李凌云

摘 要：《烙餅問題》屬于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《數(shù)學(xué)廣角》中的內(nèi)容，主要讓學(xué)生能夠感受、經(jīng)歷到優(yōu)化思想運用的有效性，有效培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意志力與能力。通過圍繞優(yōu)化的思想進(jìn)行，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的時候一定要以學(xué)習(xí)的方式作為主線，研究怎樣才能夠得出正確的方式，進(jìn)而展開教學(xué)。

關(guān)鍵詞：研究方法；實施過程；研究緣起

一、研究緣起

《烙餅問題》屬于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《數(shù)學(xué)廣角》中的內(nèi)容，這節(jié)課我們早在2009年就做過專門的研究，時隔幾年，再來審視自己的理解和以前的教學(xué)，幾點疑惑再度清晰地閃現(xiàn)：（1）本課的核心目標(biāo)是優(yōu)化思想的滲透，還是規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、模型的建立與應(yīng)用？（2）以前的教學(xué)，老師最終都引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)一個不具有普適性的計算規(guī)律，烙餅時間=每面的時間×餅的張數(shù)，最后應(yīng)用這個規(guī)律解決一些實際問題；不知這個規(guī)律的價值何在？這個規(guī)律會不會對學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移？諸多的困惑事實上都指向于目標(biāo)定位與價值取向，于是我們再次仔細(xì)翻閱了教材和教參，發(fā)現(xiàn)實驗稿與修訂版居然在單元的命名上就有了較大的差異：實驗稿稱之為“數(shù)學(xué)廣角”，而修訂稿稱之為“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”，為何要增加“優(yōu)化”一詞？何為“優(yōu)化”？

二、研究方法的提出

為解此疑惑，我首先把這個問題拋給了我們教研組的老師：你認(rèn)為《烙餅問題》的教學(xué)目標(biāo)是什么？教學(xué)的重點應(yīng)該放在哪里？組內(nèi)共15位教師，其中只有包括我在內(nèi)的4位教師認(rèn)為教學(xué)的重點應(yīng)該是優(yōu)化，而11位教師認(rèn)為優(yōu)化思想固然重要，但規(guī)律的探究及時間的計算也應(yīng)該是本課的一個重點，因為本課時還應(yīng)該承載“提升學(xué)生解題能力”這一目標(biāo)。雙方各執(zhí)己見，通過實踐看結(jié)果當(dāng)然是最有說服力的。于是我們分成不同的兩組進(jìn)行實施研究，研究流程如下：

第一步，了解學(xué)生起點，對兩個實驗班級進(jìn)行前測。

第二步，用不同的教學(xué)設(shè)計對兩班實施教學(xué)（目標(biāo)定位是有顯著差異的：一個班以優(yōu)化思想統(tǒng)領(lǐng)全課，自始至終圍繞策略優(yōu)化展開教學(xué)；另一個班“優(yōu)化思想的滲透”和“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)應(yīng)用”這兩個目標(biāo)并重。）。

第三步，對兩個班級進(jìn)行后測，對比前測，對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。

三、研究的實施過程

（一）在前測中了解學(xué)生基礎(chǔ)

前測我們放了三道題，前兩題是關(guān)于復(fù)印時間計算，學(xué)生明白一次復(fù)印一張還是兩張，就清楚復(fù)印的總時間。第3題是關(guān)于“烙餅”的，是想了解學(xué)生對生活中統(tǒng)籌安排的理解及烙餅問題的認(rèn)知程度等情況，以便于調(diào)整課堂教學(xué)，更好地為教學(xué)服務(wù)。三道題目如下：

1.要復(fù)印12份試卷，雙面復(fù)印，每復(fù)印一面要1分鐘，一次只能復(fù)印一張。共要復(fù)印多少分鐘？

2.上面的題，如果每次能復(fù)印兩張，這些試卷共要復(fù)印多少分鐘？

3.張阿姨烤面包。每次可以烤兩個面包，每個面包要烤兩面，每烤一面2分鐘?？?個面包要幾分？烤3個、4個呢？（請畫圖說明）

經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前兩題學(xué)生理解得還不錯，知道要計算總共的時間，只要計算復(fù)印的次數(shù)，再乘以每次復(fù)印的時間就可以了。所以做對的人數(shù)比較多。最后一題是想看看學(xué)生對烙餅問題到底有什么樣的基礎(chǔ)。翻閱作業(yè)發(fā)現(xiàn)，不知道“優(yōu)化”的，烙3個、4個餅的時間一樣，都是8分鐘，甚至有同學(xué)是一個一個烙的。通過訪談知道，第3題做對的學(xué)生基本上是課外或家長教過的。從對的作業(yè)中可以看出：會畫圖的，說明他有優(yōu)化意識，知道“烙餅”的策略。當(dāng)然也有部分同學(xué)圖畫錯的，時間計算對的，說明他只記住了計算公式，沒有很好地弄懂“優(yōu)化”的真正含義。

兩個班中能夠正確地畫圖理解的不多，不是圖畫錯，就是時間算錯，最根本的原因是不知道“優(yōu)化”。大部分同學(xué)都是用“每面烙的時間×烙餅張數(shù)=總時間”來計算的，尤其是406班，這樣的情況我們有理由相信：406班在課外輔導(dǎo)班學(xué)習(xí)的人比較多，而這些人又沒有很好地理解其中的算理。所以我們要懷疑：用算式解答正確的學(xué)生對算式的含義理解嗎？這種公式的套用對學(xué)習(xí)烙餅問題有多大的幫助呢？于是我們帶著疑問和好奇，開始進(jìn)入本次實驗。

（二）在不同目標(biāo)引領(lǐng)下實施不同的教學(xué)

根據(jù)兩個班前測的數(shù)據(jù)分析和其他各種因素綜合考慮，決定確定不同的教學(xué)目標(biāo)在兩個班里采取不同的教學(xué)方法實施教學(xué)，希望達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

方案A教學(xué)目標(biāo)：

1.通過簡單事例，使學(xué)生初步體會優(yōu)化思想在解決問題中的應(yīng)用，形成尋找解決問題最優(yōu)化方案的意識，并嘗試尋找解決問題的最優(yōu)化方案。

2.通過觀察、操作、比較、討論、思考等活動，尋找規(guī)律，建立起烙餅問題的模型，并推廣應(yīng)用，解決生活中的實際問題。

方案B教學(xué)目標(biāo)：

1.通過操作，使學(xué)生初步體會優(yōu)化思想在解決問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生解決問題的能力。

2.認(rèn)識到解決問題的策略的多樣性，初步形成尋找解決問題最優(yōu)化方案的意識。嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實際生活中的簡單問題，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

方案A、B：1～7個餅的學(xué)習(xí)路徑

1.激趣導(dǎo)入

課件呈現(xiàn)主題圖，揭示課題。

2.自主探索，研究烙法

①探究2張餅的最優(yōu)烙法。熟悉烙1張餅的時間；研究2張餅的最優(yōu)烙法。

②動手操作，探究3張餅的最優(yōu)烙法。

讓學(xué)生說出不同的烙法，找到最優(yōu)的方法，同桌合作，體驗烙法。（輪流烙）。

【充分體會、思考優(yōu)化的策略一：滿鍋】

③繼續(xù)探究，研究規(guī)律。按4個餅、5個餅、6～7個餅的順序進(jìn)行探究。（思考最省時方案，畫圖記錄，交流，記錄餅數(shù)、時間列成表格）

【比較輪流烙與分組烙。優(yōu)化策略二：時間相同，選易操作的，體會輪流烙是不得已之舉】

方案A的后續(xù)操作：

1.找到規(guī)律，解決問題

①從第2張餅開始，每次增加一張餅，時間就加3分鐘。②餅的數(shù)量×每面所需時間=最少時間。③當(dāng)烙餅的張數(shù)是雙數(shù)時，2張2張的烙；當(dāng)烙餅的張數(shù)是單數(shù)時，先2張2張地烙，最后3張按最優(yōu)烙法烙。

2.鞏固應(yīng)用，深化理解

嘗試：平底鍋上煎魚，每次能同時煎2條魚，兩面都要煎，每面需要4分鐘。現(xiàn)在要煎5條魚，至少需要多少分鐘？（可以畫圖或分組）

3.總結(jié)收獲，反思體驗

要求烙餅時間，可以先分組（或畫圖），再計算。我們找到了烙餅問題的最優(yōu)方案，這就是數(shù)學(xué)中的優(yōu)化思想。

方案B的后續(xù)操作：

觀察找到規(guī)律，解決問題

從第2張餅開始，每次增加一張餅，時間就加3分鐘；烙一面的時間×烙餅個數(shù)=烙餅總時間。

解決實際問題：平底鍋煎蛋，一個鍋一次最多能煎3個蛋，煎一個蛋要2分鐘（正反面各1分鐘），煎6個蛋至少要幾分鐘？【出現(xiàn)一次能煎3個蛋的。引發(fā)認(rèn)知沖突：這樣的公式在什么時候使用？】

總結(jié)收獲，反思體驗

今天我們學(xué)習(xí)了烙餅問題，在解決有關(guān)烙餅問題的時候，要根據(jù)實際情況來選擇合適的方法。

（三）課后檢測，收集數(shù)據(jù)，對比分析

1.課后檢測，數(shù)據(jù)整理

實踐后安排了（如下）四道題作為后測，前面兩題是烙餅的基礎(chǔ)題，目的是了解學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，對烙餅問題的最基本的優(yōu)化思想的理解、掌握情況。后面兩題稍作變形（一次能烙3張餅、4張餅的），看看學(xué)生的統(tǒng)籌優(yōu)化思想是否能在后續(xù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用等。用兩種不同思路上課后，學(xué)生到底會更傾向于哪種？效果如何等等。

根據(jù)后測情況，我們對兩個班的正確率和應(yīng)用情況作了統(tǒng)計，結(jié)果如下：

從統(tǒng)計結(jié)果看，在一只鍋里同時烙兩張餅的情況學(xué)生理解得不錯，有的用算式，有的畫圖，有的用字母表示，優(yōu)化策略的理解應(yīng)用在這里很好地體現(xiàn)。后面兩題的結(jié)果不是很理想，雖然他們也分組或畫圖了，但畫對的不多。說明優(yōu)化的思想還沒有真正理解。

像第三題，叔叔煎小黃魚。每條小黃魚要煎兩面，每面要煎3分鐘，一次能煎3條。煎9條小黃魚共幾分鐘？（請你用分一分或畫一畫的方法表示）

406班解題分化出了兩種不同的思路：一部分用了套用公式的方法，對比這些同學(xué)的前后測發(fā)現(xiàn)主要是課前學(xué)過的占了很高比例；一部分同學(xué)雖然沒有畫圖，但他知道總共要烙的次數(shù)，用（3，3，3）進(jìn)行分組，所以計算總時間就沒有障礙了。第四題由于一鍋可煎4條魚，10條魚怎么輪流煎心里沒底，所以畫圖也無法表示清楚，最后2條魚煎2次，分組也用（4，4，2）來表示了，當(dāng)然煎的次數(shù)就多。407班還有人圖畫對了，時間計算卻用計算公式了，說明計算公式對他的印象太深了。

2.比照前測，理性分析

為了進(jìn)一步弄清楚學(xué)生對這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況，了解他們的思維歷程，對兩個班的前后測進(jìn)行分析對比（406班36人，407班45人），結(jié)果如下：

我們分析學(xué)生的前后測，對比發(fā)現(xiàn)：

①“優(yōu)化”策略還沒有完全理解。一次烙兩個餅的，通過畫圖、字母或分組等，理解起來還可以，會優(yōu)化。但是碰到一次烙3個、4個餅的，就沒有“優(yōu)化”的意識，或是還不知道如何優(yōu)化。

②課前培訓(xùn)的負(fù)遷移。406班學(xué)生因為課前學(xué)習(xí)的計算公式已經(jīng)“深入人心”，前測對后測錯的學(xué)生遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過407班，說明思維定式一時無法打破，培訓(xùn)班所帶來的負(fù)遷移作用，在這里體現(xiàn)得非常突出。

從統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看，兩個班的差異并不明顯，這樣的數(shù)據(jù)不一定能說明兩種教學(xué)思路的優(yōu)劣，但不管怎么說，406班的學(xué)生會考慮如何進(jìn)行分組優(yōu)化，套用公式計算的要比407班少，說明406班同學(xué)用優(yōu)化策略思考問題的能力要優(yōu)于407班。

四、實踐后的感悟

如何在“烙餅問題”教學(xué)中凸顯優(yōu)化這一數(shù)學(xué)思想？我們認(rèn)為可以從以下幾個方面入手。

（一）逐步抽象，優(yōu)化教學(xué)思想

學(xué)生從動手操作，到動手記錄、用腦思考，由經(jīng)歷到經(jīng)驗并抽象，思維在不斷地提升。上面兩節(jié)課中的烙餅，從開始的圖片（烙餅）到用圓片代替烙餅→用“1正”“1反”畫圖來記錄烙餅過程→用數(shù)字2、3來表示分組烙餅→再到用數(shù)字記錄，[如，7（2，2，3）]。一步一步，從具體到抽象，清晰的優(yōu)化痕跡，層層遞進(jìn)的優(yōu)化方法，不斷地在學(xué)生頭腦中滲透著優(yōu)化意識，為學(xué)生探究烙餅的最佳方法及計算最少時間提供了支撐。

（二）層層比較，探索教學(xué)本質(zhì)

學(xué)生通過不斷地比較，把活動經(jīng)驗內(nèi)化、概括，得到方法。烙1個餅、2個餅的時間一樣時，經(jīng)歷第一次比較，知道只有讓鍋不空著，才會節(jié)省時間；3個餅有不同烙法時，經(jīng)歷第二次比較，烙3次還是4次，只有每次滿鍋時，時間最省；4個餅的不同烙法，時間是一樣時，此時經(jīng)歷第三次比較，哪種烙法更符合生活實際，操作更方便；烙6個餅時，形成了（3，3）與（2，2，2）兩種觀點，時間是一樣的，于是學(xué)生經(jīng)歷了第四次比較，在比較中達(dá)成共識，強化“時間相同的情況下，我們應(yīng)該選擇操作更為方便的”……這里學(xué)生經(jīng)歷了四個層次比較，通過層層比較，逐步觸摸到了本課教學(xué)的本質(zhì)，明白了優(yōu)化的內(nèi)涵：時間上要尋求優(yōu)化，烙法操作上要尋求優(yōu)化，優(yōu)化意識貫穿了課的始終。

通過這一次的實踐，對比了同一班級前測與后測、不同班級的前測、不同班級的后測，并對這些材料和數(shù)據(jù)進(jìn)行了科學(xué)的分析，從中得到了很大啟示，實踐徹底顛覆了我們的原有認(rèn)識，走出了教學(xué)的誤區(qū)，原來的教學(xué)過程中我們忽視了數(shù)學(xué)教學(xué)最為本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)思想。今天我們對這一問題有了較為深刻的認(rèn)識，參與研究的老師形成了一種共識：《烙餅問題》一課教學(xué)的核心目標(biāo)應(yīng)該是優(yōu)化意識的滲透，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中嘗試選擇較為優(yōu)化的策略，是我們在教學(xué)過程中需要牢牢抓住的主線。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 溫雪蓮