué)后的知識缺陷，在具體教學(xué)安排中提出要求，以期做到較好銜接等。在國內(nèi)，相關(guān)研究文獻(xiàn)不勝枚舉，在如何銜接初高等數(shù)學(xué)方面的研究已經(jīng)有很多成果。

1.3 ?研究的理論基礎(chǔ)

①戴爾“經(jīng)驗(yàn)之塔”理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)教育應(yīng)當(dāng)從具體經(jīng)驗(yàn)入手，逐步過渡到抽象經(jīng)驗(yàn)。有效的學(xué)習(xí)方法應(yīng)當(dāng)首先給學(xué)生豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并且在此基礎(chǔ)上向抽象化發(fā)展，是具體經(jīng)驗(yàn)普遍化，方能形成概念。

②皮亞杰·建構(gòu)主義理論：研究認(rèn)為知識不是直接從教師哪里獲得，但是在學(xué)習(xí)的過程中可以藉由教育者的幫助而得到。因此，教育者在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時不僅要考慮教學(xué)目標(biāo)，而且要建構(gòu)適合學(xué)生形成概念的學(xué)習(xí)情景。

③皮亞杰·認(rèn)知發(fā)展階段理論：研究發(fā)現(xiàn)中學(xué)生處于形式運(yùn)算的思維發(fā)展階段，他們對于不同的問題已經(jīng)形成的相應(yīng)的解決思維邏輯，從上一階段過渡到此已經(jīng)標(biāo)志著成熟的智能已經(jīng)形成，但多是知識的量的積累，沒有顯著的質(zhì)的變化。

此時的高中生普遍具有以下特點(diǎn)：第一，思維已經(jīng)脫離對具體事物的依賴，并且大多數(shù)是以命題的形式存在的，而且中學(xué)生已經(jīng)具備了對兩個或兩個以上問題的邏輯推理的能力。第二，能夠運(yùn)用已有的生活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來指導(dǎo)實(shí)踐，并且有了基礎(chǔ)的整體與部分對立統(tǒng)一的辯證思維能力。第三，本階段的中學(xué)生已經(jīng)明白原因和結(jié)果相互依存，相互滲透的辯證法，能夠運(yùn)用逆向思維，能夠批判的認(rèn)識事物。

二、數(shù)學(xué)分析與高中數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別

2.1 ?概念

2.1.1 ?高中數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)是全國高中生學(xué)習(xí)的一門學(xué)科。包括《集合與函數(shù)》《三角函數(shù)》《不等式》《數(shù)列》《復(fù)數(shù)》《排列、組合、二項(xiàng)式定理》《立體幾何》《平面解析幾何》等部分。是由定義，法則，性質(zhì)，公式，定理等組成的數(shù)學(xué)基本知識和技能，以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法。

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，既要清楚明白的講授表層知識即定義，法則，性質(zhì)，公式等，也要將數(shù)學(xué)的思想和方法等深層次的內(nèi)容貫穿始終，只有這樣，學(xué)生才能夠有所提高，而不覺得學(xué)習(xí)枯燥甚至是無用，這樣才能 培養(yǎng)出能力，錘煉出思維。

數(shù)形結(jié)合，反證法，極限思維，函數(shù)與方程等等都是數(shù)學(xué)中基本且十分重要的思想方法，這需要教師在講授課程中反復(fù)提及使用，才能在無數(shù)具體的例子中，找到抽象的本質(zhì)，才能鍛煉出學(xué)生探究的能力，做到真正的掌握知識。當(dāng)然，具體經(jīng)驗(yàn)的傳授，也就是基本雷榮的學(xué)習(xí)也很重要，教師就是要將這兩者恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合起來才能提高教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生興趣和能力。

2.1.2 ?數(shù)學(xué)分析

數(shù)學(xué)分析是高等學(xué)校特別是師范數(shù)學(xué)類學(xué)生的必修主干課程，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)大多學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》，本質(zhì)就是微積分理論，是以實(shí)數(shù)完備性和極限思想為基礎(chǔ)建立的。

數(shù)學(xué)分析主要研究函數(shù)的局部和整體的性質(zhì)，從局部的變化率引入到導(dǎo)數(shù)和微分。以及導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，即積分，也就是微小變化量的累積結(jié)果。

和中學(xué)不同，數(shù)學(xué)分析貫穿著極限思想方法。充分體現(xiàn)了事物動靜結(jié)合，對立統(tǒng)一的辯證思維。這些就是高等數(shù)學(xué)有別于高中數(shù)學(xué)，正是其魅力的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)分析中更常見的是運(yùn)用字母和參數(shù)構(gòu)成變量，進(jìn)而構(gòu)造變量和函數(shù)間的關(guān)系來解決實(shí)際問題，而非簡單運(yùn)用常量。

2.2 ?高中教材與高等數(shù)學(xué)教材《數(shù)學(xué)分析（第四版）》銜接對比

集合：數(shù)學(xué)分析增加鄰域與差集概念;補(bǔ)充兩集合的笛卡爾積概念;增加有界集和確界原理。

函數(shù)：補(bǔ)充了狄利克雷函數(shù)，符號函數(shù)黎曼函數(shù)等非初等函數(shù)。

極限：有了嚴(yán)格的極限定義;增加了數(shù)列極限的定義并給出了判定條件;給出函數(shù)連續(xù)的集中定義和間斷點(diǎn)的定義。

導(dǎo)數(shù)：增加了單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義，高階導(dǎo)數(shù)的定義和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則;泰勒公式;洛必達(dá)法則。

微積分：補(bǔ)充了反常積分

2.3 ?脫節(jié)知識

經(jīng)過抽樣問卷調(diào)查，對于脫節(jié)部分主要集中在反三角函數(shù)，三角函數(shù)的和差化積公式，正割和余割，極坐標(biāo)與參數(shù)方程這幾個方面。高中講授的程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求。

2.4 ?數(shù)學(xué)分析與高中數(shù)學(xué)的對立統(tǒng)一

初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)一脈相承，沒有初等，就沒有高等。兩者就數(shù)學(xué)方法這一本質(zhì)而言是相通的，是統(tǒng)一的。高等數(shù)學(xué)又是初等數(shù)學(xué)的升華，就此而言，兩者又是對立的，但這種對立表現(xiàn)在統(tǒng)一之下的對立。是區(qū)別，而不是簡單的矛盾。

現(xiàn)今而言，高等教育毛入學(xué)率已經(jīng)突破40%，大多數(shù)高中畢業(yè)生都會選擇到高等學(xué)校繼續(xù)深造，所以對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能只拘泥于高考要求，而應(yīng)當(dāng)目光長遠(yuǎn)，所以說對于數(shù)學(xué)思想方法的灌輸顯得尤為重要，而站在高等數(shù)學(xué)的層面，用數(shù)學(xué)分析的方法和思想來解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，用“高觀點(diǎn)”來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可謂是裨益良多。數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，是高中數(shù)學(xué)的深化，所以一些內(nèi)容也可以用初等數(shù)學(xué)的知識來理解。

三、數(shù)學(xué)分析在高中問題中的應(yīng)用

3.1 ?數(shù)學(xué)分析中的零點(diǎn)定理和微分中值定理的相關(guān)知識在高考命題中出現(xiàn)不止一次，例如2014年四川高考理科數(shù)學(xué)最后一題，2014年山東高考最后一題，2016年全國卷最后一題，2016年北京卷最后一題均是運(yùn)用中值定理求函數(shù)的極值，最值可以較快的得出答案，而運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)方法計算量大，容易出錯。

3.2 ?高中利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)單調(diào)性的定義可以解決一些基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，而對于處理復(fù)雜函數(shù)就顯得捉襟見肘了，甚至是不能求解，如果恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的參變量分離和函數(shù)確界的知識就可使問題迎刃而解。例如湖南2014年高考22題，2015四川高考22題，2016上海高考22題就是通過分離參量，構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)和極值研究新函數(shù)的最值，來得到參數(shù)的范圍。

3.3 ?將數(shù)列和不等式歸納為級數(shù)，把求極限衍生為級數(shù)收斂和求和的問題就是用數(shù)學(xué)分析的“高觀點(diǎn)”解決中學(xué)數(shù)學(xué)常規(guī)問題的特別思路，將函數(shù)和數(shù)列的極限問題聯(lián)合起來思考，解決數(shù)列問題時聯(lián)想函數(shù)極限的性質(zhì)，這樣也可以使問題變得簡單，能夠更好的理解和掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識。

四、結(jié)論

雖然說在高中沉重的課業(yè)負(fù)擔(dān)的壓力下，再來補(bǔ)充數(shù)學(xué)分析的知識無疑更加重了老師和學(xué)生的壓力。但是我們清楚地知道，教書育人是一輩子的事，沒有說是高中畢業(yè)就是“一錘子買賣”，這是一項(xiàng)可持續(xù)的發(fā)展過程，無論是學(xué)習(xí)者還是教育者目光都不應(yīng)當(dāng)看到當(dāng)下，更要著眼于未來。我們都應(yīng)當(dāng)思考這樣的一個問題：作為老師，我們應(yīng)當(dāng)怎樣讓自己的學(xué)生更好的適應(yīng)即將到來的大學(xué)學(xué)習(xí)生活？如何在學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的時候就為他們培養(yǎng)繼續(xù)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣？

作為典型的“過來人”，站在高處的老師們，應(yīng)當(dāng)對這個問題有著自己深刻的見解，雖會有不同，但不外乎是以下幾點(diǎn)：

1.充分準(zhǔn)備

老師應(yīng)當(dāng)緊跟教育改革形式，熟讀改革政策文件，了解改革方向，明確改革任務(wù)，清楚改革目標(biāo)。要在掌握現(xiàn)用中學(xué)數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)上，復(fù)習(xí)好大學(xué)主干數(shù)學(xué)課程特別是數(shù)學(xué)分析的知識，在兩者間有脫節(jié)斷鉤的地方及時予以補(bǔ)充。

2.完善過程

按照皮亞杰的建構(gòu)主義原理，老師要按照教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計教學(xué)過程，并且注重學(xué)生自主探究了邏輯推導(dǎo)的訓(xùn)練，并且適當(dāng)補(bǔ)充大學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法。

3.跳出桎梏

考試從來不是目的，只是檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果的方法。是學(xué)習(xí)的附屬品。為了考試的學(xué)習(xí)是目的不正的學(xué)習(xí)。我們應(yīng)當(dāng)走出高考的限制圈子，擺脫考綱這一“緊箍咒”，不能只講要考察的知識點(diǎn)，對于課本上涉及的數(shù)學(xué)分析的知識也應(yīng)當(dāng)給學(xué)生講解，而且要從高考題，中挖掘更高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目下的數(shù)學(xué)本質(zhì)。而不是盲目的，機(jī)械的做大量習(xí)題。

五、結(jié)束語

在經(jīng)濟(jì)社會持續(xù)發(fā)展下的新的歷史起點(diǎn)，在“創(chuàng)新，協(xié)調(diào)綠色，開放，共享”五大發(fā)展理念的指導(dǎo)下，如何繼續(xù)貫徹“科教興國，人才強(qiáng)國”發(fā)展戰(zhàn)略，關(guān)鍵是要看如何培養(yǎng)出具有較強(qiáng)學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的人才是重中之重，創(chuàng)新是發(fā)展的動力，人才是創(chuàng)新的關(guān)鍵。做為新一代的教育工作者，我感覺肩上的擔(dān)子很沉重，我們有著不可推卸的時代使命，不在是要教會學(xué)生如何應(yīng)對高考，還要培養(yǎng)學(xué)生好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和終生學(xué)習(xí)的能力。這是每個合格教師都應(yīng)當(dāng)擔(dān)起的責(zé)任。

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作者簡介：張書濤，男，1994年11月，漢，四川瀘州龍馬潭區(qū)，大學(xué)本科，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。