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      利用“降階法”求解歐拉方程

      2017-03-27 21:39劉慶輝
      關(guān)鍵詞:特征方程特征值

      劉慶輝

      【摘要】本文通過“降階法”研究了三階非齊次歐拉方程的求解問題,給出了通解的積分形式,并通過具體例題來說明求解的方法和步驟.

      【關(guān)鍵詞】歐拉方程;降階法;特征方程;特征值

      【基金項目】2015年唐山師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項目——《常微分方程》課程教學(xué)改革的研究與實(shí)踐(2015001018).

      歐拉方程是一類很重要的變系數(shù)微分方程,對于它的求解一直是研究的重點(diǎn).可以發(fā)現(xiàn),對于非齊次歐拉方程的求解主要有兩種方法,但計算步驟較煩瑣,而且計算量也很大,本文以三階非齊次歐拉方程為例,通過對未知函數(shù)進(jìn)行合適的變換,進(jìn)而降低方程的階數(shù),并得到其通解的積分形式,而且此方法可以推廣到更高階的非齊次歐拉方程.

      定義1形如

      x3y+ax2y″+bxy′+cy=f(x)(1)

      的方程稱為三階非齊次歐拉方程,其中a,b,c∈R,f(x)是連續(xù)函數(shù).

      定義2形如

      x3y+ax2y″+bxy′+cy=0(2)

      的方程稱為三階齊次歐拉方程,且方程(2)稱為對應(yīng)于方程(1)的齊次歐拉方程.通過對比可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)方程(1)中的自由項f(x)≡0時,便為方程(2).

      定義3稱方程

      k(k-1)(k-2)+ak(k-1)+bk+c=0(3)

      為方程(2)的特征方程,方程(3)的根稱為方程(2)的特征根.方程(2)的特征根對應(yīng)它的某個特解.

      定理1若在方程(1)中c=0,且k1,k2滿足方程:k(k-1)+ak+b=0,則方程(1)的通解為

      y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f(x)dxdxdx,

      其中通解中的三個相互獨(dú)立的常數(shù)包含在三個不定積分中.

      證明當(dāng)c=0時,方程(1)變?yōu)?/p>

      x3y+ax2y″+bxy′=f(x),

      上式為可降階的三階方程,做函數(shù)變換,令z=y′,則上述方程等價于

      x2z″+axz′+bz=x-1f(x),(4)

      方程(4)的通解為z=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f(x)dxdx,

      因此,方程(1)的通解為

      y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f(x)dxdxdx,

      其中通解中的三個相互獨(dú)立的常數(shù)包含在三個不定積分中.

      定理2若在方程(1)中c≠0且y0(x)=xk0是滿足方程(2)的非零實(shí)特解,k1,k2滿足方程k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)k0+b]=0,則方程(1)的通解為

      y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f(x)dxdxdx,

      其中通解中的三個相互獨(dú)立的常數(shù)包含在三個不定積分中.

      證明因為y0(x)=xk0是方程(1)的非零特解,做函數(shù)變換y=xk0∫udx,并代入方程(1)中,整理后可得:

      x2u″+(3k0+a)xu′+[3k20+(2a-3)k0+b]u=x-k0-1f(x),

      顯然方程(1)降低一階,且上式為關(guān)于u的二階非齊次歐拉方程,結(jié)合已知條件與定理1的證明可知,

      u=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f(x)dxdx,

      即方程(1)的通解為:

      y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f(x)dxdxdx,

      其中通解中的三個相互獨(dú)立的常數(shù)包含在三個不定積分中.

      下面通過具體例題來說明如何利用定理1和定理2來求解非齊次歐拉方程.

      例1求方程x3y-x2y″+2xy′-2y=2x3的通解.

      解顯然,y=x是對應(yīng)的齊次歐拉方程的非零實(shí)特解,即k0=1,將各系數(shù)代入

      k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)k0+b]=0,

      得到k(k-1)+2k=0,

      解得k1=0,k2=-1,又f(x)=2x3,則根據(jù)定理2,原方程的通解為y=x∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-3f(x)dxdxdx=

      x12x2-c1ln|x|+c2x+c3.

      例2求方程x3y+2xy′-2x=x(x>0)的通解.

      解顯然,y=x是對應(yīng)的齊次歐拉方程的非零實(shí)特解,即k0=1,將各系數(shù)代入

      k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)k0+b]=0,

      解得k1=-1+i,k2=-1-i,又f(x)=x,則由定理2,原方程的通解為

      y=xk0k2-k1∫xk2∫x-k2-k0-2f(x)dx-xk1∫x-k1-k0-2f(x)dxdx,(5)

      再根據(jù)歐拉公式eα+iβ=eα(cosβ+isinβ),得到

      xk2=x-1+i=x-1[cos(lnx)+isin(lnx)],

      xk3=x-1-i=x-1[cos(lnx)-isin(lnx)],

      并將其代入(5)式中,則原方程的通解為

      y=x(lnx-c1cos(lnx)+c2sin(lnx)+c3).

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