張國建

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的細(xì)胞，是數(shù)學(xué)知識的核心，也是數(shù)學(xué)知識的靈魂。然而，在實際教學(xué)中，由于種種原因，概念教學(xué)中出現(xiàn)不少的誤區(qū)：如重操作，輕語言；重結(jié)論，輕過程；重內(nèi)涵，輕外延；重抽象，輕表象；重建構(gòu)，輕應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念教學(xué)誤區(qū)實踐

誤區(qū)之一：過度著手于學(xué)生的操作活動，卻有意無意淡化了語言概括的重要性

注重操作是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法之一，但不能過分追求，因為數(shù)學(xué)語言的表達(dá)也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要方面，兩者要并重兼顧?！斑\(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論和質(zhì)疑”是《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對學(xué)生在數(shù)學(xué)思考方面提出的要求。教師要適時為學(xué)生提供模仿和練習(xí)語言的機(jī)會，給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生用語言比較完整地敘述思考的過程。

【案例一】《因數(shù)與合數(shù)》的教學(xué)：教師先讓學(xué)生列出1—20各數(shù)的所有因數(shù)，然后匯報表格的填寫情況，集體訂正；再根據(jù)因數(shù)的個數(shù)進(jìn)行分類，抽象出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念；最后出示百數(shù)表，先讓學(xué)生試找100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)和合數(shù)，集體訂正。并背誦50以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。

本例中，教師非常重視學(xué)生在“做”中學(xué)，如“寫”20以內(nèi)數(shù)的因數(shù)?！罢摇?00以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，而忽視了讓學(xué)生在“言”中悟，忽視學(xué)生通過用自己的語言嘗試概括概念的內(nèi)涵，重操作，輕語言。事實上，當(dāng)教師讓學(xué)生通過自主列出1-20各數(shù)的因數(shù)時，學(xué)生已經(jīng)對概念有了模糊的意象，只是不能用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言來概括，此時教師也沒有引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言嘗試概括概念，而是直接揭示概念，通過背誦記憶概念。這在一定程度上影響了學(xué)生逐步舍棄事物的非本質(zhì)屬性而突出本質(zhì)屬性的抽象概括能力的發(fā)展，導(dǎo)致學(xué)生對概念的理解只停留于表面。當(dāng)然，在這一階段，學(xué)生的語言最初可能不規(guī)范、比較生澀，但經(jīng)過與同伴對話、教師對話，與概念之間的對話和自我對話后，會慢慢形成具有個體特征的對概念本質(zhì)理解的語言。也在這種對話過程中，學(xué)生將會慢慢地將自身的理解與揭示的概念進(jìn)行對比，不斷矯正，不斷接納，最終理解這一概念。

又如在百數(shù)表中找質(zhì)數(shù)和合數(shù)環(huán)節(jié)中，教師關(guān)注的是找的結(jié)果，忽視了讓學(xué)生說說找的方法，忽略了讓學(xué)生討論這樣找的依據(jù)，既浪費(fèi)了找的時間，又導(dǎo)致了找的低效?？梢宰寣W(xué)生說說怎么找，為什么這樣找，然后再讓學(xué)生獨(dú)立找。這樣不僅能加深學(xué)生對概念的理解，更重要的是，在這樣的邏輯推理過程中，能提高運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地討論和判斷的能力，培養(yǎng)學(xué)生有序推理的意識。

誤區(qū)之二：過分追求直接指向結(jié)論的捷徑，卻忽略了學(xué)生經(jīng)歷活動過程的價值

有些教師對已經(jīng)抽象出的概念或給出的定義，總喜歡引導(dǎo)學(xué)生咬文嚼字理解概念中的關(guān)鍵字、詞，要求學(xué)生默讀、誦讀直至背誦概念，認(rèn)為只要找出關(guān)鍵詞語，會背了，也就理解了。殊不知“紙上得來終覺淺”，這只是停留在概念知識形成的表征上。

【案例二】《循環(huán)小數(shù)》的教學(xué)：教師先談話引入新課：校運(yùn)動會，小強(qiáng)跑400米時，用了75秒，他平均每秒跑多少米？請你在課堂作業(yè)本上列豎式計算（指名板演）。然后再出示28÷18和78.6÷11兩個算式，讓學(xué)生筆算并板演，最后拋出幾個問題：

師：哪位同學(xué)來說一說這三個商的特點(diǎn)？

師：像這樣一個數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫作循環(huán)小數(shù)。（師板演課題）

師：你認(rèn)為這一句話中關(guān)鍵字、詞有哪些？（無人舉手）

師：你覺得這句話中，哪些詞是重點(diǎn)詞呢？

師：大家一定要記住這些重點(diǎn)的詞，現(xiàn)在給大家2分鐘時間，看誰能記住這句話。（自由讀，再指定學(xué)生背誦）

這樣的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生能理解、會理解“循環(huán)小數(shù)”這一概念的定義嗎？這一定義是教師強(qiáng)加在學(xué)生的身上，學(xué)生是“被理解”。雖然能背出“循環(huán)小數(shù)”這一概念的定義，但根本是不知所以然，犯了重結(jié)論，輕過程的毛病。

“循環(huán)”現(xiàn)象在日常生活中隨處可見：四季的輪回、日歷的變化、體育老師的口令等。在概念的引入階段，教師就可為學(xué)生提供豐富的感性材料和生活經(jīng)驗進(jìn)行“對接”，通過學(xué)生的觀察，師生的對話，一步一步感知循環(huán)，深化循環(huán)，直至理解循環(huán)。先突破“不斷地”“重復(fù)出現(xiàn)”“無限的”這些教學(xué)難點(diǎn)，再通過計算、思考、猜想、討論等一系列的數(shù)學(xué)活動，深入探究，進(jìn)一步鞏固加深對循環(huán)小數(shù)這一數(shù)學(xué)概念的理解。

誤區(qū)之三：集中精力解讀概念的內(nèi)涵，卻忽略了概念的豐富外延

任何一個概念都包含了內(nèi)涵和外延。概念的內(nèi)涵反映了概念中的對象的本質(zhì)屬性，而外延則包含了某個概念的一切對象的范圍。如三角形的定義是“由三條線段首尾依次連接而成的圖形”，其內(nèi)涵包括：三條線段、封閉圖形、平面圖形等；其外延包括等腰、不等腰三角形，銳角、直角、鈍角三角形等。外延與內(nèi)涵就像概念的形與實，前者具有表象性、直觀性，后者具有抽象性、內(nèi)隱性。厘清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，是理解和掌握數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)之一。那么教師在選擇例題時，應(yīng)選擇具有普遍外延代表的正例，而非特例。

【案例三】《商的變化規(guī)律》的教學(xué)：教師創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：金老師花了100元錢買5元/個的文旦；王老師花了200元錢買10元/個的文旦；陳老師花了300元錢買15元/個的文旦。三位老師各買了幾個文旦？學(xué)生列出了100÷5=20、200÷10=20、300÷15=20這三個算式，然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，并探究規(guī)律。結(jié)果，好幾個學(xué)生都發(fā)現(xiàn)了“被除數(shù)依次增加100，除數(shù)依次增加5，商不變”這一規(guī)律，使探究商的變化規(guī)律的過程“節(jié)外生枝”，極大地影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的效率。而老師還不得不承認(rèn)他們的發(fā)現(xiàn)是對的，導(dǎo)致了教學(xué)的尷尬。

如果把例題改為：金老師在利群水果超市買了2個文旦，花了30元錢；王老師在楚門水果超市買了4個文旦，花了60元錢；陳老師大眾水果超市買了10個文旦，花了150元錢。哪位老師買得便宜？列式：① 30÷2=15，② 60÷4=15，②150÷10=15仔細(xì)觀察這三個算式，什么變了？什么不變？（被除數(shù)和除數(shù)都變了，商沒變）②式與①比，被除數(shù)和除數(shù)怎么變？（都乘2，商不變）③式與①比，被除數(shù)和除數(shù)怎么變？（都乘5，商不變）反過來，①式與②比，被除數(shù)和除數(shù)怎么變？①式與②比，被除數(shù)和除數(shù)怎么變？……就可避免了原來的教學(xué)“尷尬”“麻煩”。

誤區(qū)之四：生拉硬拽地對概念的認(rèn)知從直觀感知直接拖至抽象概括，卻省略了從“形象—表象—抽象”這一關(guān)鍵橋梁

圖形認(rèn)知是從形象的動作認(rèn)知到抽象的符號認(rèn)知中不可或缺的環(huán)節(jié)。然而，有的教師引導(dǎo)學(xué)生通過操作活動獲得感性經(jīng)驗的支撐后，直接跳躍到符號認(rèn)知階段，抽象出數(shù)學(xué)概念，省略表象建立的過程，導(dǎo)致學(xué)生無法很好地內(nèi)化。

【案例四】《長方體和正方體認(rèn)識》的教學(xué)：利用課件演示一個長方體，讓學(xué)生觀察、討論、匯報，得出它的特征：長方體有6個面、8個頂點(diǎn)、12條棱等。本案例的教學(xué)中，教師只是通過觀察活動獲取感性的認(rèn)識，學(xué)生還沒有在頭腦中建立起長方體豐富的表象時，就抽象出長方體的特征，他們也只能是糊里糊涂地接受這一概念知識，不會真正理解和記憶長方體的特征。犯了重抽象，輕表象的錯誤。

如果用實物演示切土豆：這個土豆是長方體嗎？（不是）這刀切下去，會出現(xiàn)什么？（一個平面）換一個方向切下去，又會出現(xiàn)什么？（又出現(xiàn)一個平面）（還出現(xiàn)一條直直的邊）師：這兩個面相交于一條直直的邊，這條邊就叫作長方體的棱。垂直于這兩個面再切一刀，又會出現(xiàn)什么？（三個面）（三條棱）（一個頂點(diǎn)）要切成長方體，還要切幾刀？一共要切幾刀？（還要切3刀，一共要切6刀）就在切土豆的過程中，為學(xué)生提供了豐富的面、棱、頂點(diǎn)等概念的形象和表象支撐，加深了學(xué)生的理解記憶，哪怕是學(xué)困生也能在頭腦中形成豐富立體的面、棱、頂點(diǎn)的形象。

小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始階段，學(xué)生的認(rèn)知水平、思維水平都處于起步階段，學(xué)生對于具體形象思維的依賴、抽象邏輯思維的不成熟，是他們的專利，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成，更多地需要形象或表象的支撐，它必須經(jīng)歷“形象—表象—抽象”這一轉(zhuǎn)化過程。

誤區(qū)之五：專注于概念模型的構(gòu)建，卻遺漏了學(xué)以致用的重要環(huán)節(jié)

使學(xué)生理解并能運(yùn)用概念解決實際問題是概念教學(xué)的最終目的。而在實際教學(xué)中，有的教師往往比較重視由具體到抽象這個環(huán)節(jié)，而忽視了由抽象到具體這個運(yùn)用環(huán)節(jié)。以為學(xué)生聽懂了概念，記住了概念，就是理解了、掌握了，導(dǎo)致偏離了概念教學(xué)的目的。學(xué)生是否理解和掌握概念，評價的主要標(biāo)準(zhǔn)在于能否正確的、靈活地運(yùn)用概念。因此，概念教學(xué)要克服重建構(gòu)輕應(yīng)用的傾向。

【案例五】在“方程的認(rèn)識”這一課時中，有些教師以天平為載體，引導(dǎo)學(xué)生用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系（300+300=600；300×2=600； 240+240<600；240+240+X=600；300>240；X+50=100； X+50<240；2X=24）。

再通過對算式進(jìn)行一次、二次的分類來比較式子的異同，直至抽象概括出方程的含義：含有未知數(shù)的等式叫方程。把大量的時間花在對算式分類整理這一環(huán)節(jié)上。在方程這一概念建構(gòu)時，我們不僅利用天平這一直觀載體引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識方程的意義，更應(yīng)注重實際生活中的等量關(guān)系，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系中理解方程。如：

① 全班共有48位同學(xué)，分成X組，每組8位同學(xué)。

② 每本練習(xí)本1.5元，學(xué)校買了X本，共花去600元。

③ 楊戈電影城2號廳一共有150個座位，觀眾已坐了X個座位，還有20個座位。你能用含未知數(shù)X的式子來表示嗎？你能用方程X+50=100編題嗎？

重視概念的應(yīng)用性也是數(shù)學(xué)教育改革的趨勢，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，增進(jìn)和培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，是數(shù)學(xué)學(xué)科和社會發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，最終要應(yīng)用概念解決問題。我們在方程這一概念建構(gòu)時，不僅利用天平這一直觀載體引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識方程，還應(yīng)該結(jié)合生活中的等量關(guān)系來理解方程，在運(yùn)用的基礎(chǔ)上建構(gòu)方程的意義。

當(dāng)然，人們常說：教學(xué)永遠(yuǎn)是一門遺憾的藝術(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)也不例外，不管哪堂概念課，當(dāng)你課后反思的時候，總會覺得有這樣那樣的失誤或遺憾。我想，正是在不斷解決這樣失誤和那樣遺憾的過程中，使我們的教學(xué)水平不斷得到提升。

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