孟品超　姜志俠　尹偉石

摘要：錯誤資源作為數(shù)學課堂中的生成性資源，不僅能夠反映學生的知識基礎、思維邏輯問題，還能突顯教學中的不足。教師在講解知識時應重視對錯誤資源的利用，通過設置認知“迷局”來激起學生對錯誤資源的認知覺醒，并逐步梳理知識、開展變式練習和錯誤資源串聯(lián)講解，全面引導學生善用“錯誤”，從而將不利的“錯誤”轉化成有利的資源，提高錯誤資源利用的科學性。

關鍵詞：錯誤資源 數(shù)學教學 思維能力 變式練習

錯誤資源在數(shù)學教學中往往被忽視或沒有得到充分、深入的利用，導致糾錯教育錯過了關鍵時機。教師應結合學生在數(shù)學知識、技能和心理等方面的實際情況探索具有科學性和可行性的錯誤糾正策略，加強對錯誤資源的科學利用。

一、錯誤資源的含義和教學價值

錯誤資源是學生在整個學習過程中出現(xiàn)的各種錯誤的集合，并通過師生有效的交流互動，在識別錯誤、反思錯誤以及糾正錯誤的過程中形成新的課程資源，具體可以分為陳述性知識錯誤、程序性知識錯誤和策略性知識錯誤等類型。數(shù)學錯誤資源的成因主要有以下幾個方面：首先，學生的數(shù)學知識基礎較為薄弱。這既有學習經(jīng)歷方面的限制，也有學生智力發(fā)展方面的局限，表現(xiàn)為自我學習能力、自我控制能力、分析與解決問題能力上的不足[1]。其次，大部分學生習慣以形象思維、直線思維來思考問題，而數(shù)學學科涉及大量的抽象性知識，尤其是函數(shù)部分的知識，對學生的抽象思維和拓展思維有較高的要求。當學生解答這類問題時，容易因為知識基礎薄弱、思維局限而出現(xiàn)錯誤。再次，不少學生缺乏良好的審題、解題習慣，學習活動受到情緒尤其是興趣的主導，而數(shù)學課對于他們來說是相對枯燥的課程，審題、解題的耐性較差，導致在解題、證明等過程中頻頻出錯。

教育改革提高了對教學資源開發(fā)的重視，提出數(shù)學教學要緊密聯(lián)系學生的生活實際，創(chuàng)造性地利用一些資源，提高數(shù)學學習活動的生命力。錯誤資源是課堂教學中的重要資源，其教學價值主要體現(xiàn)在以下三個方面。

一是錯誤資源能夠客觀地呈現(xiàn)錯誤的數(shù)學思維歷程。數(shù)學學習是一個不斷提出假設、修正假設并完善假設的學習過程。從這一角度來看，數(shù)學學習中出現(xiàn)的錯誤資源屬于師生探索數(shù)學知識的一個嘗試，盡管因嘗試出錯而導致探索學習偏離了原定的目標，但凝聚了師生的探索體驗，具有一定的教學價值。尤其是數(shù)學學科和其他文科學科相比，大部分計算結果都具有唯一性。學生在正確解題時最終所得的答案都是一致的，而錯誤答案則多種多樣，能夠反映出學生對題目的解讀錯誤情況，特別是列式演算或推理證明的過程，能夠較為全面地展示出學生的思維歷程，為師生糾錯和強化學習提供重要的教學資源。

二是錯誤資源集中了數(shù)學課堂上大部分的難題，呈現(xiàn)了數(shù)學重難點知識。錯誤資源在教學中能夠起到“鏡面”的作用，將所有的重點知識、難點知識折射成一個集合體。尤其是學生重復多次出現(xiàn)的錯誤，更是反映出學生在數(shù)學知識和技能應用上的缺漏情況，也顯現(xiàn)了教師在相關內(nèi)容上的教學問題。

三是錯誤資源的糾正可以讓學生產(chǎn)生更為深刻的記憶與理解。錯誤的存在通常會給學生帶來一種強烈的刺激性行為，在大腦皮層形成興奮中心，周圍區(qū)域都呈抑制狀態(tài)，高度集中學生的注意力，讓他們聽課更加認真、思考愈加縝密、學習更為專心。學生在發(fā)現(xiàn)錯誤之后，教師以展示的形式來分析錯誤的成因，進而糾正錯誤，能夠讓學生深刻地意識到自身的錯誤，增強記憶能力，降低二次犯錯的可能性[2]。由于學生在分析錯誤、解決錯誤的過程中體會到平常學習中難以出現(xiàn)的另類思維，感受到心理的挫折、驚喜與頓悟，從而有效提高學習效率。

二、目前數(shù)學錯誤資源的應用問題

1.學生糾錯存在形式化問題

目前大部分學生缺乏正確的錯誤觀念，容易出現(xiàn)自卑與自負交錯的心理現(xiàn)象，導致糾錯行動形式化。部分學生在面對錯誤時都有自卑心理，尤其是錯誤數(shù)量大而且明顯多于其他同學時，自卑心理將進一步強化，導致十分害怕因錯誤而受到教師的批評、同學的嘲笑以及家長的責罵。因此他們在面對課堂、作業(yè)以及考試等方面出現(xiàn)的錯誤時，往往表現(xiàn)出掩蓋錯誤的行為傾向，不愿意主動向教師、家長以及其他學生尋求幫助[3]。部分學生會不自覺地為錯誤尋找借口，“粗心大意”、“不勤奮”是常用的借口。通過這些借口，學生多次安慰自己，逐漸形成“下次認真一些就行”、“勤奮一些就不會錯了”等想法，產(chǎn)生面對錯誤資源的自負心理，從而不正視錯誤，也不進行深入的糾錯。還有不少學生對教師、家長提供的正確答案存在依賴心理，并把他們給的答案作為“權威”，直接糾正錯誤答案或把所給的解題過程謄抄一遍，缺乏對錯題“為什么錯”的深入思考，極少主動糾正自己的審題解題思路和習慣，導致錯誤成為“頑癥”而難以根治。

2.教師批改和糾錯存在表面化問題

部分教師對試卷、作業(yè)的批改較為隨意和僵化，濫用套話空話，缺乏具體深入的指導。面對不同學生解答題目時的思路與步驟的差異，教師有時候一個勾或叉就完成了批改，即便是肯定性的批改，也會讓學生忽視了解答的拓展性方法。尤其是數(shù)學學科中選擇題占了較大的比例，而且不少計算題、證明題的結果都是唯一的，導致數(shù)學教師只需看結果就能基本判斷學生解題或證明的對錯[4]。在這種背景下，部分數(shù)學教師快速批改，忽視學生的錯誤成因。這使得學生的作業(yè)和考試結果沒有得到很好的反饋，難以起到鞏固與提高的效果，導致學生再次碰到問題時還容易犯同樣的錯誤。此外，部分數(shù)學教師對錯題的講解只停留在表面的“糾正錯誤”上，沒有深入挖掘導致錯誤的深層次原因，對于“為什么錯”缺乏深入反思，從而導致了再次錯誤的出現(xiàn)。

三、科學利用錯誤資源的策略

1.設置錯誤“迷局”，激起認知覺醒

數(shù)學教學過程是一種特殊的認知過程，需要學生具有較強的認知能力。然而不少學生由于數(shù)學基礎薄弱、思維能力差等原因，對數(shù)學錯誤的認知能力和分析能力仍有待鍛煉和提高。因而他們在犯錯后容易陷進認知的“迷局”中，不知道為什么錯，導致錯誤資源的作用難以發(fā)揮出來。數(shù)學教師應樹立正確的錯誤觀，理性對待學生的錯誤，減少批評和斥責，并在課堂教學和課后輔導過程中，以民主、平等的方式與學生進行交流，引導學生樹立正確的錯誤觀念和自信的學習態(tài)度[5]。在營造寬松的學習氛圍后，教師還應結合數(shù)學錯誤資源，鍛煉學生對數(shù)學錯誤的認知能力和分析能力。教師應根據(jù)學生的數(shù)學認知基礎，在教學設計中巧設認知“迷局”，布下“陷阱”，讓學生去犯錯誤，將不正確的思維方式盡早暴露出來，并引導學生加強對“錯誤陷阱”的覺醒和認識。教師發(fā)現(xiàn)學生遇到解題困境或是出現(xiàn)錯誤之后，應從產(chǎn)生錯誤的根源入手，對其加以分析，引導學生對比正確答案與錯誤答案，讓他們自主發(fā)現(xiàn)其他可能發(fā)生錯誤的問題，同時分析自己解題錯誤的緣由[6]。在這一過程中，教師可通過認知沖突讓學生意識到正確的結果與自己所想的不一樣，主動去思考為什么會出現(xiàn)不一樣，進而深入分析錯誤原因。此外，教師還可看似不經(jīng)意地沿著部分學生的錯誤思維進行講解和演算，得出結果、進行驗算，直到“驚訝”地發(fā)現(xiàn)解題錯誤，再回顧剛才分析的過程中哪里出錯，深入挖掘錯誤所在，激起學生對錯題的認知覺醒，提高重視程度。

2.完善知識梳理，加強錯誤認知

錯誤是一種典型的認知上的偏差，往往具有普遍性，可能是全班學生的共同錯誤。教師可針對錯誤資源組織合作討論，通過與學生之間的探討交流，對學生不準確、不正確的回答給出具體的意見，幫助學生糾正錯誤。為了既“治標”又“治本”，教師應深入分析學生在錯誤資源中呈現(xiàn)的知識錯誤、思維錯誤以及習慣錯誤，引導學生梳理并建立起完備的知識體系，加強核心知識點與其他知識點在縱橫經(jīng)緯上的交織與關聯(lián)，形成完善的知識網(wǎng)絡。在構建知識體系時，教師可借助思維導圖這一教學工具，加強知識聯(lián)系的形象性，避免因數(shù)學知識抽象而導致知識體系形式化。在繪制思維導圖時，教師可引導學生以錯誤資源的主要知識點為思維導圖的核心，在此基礎上延伸不同的知識分支和節(jié)點，并通過線條、顏色、符號、關鍵詞、圖像和表格等，提高思維導圖的形象性和直觀性。此外，教師還可以引導學生畫出“易錯題”這一分支，讓學生收集和整理相關的錯誤資源，用紅色、紫色等顏色鮮明的筆做好標注。這將深化學生對錯誤知識的理解，并增強知識的有序性，有利于學生提取與應用相關知識點，進而提高學生分析與解答問題的能力，降低錯誤率。

3.開展變式練習，糾正錯誤思維

部分錯誤出自學生思維的僵化，表現(xiàn)為學生對常規(guī)的例題能夠理解和運用，但是稍加變化之后就難以應對并頻頻出錯。教師在數(shù)學課堂上不僅要傳授數(shù)學學科知識與原理，還應開展多樣化的訓練，引導學生鍛煉出靈活的思維能力，以便應對數(shù)學應用過程中出現(xiàn)的各類題目。為此，教師可根據(jù)錯誤資源的特點，調(diào)整部分題干或問題，設計與錯題相似但解題切入點不同的變式練習。這些練習可根據(jù)教學目標的不同進行分類：一是對比練習，增強學生的數(shù)學“敏感性”。通過設計具有強烈對比意味的變式練習，學生能夠在做題過程中區(qū)別對待不同的題設描述，分析題目條件及問題中存在的差異，并和之前的錯題進行對比，增強對以往的數(shù)學錯誤的“敏感性”，避免重復犯錯。同時，這種形式的練習能夠在無形中建立知識點之間的聯(lián)系，引導學生回顧錯誤并觸類旁通，在對比變式中糾正錯誤思維，使錯誤得到更深入更有效的糾正，從而形成具有長遠性、穩(wěn)定性和靈活性的數(shù)學解題能力。二是自主練習，促進錯誤反思和交流。通過設計自主練習題目讓學生自由地發(fā)揮與探索，在自主練習的過程中引導學生互相交流、探討，交換彼此的看法，讓學生們通過其他人的思想來完善自己的思維[7]。這些變式練習將強化學生對之前錯誤解題的認識和理解，加深做題記憶。學生在做變式練習中反應的思考邏輯、數(shù)學思維等也能促使教師加深對學生學習特點的了解，不斷積累相關的教學經(jīng)驗，推動新課改的落實。

4.及時回顧錯誤，鞏固理解記憶

將錯誤進行探討研究，及時糾正，獲得正確的解題方法，并及時對正確的知識進行梳理，可以使知識在腦海中形成一個完整的知識體系。這不僅能夠讓知識變得更加系統(tǒng)，加深學生對所學知識的記憶和理解，而且可以提高學生分析問題的能力，從而避免在同類題目中再次犯錯。同時，教師應充分利用記憶遺忘曲線圖的原理，科學利用講解別的知識點或者題目的機會再次提及和重現(xiàn)錯題，并在作業(yè)布置上設計一些錯題的變式練習，引導學生及時回顧解題策略，加深正確的數(shù)學解題思維。教師在教學中還應加強錯誤資源的聯(lián)系，將錯誤資源進行分類。例如在一個單元的學習結束后，教師可引導學生將自己在該單元中出現(xiàn)的錯誤分成三類：一是基礎性知識錯誤，主要包括混淆概念、記錯公式而出現(xiàn)的錯誤資源；二是過程性知識錯誤，主要是解題思維和解題方法不當而導致的錯誤；三是習慣性知識錯誤，主要是因為審題不清、計算粗心而出現(xiàn)的錯誤。教師可引導學生將錯誤資源具體分類，形成“錯誤資源清單”，并定期復習，在復習過程中補充新的錯誤資源，刪去已經(jīng)熟練掌握的錯誤資源，形成具有動態(tài)性的錯誤知識回顧[8]。這將為學生提供回憶所學知識的契機，促進解題記憶的“復蘇”，從而鞏固正確解題的記憶和技巧。

參考文獻

[1] 芮金芳.數(shù)學課堂教學中錯誤資源的有效利用[J].教學與管理，2007（14）.

[2] 王愛玲.數(shù)學課程資源的開發(fā)與利用[J].教育理論與實踐，2010（9）.

[3] 喻平.論內(nèi)隱性數(shù)學課程資源[J].中國教育學刊，2013（7）.

[4] 李祎.生成性教學資源調(diào)查研究——以數(shù)學學科教學為例[J].中國教育學刊，2007（3）.

[5] 李國強，陳碧芬.數(shù)學課程資源的認識、開發(fā)與利用[J].教學與管理，2012（18）.

[6] 陳真真.何在數(shù)學教學中有效利用課程資源[J].教育理論與實踐，2008（14）.

[7] 于振璽，鄭慶全.基于課程資源視角的數(shù)學創(chuàng)新性教學研究[J].當代教育科學，2014（12）.

[8] 李允.教學錯誤資源：理性認識與有效開發(fā)[J].中國教育學刊，2011（4）.

[作者：孟品超（1978-），女，吉林舒蘭人，長春理工大學理學院副教授，碩士；姜志俠（1976-），女，遼寧昌圖人，長春理工大學理學院教授，博士；尹偉石（1980-），男，吉林德惠人，長春理工大學理學院講師，博士。]

【責任編輯 郭振玲】