淺議“猜想”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要性

鄒武軍

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)生在義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，要求教師組織學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象開展觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想、歸納，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，主動(dòng)獲取新知，在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，使得思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展，培養(yǎng)合情推理能力和初步的演繹推理能力。這便要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要注重提高學(xué)生以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力?！安孪搿痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中有利于提高學(xué)生掌握知識(shí)和技能的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生思考和解決問(wèn)題的靈活性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性。這些都是數(shù)學(xué)思維能力所包含的內(nèi)容，所以，研究者認(rèn)為，“猜想”對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力有著至關(guān)重要的作用。

關(guān)鍵詞：猜想；引導(dǎo)；數(shù)學(xué)思維

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們時(shí)時(shí)刻刻都需要以數(shù)學(xué)思維來(lái)解決問(wèn)題，教師也經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生以所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決自己所遇到的實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)系統(tǒng)化的邏輯體系，而推理則是抽象邏輯思維的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，幾乎大部分定律、性質(zhì)、法則是由歸納推理得出的。根據(jù)特殊的前提作出一般性結(jié)論。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生更加主動(dòng)地接觸相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，積極引導(dǎo)學(xué)生“猜想”至關(guān)重要。這便要求學(xué)生對(duì)所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定經(jīng)驗(yàn)的推測(cè)性想象的思維方法。這不僅是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵，也從各個(gè)方面促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的形成。

一、提高學(xué)生掌握知識(shí)和技能的深刻性

研究者作為數(shù)學(xué)教師在課堂上提出這樣一個(gè)問(wèn)題，將12個(gè)1平方厘米的正方形拼成不同的長(zhǎng)方形，并收集數(shù)據(jù)：

研究者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為6厘米和2厘米的時(shí)候，長(zhǎng)方形的面積是多少？長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？接下來(lái)的五分鐘時(shí)間里，先是短暫的沉默，接下來(lái)學(xué)生爭(zhēng)先恐后地說(shuō)出自己心目中的數(shù)字，連那些平時(shí)很少發(fā)言的學(xué)生都積極地參與了進(jìn)來(lái)，有的學(xué)生回答是8，有的學(xué)生回答是3，但是更多的學(xué)生回答的是12。學(xué)生都想知道自己所說(shuō)出來(lái)的數(shù)字是否為正確答案，每個(gè)人都聚精會(huì)神，眼睛盯著講臺(tái)上的研究者，當(dāng)研究者說(shuō)出12為正確答案的時(shí)候，回答正確的學(xué)生顯得非常開心，回答錯(cuò)誤的學(xué)生在研究者的鼓勵(lì)下，開始重新觀察這些數(shù)字。在研究者的引導(dǎo)下，學(xué)生繼續(xù)展開猜想，12這個(gè)數(shù)字，是如何得來(lái)，是前面兩個(gè)數(shù)字以怎樣的運(yùn)算法則得來(lái)，很快，學(xué)生得出長(zhǎng)方形的面積是該長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬相乘而得來(lái)的結(jié)論，于是，一堂氛圍熱烈的數(shù)學(xué)課就這樣展開了。

在這個(gè)過(guò)程中，“猜想”在一定程度上更加強(qiáng)烈地激發(fā)了學(xué)生的求知欲，這樣的氛圍也鼓勵(lì)學(xué)生積極參與到當(dāng)下正在研究的問(wèn)題中來(lái)，當(dāng)學(xué)生猜出正確答案的時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，并展開進(jìn)一步的猜想和思考，對(duì)于回答錯(cuò)誤的學(xué)生，教師鼓勵(lì)他們繼續(xù)觀察，并逐步引導(dǎo)，直到學(xué)生說(shuō)出正確答案。研究者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察發(fā)現(xiàn)，在“猜想”的過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)對(duì)所學(xué)內(nèi)容記憶更加深刻，這一深刻的記憶，也會(huì)被經(jīng)常用于現(xiàn)實(shí)生活中所遇到的相關(guān)問(wèn)題。正是“猜想”使得學(xué)生探索了所研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的一些內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也為學(xué)生能將思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中來(lái)提供了前提條件。

二、培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性

在一堂離下課時(shí)間還有十分鐘的數(shù)學(xué)課上，學(xué)生央求研究者在黑板出題給大家做，于是，研究者在黑板上出了這樣一道題，并要求學(xué)生展開猜想：在數(shù)字1、2、3、4、5保持順序不變的情況下，任意添加運(yùn)算符號(hào)及括號(hào)，使得所得結(jié)果分別為1、2、3、4、5。學(xué)生爭(zhēng)先恐后地說(shuō)出自己所猜想的添加方法，研究者在此時(shí)要求學(xué)生在自己的草稿紙上進(jìn)行驗(yàn)證，不得相互討論。最后請(qǐng)學(xué)生到黑板上將他所認(rèn)為的正確答案寫在黑板上，這時(shí)候，一些學(xué)生發(fā)現(xiàn)，黑板上所給出的答案和自己在草稿紙上所寫的答案并不一樣，可細(xì)細(xì)演算之后，覺得自己的答案也是正確的，于是學(xué)生明白，這道題有多個(gè)正確答案。在學(xué)生猜想的過(guò)程中，有時(shí)添加運(yùn)算符號(hào)雖然沒有得出1、2、3、4、5其中的任何一個(gè)數(shù)字，卻得出了6、7、8、9、10這些結(jié)果，學(xué)生對(duì)這些數(shù)字感到驚奇。

在研究者的引導(dǎo)下，學(xué)生明白，有時(shí)候一道題也有多種解題方法，更明白了，現(xiàn)實(shí)生活中所遇到的實(shí)際問(wèn)題并不是都只有一種解決方法，如果將解決這道題的思維方式用于實(shí)際生活中，很多問(wèn)題都會(huì)迎刃而解，越是困難的問(wèn)題越是需要從多個(gè)角度去突破，越是需要靈活的處理方式。

三、培養(yǎng)學(xué)生思考和解決問(wèn)題的獨(dú)創(chuàng)性

“猜想”需要以主體已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，當(dāng)學(xué)生深入挖掘自己所學(xué)知識(shí)不斷推測(cè)、不斷嘗試的時(shí)候，在一定程度上，這極大地促進(jìn)了學(xué)生的獨(dú)立思考。事實(shí)證明，當(dāng)面對(duì)所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，獨(dú)立思考往往能帶來(lái)創(chuàng)新，一道測(cè)驗(yàn)題便是很好的證明：在一塊正方形的場(chǎng)地四周都種上樹，每邊都種10棵，并且四個(gè)頂點(diǎn)都要種上一棵樹，問(wèn)這個(gè)場(chǎng)地四周一共種有多少棵樹？研究者剛讀完題目，幾乎所有的學(xué)生回答的都是40棵，于是研究者要求學(xué)生在自己的稿紙上將正方形的場(chǎng)地畫出來(lái)，然后再展開猜想，40棵究竟是否為正確答案？在研究者的引導(dǎo)下，學(xué)生開始質(zhì)疑他們所說(shuō)答案的正確性，很快知道正確答案為36棵。接下來(lái)，研究者提問(wèn)學(xué)生，36這個(gè)數(shù)字是怎么得來(lái)的。學(xué)生的回答是用40減4，這樣計(jì)算下來(lái)雖然是正確答案，但是學(xué)生對(duì)于減數(shù)是如何而來(lái)卻說(shuō)不清楚，這時(shí)候，一個(gè)學(xué)生說(shuō)，首先，他在心里想象有一個(gè)四邊形，先在上下兩條邊上分別種上10棵樹，這樣一來(lái)左右兩條邊只要分別種上8棵樹就可以了，20+16=36，這就很容易理解了。

獨(dú)立思考是創(chuàng)新的前提條件，在“猜想”過(guò)程中，學(xué)生在不受他人干擾的情況下，以自己的思維方式不斷想象和嘗試，這有利于學(xué)生將自己所猜想的和其他人所猜想的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而發(fā)現(xiàn)不同?，F(xiàn)實(shí)生活中，我們正是需要這種思維方式，以便學(xué)生主動(dòng)地、獨(dú)創(chuàng)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，從而以對(duì)待數(shù)學(xué)的思維方式來(lái)解決問(wèn)題。

四、培養(yǎng)學(xué)生看待問(wèn)題的批判性

對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行觀察是“猜想”的前提，驗(yàn)證則是檢驗(yàn)“猜想”合理與否的重要途徑。學(xué)生通過(guò)檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)一些推理的矛盾性以及運(yùn)算的錯(cuò)誤性，并予以糾正。當(dāng)學(xué)生對(duì)所研究問(wèn)題的猜想結(jié)果不屬于合情推理的時(shí)候，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，必要時(shí)，需要學(xué)生重新猜想和驗(yàn)證，使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程所存在的問(wèn)題，包括被遺忘或忽視的數(shù)學(xué)知識(shí)，相關(guān)知識(shí)的一些錯(cuò)誤記憶，從而達(dá)到學(xué)生自我反思的目的。

在反思的過(guò)程中，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)自己的問(wèn)題所在，在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。另外，研究者以一道本身并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)題作為學(xué)生的研究對(duì)象，正是學(xué)生在反思過(guò)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了題目本身是說(shuō)不通的。這讓學(xué)生明白并不是我們所面對(duì)的每一個(gè)研究對(duì)象都是科學(xué)合理的，研究對(duì)象有時(shí)候本身就存在問(wèn)題，這就要求人們?cè)谔幚砣粘?wèn)題時(shí)，要有質(zhì)疑精神、批判精神。

總而言之，“猜想”有助于學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)學(xué)會(huì)從多方面入手，從不同的角度來(lái)解決問(wèn)題，其次有助于學(xué)生積極參與到所研究的問(wèn)題中來(lái)，獨(dú)立思考，為創(chuàng)新提供條件，另外，也使得學(xué)生明白自我批評(píng)可以發(fā)現(xiàn)自身所存在的問(wèn)題，從而達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)深化、鞏固和提高的目的。在教學(xué)中，教師假設(shè)情景或積極引導(dǎo)學(xué)生，將這些解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，以改變學(xué)生以往對(duì)待問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和態(tài)度，提高思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力正是在學(xué)生的猜想過(guò)程中逐漸形成和深化的，所以說(shuō)，“猜想”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑。

參考文獻(xiàn)：

劉興祥，劉康波.數(shù)學(xué)猜想的類型、方法及其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007（2）.

編輯 魯翠紅