探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與拓展

羅開平

摘要：隨著新課標(biāo)教學(xué)課程進(jìn)程的加快，在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域?qū)τ跀?shù)形結(jié)合教育方法的越發(fā)的重視，這種教學(xué)方法得到了較大的推廣。而且該教學(xué)方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有著重要的指導(dǎo)思想和提升空間。筆者在此對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探討和研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）09-0209-02

總所周知，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是"以數(shù)解形"，而第二種情形是"以形助數(shù)"。"以數(shù)解形"就是有些圖形太過于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等。

數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期就已經(jīng)有了，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過："數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)階段，數(shù)學(xué)包括《集合與函數(shù)》《三角函數(shù)》《不等式》《數(shù)列》《復(fù)數(shù)》《排列、組合、二項(xiàng)式定理》《立體幾何》《平面解析幾何》等部分。幾何立體圖形部分占據(jù)著重要的部分，數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)里面以后，可以解決很多問題，首先在集合與函數(shù)上，可以在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡(jiǎn)化，使運(yùn)算快捷明了。函數(shù)上函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更容易的理解和解決函數(shù)問題。其次在處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路，利用數(shù)形結(jié)合思想解題就更能一目了然。而且在有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題上，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。關(guān)于線性規(guī)劃問題上，線性規(guī)劃是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題。數(shù)形結(jié)合從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。再者，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。最后，在幾何圖形上解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中。立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算。綜上所述，以上在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用里，數(shù)形結(jié)合的思想是很普遍的而且在高中數(shù)學(xué)基本教學(xué)上的重要地位。

高中生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的時(shí)候也會(huì)存在很多問題。在運(yùn)用其進(jìn)行解題的過程中，容易掉進(jìn)誤區(qū)，而且在每個(gè)學(xué)習(xí)階段都會(huì)出現(xiàn)誤區(qū)。比如在對(duì)于不同的問題下采取的數(shù)形結(jié)合方法不適合，以及錯(cuò)誤的指導(dǎo)。再者就是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合的解題方法具有簡(jiǎn)潔、形象、便捷、只管、快速的特性，因?yàn)檫@樣的便捷性，會(huì)使學(xué)生不思考其他更為簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)便方法。為了避免這樣的問題，教師在指導(dǎo)的時(shí)候以及學(xué)生在采取方法的時(shí)候，要擴(kuò)寬自身的思考范圍，教師在指導(dǎo)的時(shí)候更要注意多提問，增加學(xué)生的思考空間，而且更應(yīng)該認(rèn)真仔細(xì)的進(jìn)行審題，閱讀題目的重要信息。

數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。它從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合。該思想在高中階段的應(yīng)用效果是有目共睹的，高中數(shù)學(xué)的邏輯性對(duì)于學(xué)生純粹的思考起來比較有難度，數(shù)形結(jié)合的出現(xiàn)減少了學(xué)生的思考難度。課改的新要求出現(xiàn)后，高考命題時(shí)數(shù)學(xué)的問題更加傾向于考察學(xué)生們掌握知識(shí)的豐富性、多變性和深刻性，更加關(guān)注考生們的散性思維與創(chuàng)造性，更加開放的題目。數(shù)形結(jié)合思想在這些問題上可以減少考生對(duì)問題的思考時(shí)間，并且更具有成功效率。

通過對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究，我們可以看出，數(shù)和形之間的巧妙結(jié)合，并且在高中數(shù)學(xué)中可以看出數(shù)形結(jié)合思想的重要性，彌補(bǔ)了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的缺陷，更容易的為學(xué)生們提供思考方法。但是，數(shù)形結(jié)合也并不是完美的，在很多方面也存在很多缺點(diǎn)，但是隨著歷代師生的磨練，時(shí)間會(huì)改進(jìn)方法，或者更準(zhǔn)確的說是多年后這一種經(jīng)驗(yàn)的傳遞！

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