葛善勤

摘 要：數(shù)學(xué)工具是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要資源。以數(shù)學(xué)工具為中介，能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。教師在教學(xué)實(shí)踐中可以以“數(shù)學(xué)工具”為載體，打造“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課程。本文以《玩轉(zhuǎn)三角板》的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)為例，闡述運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的具體操作方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)工具；數(shù)學(xué)學(xué)力；綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)工具在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。小學(xué)生常用數(shù)學(xué)工具有直尺、三角尺、圓規(guī)、釘子板以及其他的一些教具、學(xué)具等。數(shù)學(xué)工具能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力發(fā)展，對(duì)于滲透數(shù)學(xué)思想，顯化數(shù)學(xué)方法也有著獨(dú)特功能。然而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)工具的使用情況卻不容樂(lè)觀，許多教師和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)工具往往是“就題運(yùn)用”，沒(méi)有充分發(fā)掘數(shù)學(xué)工具的系統(tǒng)功能。要讓學(xué)生的智慧在指尖跳躍，教師在教學(xué)中要充分研究數(shù)學(xué)工具，發(fā)掘數(shù)學(xué)工具的教學(xué)功能，釋放學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力。本文以《玩轉(zhuǎn)三角板》的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)教學(xué)為例，探尋如何以數(shù)學(xué)工具為中介，促進(jìn)學(xué)生學(xué)力發(fā)展。

一、三角板：一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具

三角板是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要的學(xué)習(xí)工具。對(duì)于三角板的運(yùn)用，一般教師僅僅將其停留在畫直線、畫固定度數(shù)角（如30°，45°，60°，90°等）、畫平行線、畫垂線等上。在這些操作方面，三角板僅僅是作為學(xué)生繪圖工具而使用的，沒(méi)有發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生學(xué)力發(fā)展。由于輕視三角板，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)三角板三個(gè)角的固定度數(shù)、三角板的來(lái)歷、三角板的拼角、三角板的拼圖、三角板的旋轉(zhuǎn)、三角板的堆積等方面的內(nèi)容都很陌生?；诖?，筆者在五年級(jí)自主研發(fā)了《玩轉(zhuǎn)三角形》的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課。

開(kāi)發(fā)《玩轉(zhuǎn)三角板》的數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，意圖在于：讓學(xué)生在玩三角板的過(guò)程中了解三角板角、邊的特性，通過(guò)“玩”三角板，系統(tǒng)演繹“圖形與幾何”世界中的點(diǎn)、線、面、體，發(fā)展學(xué)生“點(diǎn)點(diǎn)成線、線線成面、面面成體”的動(dòng)態(tài)幾何觀念，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手操作能力，形成學(xué)生的具身認(rèn)知能力，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)的思想與方法，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的奇妙，感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的魅力。

二、綜合與實(shí)踐：構(gòu)筑數(shù)學(xué)工具運(yùn)用的平臺(tái)

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)工具的使用往往是散點(diǎn)式的。散點(diǎn)式的數(shù)學(xué)工具運(yùn)用往往不能發(fā)掘數(shù)學(xué)工具教與學(xué)的功能，學(xué)生往往是碰到要使用時(shí)才使用，這種使用往往是草草了事。學(xué)生沒(méi)有深入地研究、使用數(shù)學(xué)工具，很多時(shí)候數(shù)學(xué)工具成為虛設(shè)的閑置物品。數(shù)學(xué)工具的特性學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)工具的使用技巧學(xué)生缺乏，數(shù)學(xué)工具使用受限讓數(shù)學(xué)工具遭遇到了放逐。“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課給了系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)工具、使用數(shù)學(xué)工具的平臺(tái)。通過(guò)“綜合與實(shí)踐”中的系統(tǒng)研究、運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，能夠整體性地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

1. 形式召喚：激活學(xué)生數(shù)學(xué)猜想力

在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課程中，我們首先開(kāi)發(fā)了“拼角”“畫角”的教學(xué)環(huán)節(jié)。調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在四年級(jí)學(xué)習(xí)“角的度量”時(shí)，已經(jīng)知道了一副三角板中有兩種規(guī)格的三角板，其中幾個(gè)特殊角的度數(shù)以及一副三角板所拼一般角的度數(shù)，分別是30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°。教學(xué)伊始，筆者直接出示學(xué)生所拼三角形常見(jiàn)度數(shù)的角，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些角的特征。

生1：老師，我發(fā)現(xiàn)這些角都是由一副三角板中的某兩個(gè)角相加而成的。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些角的度數(shù)都是15°的倍數(shù)。

師：是嗎，按照你的發(fā)現(xiàn)，你覺(jué)得這么多角是從最小角到最大角排列的嗎？

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)其中少了兩個(gè)角，一個(gè)是最小角，還有一個(gè)角應(yīng)該在150°到180°之間，是165°的角。

師：這兩個(gè)角，你能用一副三角板拼出來(lái)嗎？

學(xué)生討論。

生4：老師，我發(fā)現(xiàn)剛才這些角中，有的是三角板本身的角，有的是用三角板中的兩個(gè)角相加的，還可以用三角板中兩個(gè)角相減，如60°減去45°等于15°，45°減去30°等于15°。

學(xué)生操作。

生5：老師，我發(fā)現(xiàn)了一副三角板的兩條直角邊重合，兩條斜邊所成的夾角是165°，我用量角器量的。

學(xué)生操作。

師：是的，我們?cè)趧?dòng)手操作時(shí)更要?jiǎng)幽X，一副三角板中的角不僅可以相加，也可以相減，還可以通過(guò)猜想驗(yàn)證的方法得到。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要善于猜想。

學(xué)生已拼角按照某種序列排成后，能夠向?qū)W生顯露其中蘊(yùn)含的規(guī)律。學(xué)生根據(jù)規(guī)律提出數(shù)學(xué)化猜想，并在動(dòng)手實(shí)踐中展開(kāi)驗(yàn)證。在此，這樣一種數(shù)學(xué)形式形成了“召喚結(jié)構(gòu)”，召喚著學(xué)生的自主探究。

2. 動(dòng)手操作，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐力

結(jié)構(gòu)主義教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，“活動(dòng)是智慧的根源，讓兒童在操作中學(xué)習(xí)是教學(xué)最主要的原則”。在運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生手腦協(xié)同運(yùn)作、做思共生。教學(xué)中，我們先讓學(xué)生用一副三角形玩，啟發(fā)學(xué)生思考：怎樣才能將一副三角板拼成一個(gè)四邊形？學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)：一副三角板中有兩條邊竟然是相等的。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)為用兩副三角板拼圖奠定了基礎(chǔ)。請(qǐng)看用兩副三角板拼圖的教學(xué)片斷：

師：下面，請(qǐng)同學(xué)們用兩塊同樣的三角板，將相同的邊重合起來(lái)拼圖，找一找一共有幾種不同的拼法？

生1：我用的是30°的三角板，我找到了三種不同的拼法。（邊說(shuō)邊展示）

生2：我找到了6種不同的拼法。（邊說(shuō)邊展示）

生3：我用的是45°的三角板，我找到了三種不同的拼法。

師：同樣是用三角板拼，為什么30°的三角板拼出了6種，而45°的三角板只拼成了3種呢？

生4：因?yàn)?0°的三角板三條邊各不相同，每一條邊相拼有兩種拼法，二三得六，一共有6種不同的拼法。45°的三角板兩條直角邊相同，所以只有兩種拼法，另外將斜邊翻轉(zhuǎn)后拼成的正方形是一樣的。因此，第二種規(guī)格的三角板拼圖只有3種拼法。

此外，筆者還讓學(xué)生在拼的過(guò)程中思考“怎樣拼周長(zhǎng)最長(zhǎng)？怎樣拼周長(zhǎng)最短？”在學(xué)生通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)用30°的三角板可以拼成等邊三角形，45°的三角板可以拼成正方形后，筆者適時(shí)用多媒體課件出示了“三角板的來(lái)歷”，讓學(xué)生了解三角板的產(chǎn)生史。如此，“數(shù)學(xué)味”與“文化味”在學(xué)生的指尖上相逢。

3. 學(xué)做共生，誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力

學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)具操作不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得、思想方法的領(lǐng)悟，更是數(shù)學(xué)文化的表達(dá)。教師還可以運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力和創(chuàng)美素質(zhì)。如筆者在讓學(xué)生用兩副三角板拼圖后，又進(jìn)一步讓學(xué)生用四副三角板拼圖。學(xué)生果然不負(fù)所望，拼出了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、菱形、梯形等。其中，筆者選取了這樣的兩幅圖案（如圖1）。

師：同學(xué)們看這兩幅圖，有什么特征？

生1：這兩幅圖都是正方形，第一幅圖是由4個(gè)45°的三角形拼成的，第二幅圖是由4個(gè)30°的三角形拼成的。

生2：這兩幅圖整體來(lái)看是一個(gè)大正方形，里面還分別有一個(gè)小正方形。

生3：我發(fā)現(xiàn)第一幅圖中大正方形的面積是小正方形面積的2倍。

師：為什么？

生4：作兩條輔助線就可以看出。（生4走上講臺(tái)在電子白板上操作）

生5：也可以將外邊的小三角形向里翻轉(zhuǎn)，就能拼成里面的正方形。（生鼓掌）

師：同學(xué)們，我們?cè)賮?lái)研究第二幅圖。第二幅圖在2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上還被作為會(huì)標(biāo)呢！

生：為什么？

師：第二幅圖叫“弦圖”。先請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題，如果在這幅弦圖上，三角形的兩條直角邊分別為3厘米和4厘米，那么小正方形的面積是多少？大正方形的面積又是多少？

……

經(jīng)過(guò)學(xué)生的討論、交流，學(xué)生得出了大小正方形的面積。接著，筆者運(yùn)用多媒體課件向?qū)W生展示了趙爽的“弦圖”，滲透了“勾股定理”的相關(guān)知識(shí)。這樣的教學(xué)，基于數(shù)學(xué)工具又超越數(shù)學(xué)工具，發(fā)展了學(xué)生的審美能力和創(chuàng)美素質(zhì)。

三、動(dòng)態(tài)想象，開(kāi)掘?qū)W生的動(dòng)態(tài)想象力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，要著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)思維力和數(shù)學(xué)想象力的發(fā)展。學(xué)習(xí)“圖形與幾何”，學(xué)生最大障礙在于“眼中有物，腦中無(wú)形”?！皠?dòng)態(tài)想象”可以讓學(xué)生的操作、感知、想象從被動(dòng)轉(zhuǎn)向主動(dòng)。教學(xué)中，筆者運(yùn)用三角板發(fā)展學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象力。在動(dòng)態(tài)想象中，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到平面幾何與立體幾何、靜態(tài)幾何與動(dòng)態(tài)幾何的微妙關(guān)聯(lián)。

師：同學(xué)們，其實(shí)三角板不僅可以拼起來(lái)玩，還可以轉(zhuǎn)起來(lái)玩呢！（學(xué)生躍躍欲試）

師：在同學(xué)們玩之前，先請(qǐng)同學(xué)們?cè)陬^腦中想象一下，以三角形的一個(gè)直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，會(huì)形成怎樣的形體？（教師出示圓柱、球、長(zhǎng)方體、正方體、圓錐體等）

生1：我覺(jué)得能夠形成三角形柱，下面是一個(gè)圓，上面是一個(gè)點(diǎn)。

生2：能夠形成像沙堆一樣的東西……

師：這種形體在數(shù)學(xué)上叫作圓錐，在六年級(jí)時(shí)我們會(huì)系統(tǒng)地研究它……

師：剛才我們是將三角板旋轉(zhuǎn)，我們還可以將三角板堆起來(lái)。同組的同學(xué)將相同的三角板堆一堆，看看堆成了什么？

生1：我們堆成了長(zhǎng)方體的一半。

師：這種形體，數(shù)學(xué)上將它稱之為“三棱柱”。

從運(yùn)用三角板旋轉(zhuǎn)，到堆三角板，既橫向又縱向地發(fā)展了學(xué)生的思維、想象。學(xué)生通過(guò)學(xué)具的創(chuàng)造性運(yùn)用，從平面到立體，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，開(kāi)闊了知識(shí)視野，激活了思維通路。一個(gè)個(gè)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)被串聯(lián)起來(lái)，形成了知識(shí)網(wǎng)。

數(shù)學(xué)工具是潛在的課程資源。在數(shù)學(xué)教學(xué)中巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)向“會(huì)學(xué)”。因此，教師在教學(xué)中要研究數(shù)學(xué)工具，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)工具的教學(xué)功能，讓數(shù)學(xué)工具為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)助力。