用實際需要驅(qū)動學生數(shù)學思維

郁元順

[摘 要] 數(shù)學學習需要思維的驅(qū)動，初中數(shù)學教學需要學生的思維參與，數(shù)學思維需要實際需要的驅(qū)動. 結合初中數(shù)學中的基本概念，通過問題情境與問題變式，來驅(qū)動學生不斷發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學概念的意義，是有效教學的重要途徑.

[關鍵詞] 數(shù)學學習；實際需要；數(shù)學思維

通常認為，數(shù)學是抽象的學科，數(shù)學學習更多的是符號及符號之間的運算. 這樣的認識是正常的，因為數(shù)學就是研究數(shù)與形的科學，數(shù)是抽象的，形也是實際事物抽象的結果，因此可以說抽象是數(shù)學固有的屬性. 但在實際教學中我們發(fā)現(xiàn)另外一種情形，那就是很多學生恰恰是因為數(shù)學的抽象才感覺到數(shù)學難學的. 這就造成了一個悖論：數(shù)學本身是抽象的，但學生卻因為抽象而不喜歡數(shù)學學習. 如何化解這個悖論呢？筆者以為關鍵在于需要理清數(shù)學與數(shù)學學習的關系. 數(shù)學與數(shù)學學習是不一樣的，數(shù)學是數(shù)學學習的內(nèi)容，數(shù)學學習有著超越數(shù)學及數(shù)學研究本身的另外的需要. 對于初中數(shù)學教學而言，數(shù)學教學需要注重形象思維（這與初中學生的思維特征是一致的，形象思維依然占據(jù)主導地位的初中學生，需要形象思維作為數(shù)學學習的支撐），但是形象思維是不是就意味著用生動形象的事物呈現(xiàn)在學生面前，以讓學生感覺好玩、有趣呢？是不是要用現(xiàn)代教學手段，用聲光電去刺激學生的學習需求呢？筆者以為并不全然如此，因為數(shù)學本身所具有的抽象特征，決定了數(shù)學學習終歸是要走理性的道路的. 因此，在初中數(shù)學教學中，用具有形象思維的本質(zhì)去驅(qū)動學生的數(shù)學思維，才是有效教學的根本. 基于這樣的判斷，筆者提出用實際問題及其產(chǎn)生的學習需要，去驅(qū)動學生的數(shù)學學習，本文嘗試就此問題進行探討.

創(chuàng)設情境，體驗實際需要

實際需要是由實際問題驅(qū)動的，實際問題來源于生活，如果能夠引用學生體驗過的實際生活，或者改造成為學生能夠理解接受的生活，那其就是有效的. 考慮到上面所說的實際需要對學生數(shù)學思維驅(qū)動的重要作用，筆者采取了創(chuàng)設情境的辦法，以讓學生在實際需要的體驗當中認識引入負數(shù)的必要性. 具體做法如下：

第一步，基于教材設計，創(chuàng)設問題情境. 這一步的情境創(chuàng)設靈感來源于教材，也采用了教材中的相關素材，但筆者的思路不僅僅是讓學生感覺簡單的數(shù)的產(chǎn)生史，更在于讓學生產(chǎn)生一種心境，以強化數(shù)在不斷發(fā)展的認識. 筆者用多媒體向?qū)W生呈現(xiàn)教材上的三幅插圖，讓學生感受最古老的計數(shù)的產(chǎn)生過程——教師要特別強調(diào)計數(shù)需要本身驅(qū)動了數(shù)的產(chǎn)生，而這個數(shù)其實就是已經(jīng)學過的“正數(shù)”；第二幅插圖給出了“0”（這個時候筆者并沒有呈現(xiàn)第三幅圖），讓學生將“沒有”與“0”產(chǎn)生對應，同時引導學生認識到數(shù)是在不斷發(fā)展的. 在這一步中，筆者特地引導學生比較兩幅圖，以生成數(shù)的發(fā)展的認識，在此基礎上再呈現(xiàn)第三幅圖，學生自然就認識到原來在正數(shù)、0的基礎上，又引入了負數(shù). 由此，便產(chǎn)生了一種隱性的需要.

第二步，基于邏輯思維，判斷數(shù)的發(fā)展方向. 在上面三幅圖比較完畢之后，給學生提出一個問題：你認為數(shù)為什么會不斷發(fā)展？根據(jù)筆者的教學經(jīng)驗，學生起初會感覺到這個問題有點空泛，不知道從何答起. 此時只要稍作點撥，學生就發(fā)現(xiàn)實際生活中的需要，讓數(shù)有了新的發(fā)展. 這個時候?qū)W生一般是想不到發(fā)展方向的，但一定會認識到數(shù)是有發(fā)展方向的. 記得班上有一個學生在下面插言：“負數(shù)也是實際需要之下才產(chǎn)生的嗎？”課后筆者與這個學生交流，才知道他已經(jīng)在校外機構學過這一內(nèi)容，但并沒有從實際需要的角度形成認知.

第三步，基于上述認知提出新的問題. 新的問題是：在我們的生活中還有一種新的情形，這種情形用我們小學階段學過的數(shù)已經(jīng)無法描述，這也是一種現(xiàn)實需要，它能不能讓我們想出新的數(shù)來描述呢？這里筆者舉出了零下溫度的例子，但并沒有直接給出負數(shù)的概念，而是讓學生自己去想辦法用數(shù)描述這種現(xiàn)實需要. 這也算是實際問題的驅(qū)動方式，對學生的數(shù)學思維有著明顯的激發(fā)作用.

分析需要，建立數(shù)學概念

在上述問題的基礎上，學生此時的思維已經(jīng)集中在“能不能自己想個數(shù)去描述新的實際需要（零下溫度的表示）”上. 這個時候?qū)嶋H需要已經(jīng)開始明顯驅(qū)動學生的思維，而這一過程實際上又是具有顯著的探究特征的，畢竟用一個新的數(shù)來描述新的情況，是學生此前的數(shù)學學習過程中很少遇到的. 從課堂教學的即時情況來看，這一策略是成功的，因為學生在十分鐘左右的時間內(nèi)想到了很多的方法，而其中不少方法就與負數(shù)思想密切相關. 結合課后跟學生交流的情況，筆者大致了解了學生在課堂上的想法.

有的學生認為，零下的溫度可以在正數(shù)之前加上文字，就如“零下”兩個字就行了，但小組內(nèi)的其他學生就有反對意見，認為漢字與數(shù)字混在一起，不倫不類，不能算是很好的方法；也有學生說能不能在零下的那個溫度的數(shù)值的上面或者下面加一個記號，如一橫，這樣就可以知道其是表示零下的溫度的；還有學生說既然是零下的溫度，那就可以想想零上溫度的表示有沒有什么特別的地方，結果發(fā)現(xiàn)日常所用的正數(shù)（學生此時還沒有正數(shù)的概念）沒有什么特別之處，因此思維就暫時陷入了困境. 當然也有學生因為之前學過，或者在生活中聽說過等原因，提出了負數(shù)的概念. 這個時候在他們的意識當中，負數(shù)前面的那個負號，已經(jīng)與實際需要產(chǎn)生了或斷或續(xù)的聯(lián)系，盡管這種聯(lián)系此時還不是很明確，但已經(jīng)能夠為后面的學習奠定基礎.

有了學生豐富的思考，這個時候結合溫度計上的示數(shù)（用幻燈片放大），且在學生已有經(jīng)驗的基礎上，告訴學生已經(jīng)學過的數(shù)其實都是正數(shù)，前面應當有個正號，只不過因為使用普遍，常常省略了這個符號. 如果需要表示零下的溫度，則可以在正數(shù)前面加上一個不可省略的負號，成為一個新的數(shù)，即負數(shù). 于是，負數(shù)概念自然形成.

隨后，數(shù)學教學中常用的變式思想派上了用場. 此時筆者向?qū)W生提問：生活中有沒有其他場合也是需要用負數(shù)的呢？這個時候，因為前面所做的鋪墊，學生已經(jīng)知道要尋找與已知實例相聯(lián)系，但情形又具有相反性質(zhì)的事物了. 于是，賺錢與花錢的例子，家庭里增加人與減少人的例子，圖書館里還回來的書與借出的書等，都成為理解負數(shù)概念的生動鮮活的生活例子.

需要指出的是，學生舉例的過程，實際上也是內(nèi)心對負數(shù)概念認識需要之下的數(shù)學思維過程，到此，負數(shù)概念就相對深刻了.

實踐應用，深化概念理解

用應用來強化數(shù)學概念理解，也是數(shù)學教學的常規(guī)手段，但有一點必須認清，那就是簡單的例題呈現(xiàn)并不是真正的數(shù)學應用，往往還有可能增加學生的學習負擔. 因為如果在解題中出現(xiàn)了錯誤，且被教師懲罰了的話，對學生的學習自信心與積極性沒有什么好處. 反之，如果教師能夠精心加工實踐應用情形的出現(xiàn)方式，則可以讓學生產(chǎn)生自主解決問題的需要，使學習效果得到提高.

筆者找到了一道例題：下列國家的商品進出口總額比上年的變化情況是：美國減少6.4%，德國增長1.3%，法國減少2.4%，英國減少3.5%，意大利增長0.2%，中國增加7.5%，寫出這些國家這一年商品進出口總額的增長率. 然后筆者對其進行了習題情境的改編：今天我們生活的改善，得益于中國的改革開放，自改革開放以來，中國經(jīng)濟問題的增長居世界前列，相比較而言，其他國家的經(jīng)濟增長則是不同景象. 某一年的統(tǒng)計結果是這樣的：美國減少6.4%，德國增長1.3%，法國減少2.4%，英國減少3.5%，意大利增長0.2%，中國增加7.5%.

然后進一步闡述：同學們看出來了沒有，有的國家是增長的，有的國家是減少的，你們想到了什么？留幾秒鐘的時間讓學生思考，最后提出問題：這些國家這一年商品進出口總額的增長率是多少？

這一段描述需要高度重視的語氣，要將學生引入到因為中國經(jīng)濟發(fā)展速度很快而產(chǎn)生的自豪感與認同感中，這是學生產(chǎn)生問題解決需要的關鍵. 很多情況下，因為教師不恰當?shù)恼Z氣，讓學生一眼就看出了只是換個花樣讓他們做題，一旦那樣，問題情境就不大可能讓學生產(chǎn)生解決問題的需要. 隨后的學習過程就簡單了，只要學生認識到“增長”與“減少”是互為相反的，需要用正數(shù)和負數(shù)分別表示再運算就行了. 真正達到了這一效果，實際上就深化了對正數(shù)和負數(shù)概念的理解.

總結分析，建立數(shù)學認識

數(shù)學學習貴在得法，貴在學生的內(nèi)心產(chǎn)生一種滿足自我需要的學習動力. 因此，在新的知識學習之后總結知識的形成過程是非常有必要的. 在正數(shù)與負數(shù)的概念學習之后，筆者讓學生回想負數(shù)的形成過程，再一次清晰地認識到是因為實際需要，驅(qū)動了新的數(shù)學概念的生成.

在此基礎上告訴學生，其實很多數(shù)學概念的形成都遵循著同樣的途徑，有的是因為實際生活的需要，有的則是因為數(shù)學發(fā)展的需要，但無論是什么樣的需要，都是數(shù)學發(fā)展的動力所在. 因此在數(shù)學學習過程中，如果學生能認識到用自己所學的數(shù)學知識對生活需要進行描述存在不夠的情形，那就說明新的數(shù)學概念即將誕生. 這樣的過程，與數(shù)學發(fā)展的過程有質(zhì)的相似，是真正的數(shù)學探究過程. 而這樣的認識一旦形成，數(shù)學入門即成事實.